第3章
数学无界

正如古老的“棋盘麦粒”问题所表明，骇人的大数可以从毫不起眼的起点开始迅速增长。关于这一问题的记载最早见于1256年学者哈利坎（Ibn Khallikan）的著作。据传，印度舍罕王（Shirham）要感谢发明了国际象棋的宰相达依尔（Sissa ben Dahir），问达依尔想要什么赏赐。达依尔所求看似少得可怜：在棋盘的第一个方格放一粒小麦，第二个方格放两粒，第三个方格放四粒，以此类推，每次加倍，直至所有方格都被填满。国王以为自己会轻松地满足这个请求，便立刻答应了，但很快就后悔了。因为所需的小麦总数为1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 =18 446 744 073 709 551 615——这个数远远超过了当时世界上的所有麦粒数。

舍罕王从他与狡猾宰相的交锋中吸取了一些教训。首先，他发现重复加倍，或者更一般地说，指数运算（一个数反复自乘）展现的力量惊人。其次，他体会到数学并不受实际因素的限制。物理上的极限对数学家的世界并没有限制。相反，数学家的世界大到足以容纳我们能想象的任何东西和数。

数学中最有趣、最重要的数是素数，它们最显著的特点是只能被自身和1整除。前10个素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23和29。随着素数逐渐变大，它们的间隔也趋于变大。例如，大于1000的前10个素数是1009、1013、1019、1021、1031、1033、1039、1049、1051和1061。要证明素数有无穷多个是很容易的，但数学家尤为感兴趣的是它们如何分布，即素数在越来越大的数值范围内分布的细节。数学中最大的未解问题之一——黎曼猜想，正是与这个问题密切相关。寻找越来越大的素数也有实际的考量，因为非常大的素数对最广泛使用的数据加密系统至关重要，比如那些支撑网上银行和在线购物的系统。

最容易找到的素数是那些碰巧为梅森素数的素数。梅森素数以法国修士、博学者梅森（Marin Mersenne）的名字命名，他在17世纪上半叶研究了这些素数。所有的梅森素数都可以写成2 n -1的形式，其中 n 是一个正整数；换句话说，它们比2的对应次方小1。前几个梅森数是1、3、7、15、31、63和127。当 n 较小时，只要 n 是素数，对应的梅森数也是素数。例如，当 n =7时，2 n -1=127，127也是素数，因为除了1和127之外没有其他因子。但这种规律在 n =11时就失效了，因为2 11 -1=2047=23×89。数学家现在知道，虽然在梅森素数里 n 必须是素数，但它还必须满足一些其他条件。幸运的是，这些额外的条件很容易编为程序代码，这样计算机就可以通过相对简单、快速的算法来寻找下一个更大的梅森素数。

寻找梅森素数的过程可以用来测试新的、更快的计算机和算法（即用来解决问题的逐步方法）的速度和能力。作为这些新计算机和算法的营销策略，梅森素数也派上了用场，因为出现一个新的、更大的素数往往会成为头版新闻。本书的作者之一达林对此有一些亲身体会。

20世纪70年代末，达林曾在明尼阿波利斯的超级计算机制造商克雷研究公司的应用程序开发组工作。开发组的任务之一是展示当时世界上最快的计算机克雷1号比它的对手们快多少。开发组得到了年轻的软件工程师斯洛文斯基（David Slowinski）的帮助。达林曾有机会多次见到斯洛文斯基，后者解释了其梅森素数搜索算法的工作原理。斯洛文斯基和劳伦斯利弗莫尔国家实验室（最早一批的克雷1号中，有一台就是在该实验室验收测试的）的数学家纳尔逊（Harry Nelson）对该算法进行了优化，使其能在克雷1号独特的“矢量”架构上运行。

1979年4月，斯洛文斯基和纳尔逊的努力得到了回报，他们发现了第27个梅森素数2 44 497 -1。这是当时已知的最大素数，也使他们在吉尼斯世界纪录中占据了一席之地。1982年至1996年，斯洛文斯基又发现了另外6个破纪录的素数，最终他与计算机科学家盖奇（Paul Gage）合作，使用克雷T 90超级计算机，发现了第34个梅森素数2 1 257 787 -1，即M（1 257 787）。

迄今为止发现的10个最大的素数中，有9个是梅森素数。截至2021年，冠军是2018年1月发现的2 82 589 933 -1，完整写出来有近2500万位数字，足以填满好几卷最新纸质版的《大英百科全书》（ Encyclopaedia Britannica ）。

梅森素数可以用来寻找另一种被称为完全数的有趣的数。完全数是自身等于其所有因子（除自身外）之和的整数。例如，6是一个完全数，因为它的因子1、2和3加起来等于6。6之后最小的完全数是28（=1+2+4+7+14）。大约在公元前300年，欧几里得（Euclid）证明了只要2 n -1是素数（其中 n 本身是素数）——换句话说，对于每个梅森素数——2 n-1 （2 n -1）就是一个偶完全数。例如，前四个完全数是这样产生的：

对于 n =2:2 1 （2 2 -1）=2×3=6

对于 n =3:2 2 （2 3 -1）=4×7=28

对于 n =5:2 4 （2 5 -1）=16×31=496

对于 n =7:2 6 （2 7 -1）=64×127=8128

所有的偶完全数都以6或8结尾，并且有对应的梅森素数。我们还没有发现奇完全数。因此，到目前为止，已知的梅森素数和已知的完全数是一一对应的。已知的最大完全数与已知的最大梅森素数对应，最大完全数是2 82 589 932 （2 82 589 933 -1），只用不到5000万位数字就能把它完整写出来。不过为了避免吓跑读者，我们只展示它开头和结束的几位数字：110 847 779 864…007 191 207 936。

奇怪的是，虽然我们知道有无穷多个素数，但并不知道是否有无穷多个梅森素数。同样，我们也不知道是否有无穷多个完全数或是否存在奇完全数。

无论如何，想出一个比已知的最大素数或完全数更大的数是很容易的：只要加1就可以！除了那些单纯的大数之外，还有一些具备有趣特征的大数让人格外着迷。有时，我们讨论的大数是满足某些数学条件的最小的数。以南非数学家斯奎斯（Stanley Skewes）的名字命名的斯奎斯数就是一例。就像与之相关的黎曼猜想一样，斯奎斯数也与素数的分布有关。

斯奎斯1899年出生于德兰士瓦共和国，母亲生于美国，父亲是英国人。他在南非开普敦大学获得土木工程学位，然后前往英国剑桥大学学习数学。斯奎斯在国王学院获得了学士、硕士和博士学位，他的划船伙伴中有图灵（Alan Turing），他的博士生导师李特尔伍德（John Edensor Littlewood）是杰出的数论学家，也是哈代［G. H. Hardy，他将印度天才拉马努金（Ramanujan）带到了英国］的亲密合作者。正是李特尔伍德鼓励斯奎斯研究素数。

数学家一直在努力寻找可以生成素数的公式，但没有成功。尽管如此，他们还是发现，素数的出现并不是偶然的；相反，它们的分布是有规律的，它们的密度随着数的增加而降低。1792年左右，德国数学家高斯（Carl Gauss）首次提出了一个被称为素数定理的推论，当时他才十几岁。然而，直到1896年，素数定理才被法国数学家阿达马（Jacques Hadamard）和比利时数学家普桑（Charles de la Vallée Poussin）各自独立证明。根据这个定理，任何数 x 周围的素数密度大约为1/ln x ，其中ln x 是 x 的自然对数。因此，在100附近，预计大约有1/5的数是素数；在1000附近，这一比例则下降到大约1/7。

对于任何给定的数 n ，利用素数定理，就可以估计出有多少个小于 n 的素数。事实上，当 n 较大时，该定理的预测值与素数的实际数量非常接近。例如，小于10亿的素数正好有50 847 534个，而该定理的估计值为50 849 235个——只多了1701个，或多了0.0033%。即使 n 很大时，素数定理给出的估计值也始终略高于素数的实际数量。在没有发现相反的证据前，数学家假定情况总是如此，没有例外。但后来李特尔伍德给出了一个证明，表明在某些时刻，高估的情况会停止，而低估的情况会持续一段时间，然后再转换回高估，如此往复循环，直到永远。李特尔伍德不知道第一次交叉会在何时发生，但他的学生斯奎斯设法在这个问题上给出了一些答案。斯奎斯证明了，在 n 达到10^10^10^34之前，素数定理一定会出现由高估转换到低估的情况。得出这个惊人的大数——斯奎斯数——需要假定黎曼猜想成立。黎曼猜想有效地说明了素数的组织性和可预测性与赋予它们的性质相差无几。斯奎斯还计算出，如果黎曼猜想不成立，那么当 n 再大一点时（约为10^10^10^964），素数定理将第一次出现由高估素数数量转换为低估素数数量的情况，这个数被称为第二斯奎斯数。

哈代曾将斯奎斯数描述为“有史以来在数学中有明确用途的最大的数”。虽然现在它早已失去了这一殊荣，但其巨大的规模确实强调了一个重要的问题：不能仅仅因为某些想法在任何人测试时都是正确的，就认为它在所有可能想象的情况下都是正确的。这也是数学家在找到一个能永远站得住脚的严格证明之前，从来不会满意的原因之一。

斯奎斯的结果发表了以后，其上下界（取决于黎曼猜想是否成立）已被大幅降低。在过去的半个多世纪里，人们一直用计算机进行这些计算。1966年，美国数学家雷曼（Sherman Lehman）证明了，在1.53×10 1165 和1.65×10 1165 之间的某个 n 处，存在超过10 500 个连续的整数，素数定理低估了不超过该整数的素数的实际数目。目前还没有人确定出现第一次交叉的具体的数。2010年，英国曼彻斯特大学的泽戈维茨（Stefanie Zegowitz）发表了关于这一问题的最新工作，发现素数定理的第一次低估发生在小于1.3972×10 316 的某个 n 处。尽管按日常标准来看，这个值仍然很大，但与最初的斯奎斯数相比，它已经微不足道了。

数学中的有些大数与组合和概率有关。取一副普通的扑克牌。这副牌有多少种不同的排列方式？第一张牌可以是52张中的任何一张，第二张可以是剩余51张中的任何一张，以此类推，因此可能排列的总数为52×51×50×…×3×2×1。这就是52的阶乘，或52!，完整写出来是这样的：

80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289

505 440 883 277 824 000 000 000 000

或者，用科学记数法大约是8.0658×10 67 。如果从宇宙诞生开始，这副牌每秒随机洗一次，那么到现在也只有大约洗4.32×10 17 次牌的时间——在所有可能的不同洗牌结果中，这个比例微不足道。公平地说，任何关于随机洗牌产生完美顺序的牌的故事都是假的——概率是八千亿亿亿亿亿亿亿亿分之一！随机洗出完美顺序的说法通常意味着有人在撒谎，或者洗牌过程并不是真正随机的。

国际象棋提供了更多可能的组合。常被称为“信息论之父”的美国数学家和电气工程师香农（Claude Shannon），就十分着迷于国际象棋和新兴的计算机科学领域之间的联系。1949年3月9日，在纽约举行的全美无线电工程师协会大会上，香农发表了一篇题为《用计算机编程下国际象棋》（ Programming a Computer to Play Chess ）的论文。在这篇文章中，他论证了在国际象棋比赛的任一给定时刻，任何（合法）数量的棋子可能所处的位置数介于10 43 到10 50 之间。香农还估计了两名棋手在不重复自己的情况下可能进行的所有棋局数大约为10 120 ，这就是所谓的香农数。当然了，这包括在实践中永远不会出现的各种棋局，除非一方或双方棋手根本不知道自己在做什么。那些对棋局有基本了解并有办法避免荒谬棋步组合的棋手，他们之间的现实棋局数量要少得多，但还是很巨大。香农意识到，国际象棋的香农数，或更专业地说，国际象棋博弈树的复杂性是如此之大，以至于要让计算机战胜人类，计算机的程序就不能仅靠一上来就分析所有可能的位置。

我们熟悉的其他游戏也有各自的博弈树复杂性。井字棋显然比国际象棋简单得多。尽管如此，它还是会产生相当多的对局形势。第一个玩家可以在9个位置中的任何一个上打“O”或“×”。第二个玩家可以从剩下8个位置中选择，以此类推。顺着这个思路继续推理，可以得出井字棋博弈树大小的上限为9!=362 880。但这个数包括了许多不符合规则的情形，因为按照规则，当一个玩家画出一条有3个O或×的直线时，游戏就结束了，因此并不是所有9个方格都必须填满。事实证明，可能的符合规则棋局数量为255 168，如果不考虑位置的反射和旋转，那么只有26 830种。

流行的四子棋游戏比井字棋复杂得多。它的玩法是使用一个6行7列的垂直棋盘和两组彩色棋子，首先将4个己方颜色的棋子排成一条直线者获胜。总共有4 531 985 219 092个不同的棋位和大约1.1×10 20 种可能的对局形势。西洋双陆棋又比四子棋复杂得多。事实上，西洋双陆棋的可能对局数约为10 144 ——尽管西洋双陆棋的可能棋位远少于国际象棋，但它的可能对局数却远远多于国际象棋。围棋则比我们之前提到的游戏都要复杂得多。大约2300年前，中国人发明了围棋。围棋最常见的玩法是在一个由19×19条线组成的正方形网格上进行（见图3-1）。两名棋手各执黑白子，轮流将己方的棋子放在线与线的交叉点上。围棋虽然规则简单，但要玩得好，所需的策略极不简单。据估计，围棋有约10 172 个棋位和10 360 种不同的棋局。

如果我们认为宇宙是由许多微小的单元格或亚原子大小的位置组成的，其中每个格子或位置都可能处于各种不同的状态，那么我们就可以把它看作一个巨大的棋盘。这让我们回到了第2章中谈到的庞加莱重现时间的概念。特别是，如果宇宙棋局是用自然界中最小的粒子在一个单元格宽度为1普朗克单位的棋盘上进行的，那么棋位返回到某个特定状态所需的时间（以年为单位），就是我们提到的由佩奇计算出的巨大的数——10^10^10^10^10^1.1。

几个世纪以来，计算一个复杂系统达到某一特定状态的概率问题以各种形式出现在人们面前。其中就有一个可以追溯到一个多世纪前的经典思想实验，它是关于猴子和打字机的问题。早在1913年，法国数学家博雷尔（Émile Borel）就已经讨论过这个问题了，也许在那之前也有人讨论过。常见的表述是：一只猴子在打字机上随机按键，要花多长时间才能一字不差地打出莎士比亚（Shakespeare）的《哈姆雷特》（ Hamlet ）。很明显，这只猴子打出的大部分内容都会是胡言乱语，即使打出一个正确的只有三个字母的英语单词也很罕见。

《哈姆雷特》的第一句话是勃那多说的：“谁在那？”（Who’s there?）。猴子按到“W”的概率是1/44，因为标准打字机的键盘有44个键。紧接在“W”之后按到“H”的概率也是1/44，因此按出序列“WH”的概率是1/44乘以1/44，即1/1936。在任何一次尝试中，这只假想中的猴子能按出《哈姆雷特》中第一个词的概率只有可怜的1/（44×44×44），也就是1/85 184。接下来，猴子必须按撇号，然后是“S”，然后是空格。你看出问题了吧：你赢得大乐透彩票的机会都比这个大——我们甚至还没有开始讨论第二个词呢！更重要的是，这只猴子只要犯一个错误，那之前的所有努力都将付诸东流，并且在那之前它设法打出的任何正确序列都必须抛掉，然后重新开始。

《哈姆雷特》是莎士比亚最长的戏剧，包含30 557个英文单词，大约130 000个字母、标点符号和单词之间的空格。假设大写字母是单独的键，那么以随机按键的方式一次性正确打完《哈姆雷特》的概率约为1/（4.4×10 360 783 ）。在真实的打字机上，打出大写字母和一些标点符号则需要同时按下两个键（Shift键加另外一个键），这大大降低了成功的概率。事实是，即使宇宙中挤满了亚原子大小的猴子，这些猴子自宇宙大爆炸以来一直在亚原子大小的打字机上不停地敲打，它们也只有一万亿分之一的概率能正确地打出《哈姆雷特》的前79个字符。

当然了，真正的猴子并不会像打字员那样整天不间断地勤奋工作，哪怕是乱打也不行。2003年，在英国德文郡的佩恩顿动物园里，人们通过行为艺术证实了这一点。他们在6只苏拉威西冠毛猕猴的围栏里放了一个电脑键盘，键盘通过无线电连接到一个网站。猴子可以在屏幕上看到自己努力的结果。在猴子们对新玩具保有新奇的时期，它们成功打出了6页文字，其中大部分是字母“S”。此后，雄性领袖在一怒之下用石头猛砸键盘，而其他猴子最后在键盘上撒尿。

2011年，美国程序员安德森（Jesse Anderson）争取到了一支更顺从的虚拟猴子大军的帮助，不仅重现了《哈姆雷特》，而且还重现了莎士比亚的所有作品。利用亚马逊的EC 2云计算系统，他同时运行了数百万个小型计算机程序，每个程序都会产生9个字符的随机序列。不过，这比原始的“猴子和打字机挑战”缩水很多。只要莎士比亚著作的任何地方出现了这9个字母的序列，安德森就将其勾选为已完成。这与必须一次性正确打出《哈姆雷特》的所有字母和其他字符的壮举不可同日而语。正如安德森所指出，好的方面是，“这是有史以来最大的随机复制作品。这对猴子来说是一小步，但对世界各地的虚拟灵长类动物来说是一大步”。

博尔赫斯（Jorge Luis Borges）等作家探索了与猴子和打字机类似的概念。在1941年出版的短篇小说《巴别图书馆》（ The Library of Babel ）中，博尔赫斯设想了一个巨大的图书馆，里面藏着许多开本和版式都相同的书：每本书有410页，每页有40行，每行大约有80个黑字。通篇只使用22个字母、逗号、句号和空格，但这些字符的每一种可能组合都按照通用格式出现在图书馆的某本书中。大部分书看起来只是一堆毫无意义的字符，剩下的小部分则相当有序，但仍然没有任何明显的意义。例如，有一本书，只有字母A不断重复；另一本完全相同，只是第二个字母换成了B。还有一些书，里面的单词、句子和整个段落虽然在某些语言中语法正确，但不合逻辑。有些是真实的历史；有些声称是真实的历史，但实际上是虚构的；有些包含了对尚未发明或发现的设备的描述。在图书馆的某处有一本书，其中包含了25种基本符号可以想象得到的或以特定格式写下来的每一种组合。然而，所有这些都毫无用处，因为如果事先不知道真或假、事实或虚构、有意义或无意义，如此详尽的符号组合没有任何价值。

博尔赫斯的图书馆会有多大？美国埃默里大学的巴齐尔（Jonathan Basile）在网站上模拟了一个英语版本的巴别图书馆。他编写的算法通过迭代29个字符（26个英文字母、空格、逗号和句号）的每一种排列来生成一本“书”。每本书都有坐标标记，对应于它在六角形图书馆中的位置，以便每次都能在同一位置找到它。据说，该网站包含“所有可能的3200个字符的页面，大约10 4677 本书”。网站还有一个搜索工具，用户可以通过该搜索工具锁定任何已知文本页面在图书馆中的位置。用这种方法可以找到《哈姆雷特》的单个页面，尽管找到同一卷同一作品任何其他页面的概率几乎为零。如果用户以每秒一本的速度点击图书，大约需要10 4668 年才能浏览完图书馆。

尽管巴齐尔的图书馆本质上毫无用处，但它还是有一些引人注目的地方。它包含了每一页已经写成或将要写成的东西（在其格式范围内）——过去、现在和未来的每一个新闻故事，每一部戏剧和小说，每一部事实和虚构的作品（包括本书），以及每一项即将产生的科学发现。在它的某个地方，连同许多毫无意义或虚假的东西，隐藏着对广阔时空中每一颗行星的准确描述，以及生命和宇宙起源的真实细节。

写到这里，我们已经遇到了一些令人印象深刻的大数，现在是时候开始考虑如何用方便、可控的方式来表示更大的数了。在处理大数时，我们通常使用的数学运算只有加法、乘法和幂运算。加法只是在某个起始数上重复加1（换句话说，就是一次向上加1）。如果起始数是8，我们想加上4，可以写成8加4个1：8+4=8+1+1+1+1=12。乘法是重复的加法，例如7×4=7+7+7+7=28。幂运算是重复的乘法：例如3 6 =3×3×3×3×3×3=729。在大多数实际应用中，我们并不需要任何比一个数提升到另一个数的幂次更强大或更紧凑的运算。但我们即将冒险踏入一个远超实际的领域，所以需要超越我们熟悉的数的表示方式。

让我们先把加法、乘法和幂运算的一般形式写下来。不妨从一个不常听到的术语——后继运算开始。从数学上讲，我们从0开始加1，然后再加1，这样一直下去。我们能做的最简单的事是在数 a 上加1，得到它的后继：

a +1

后继运算（至少以这里定义的形式）是我们在数学中学到的第一件事：如何一次一个地向上计数。下一步是一般的加法，即重复应用后继运算，换句话说，从数 a 开始，加上 b 个1。我们可以写成这样：

a + b = a +（1+1+…+1），其中括号里有 b 个1

接下来是乘法。如果我们要将 a 乘以 b ，就可以将其设定为：

a × b = a + a +…+ a ，其中有 b 个 a 相加

最后，我们可以将 a b （ a 的 b 次方）写成：

a b = a × a ×…× a ，其中有 b 个 a 相乘

请注意，每一级运算都可以用比它低一级的运算来表示（例如，用重复的加法来表示乘法）；实际上，它只是一种表示比它低一级运算的紧凑方式。

在大多数情况下，我们不需要超出 a b 的指数阶段。我们在日常生活中遇到的、在新闻中读到的，或者说，大多数科学家和数学家曾经处理过的那种大数，都可以轻松地用指数形式表示。在本书写作时，世界上所有的钱都可以非常紧凑地写成大约37×10 12 美元。即使是研究上至整个宇宙、下至亚原子粒子的物理学家和天文学家，也能很好地处理指数形式的数。

不过，我们在本书中遇到了一些特别大的数，它们不能简单地写成某个数的幂次。例如，古戈尔普勒克斯是10 古戈尔 ，但这样写是作弊，因为1古戈尔等于10 100 。我们应该老老实实地用指数把它写成：

古戈尔普勒克斯=10 10 100

同样，如果我们回想斯奎斯数和佩奇的宇宙重现时间，这些都需要一堆幂次，以便我们能在不用0填满本书或整个宇宙的情况下表示它们。

人们通常用插入符号或扬抑符^来表示幂次的幂次，这是一种方便的手段，特别是在你想避免排版问题时。问题是，一旦你开始处理比古戈尔普勒克斯或斯奎斯数甚至佩奇的宇宙重现时间大得多的数时，这种表示方法就不好用了。正如就100万亿来说，10 14 比100 000 000 000 000更容易读写，我们也想用一种更简洁的方式来表示巨大的数，比如10^10^10^10^10^10^10^10^10^53。

英国数学家古德斯坦（Reuben Goodstein）在1947年的论文《递归数论中的超限序数》（ Transfi nite Ordinals in Recursive Number Theory ）中，为幂运算的下一级运算创造了“四次迭代”（tetration）这个术语。这个词由“四”（tetra，希腊语）和“迭代”（iteration）组合而成，表示四次迭代是排在加法、乘法和幂运算之后的第四级运算。

正如我们可以将幂运算总结为：

a b = a × a ×…× a ，其中有 b 个 a 相乘

我们可以将四次迭代总结为：

其中 b 个 a 通过幂运算组合起来，从右到左计算。

例如， 5 10表示10^10^10^10^10或

其他人，比如美国布林莫尔学院的布罗默（Nick Bromer），在1987年发表的一篇论文中使用了超幂运算这个词来代替四次迭代。但这两个词的意思完全相同：它们都是指“加法、乘法和幂运算”这个运算序列中的下一个运算。我们大多数人从未遇到过超幂运算或四次迭代；就这一点而言，其实大部分数学家也不例外，除非他们碰巧专门研究一个需要处理非常大的数的领域。不过，既然这是一本专门讨论大数的书，我们就需要习惯这些奇怪的术语。为大数想出有意义的名字和定义方法，也是这里讨论的主题对我们提出的一项挑战。

我们还需要注意术语的准确性。例如斯奎斯数

就不是一个四次迭代，因为并不是所有的指数都是一样的。就像古戈尔普勒克斯和佩奇的宇宙重现时间一样，它的形式是

这被称为迭代指数。也有可能有的数看起来像

其中所有的指数都是不同的，在这种情况下，它被称为嵌套指数。

我们稍后将看到，还有其他表示四次迭代的方法，可以轻松扩展到更强大的运算。毕竟，为什么要止步于四次迭代呢？如果四次迭代是重复的幂运算，那么重复的四次迭代将把我们带到下一级运算，古德斯坦称之为“五次迭代”。接下来是“六次迭代”，以此类推。数学家将这个算术运算的序列——后继、加法、乘法、幂运算、四次迭代、五次迭代，以此类推——称为超运算序列，这个序列会一直持续下去。从后继开始，后继称为超0-运算，四次迭代称为超4-运算，五次迭代是超5-运算，六次迭代是超6-运算，等等。

尽管我们提到古德斯坦发明了“四次迭代”这个术语，但他肯定不是第一个提出超运算概念或为其命名的人。早在1901年，德国数学家毛雷尔（Hans Maurer）就引入了“ n 次 a 的 a 次方”的符号 n a ，但直到1995年拉克（Rudy Rucker）在其著作《无限与心灵》（ Infi nity and the Mind ）中写到这个符号时，它才引起广泛关注。

考虑比幂运算更强大的运算，这一想法的起源可以追溯到更早的时间。故事真正开始于18世纪的瑞士博学家兰贝特（Johann Lambert），他对数学、物理、天文学、逻辑学和哲学都做出了许多重要的贡献。他发明了第一台实用的湿度计（用于测量湿度），提出了太阳系起源的星云假说（这是今天公认模型的鼻祖），（正确地）提出了太阳是银河系中集体运动的恒星群的一部分，并在光度学方面做了开创性的工作。在数学上，他首次严格证明了π是无理数，研究了地图投影的一般性质，将双曲函数引入三角学，并预测了非欧几何。

兰贝特还定义了“兰贝特W-函数”（后获命名），该函数也被称为欧米茄函数或乘积对数函数。兰贝特用它来解决当时任何常规手段都失效的那些问题（如求解方程3 x =3 x ）。我们不需要深入探讨W-函数所涉及的错综复杂的问题，只需要知道它为弄清楚一个数无限次地取相同的幂次时会发生什么奠定了基础。兰贝特在1758年出版的第一本书中给出了W-函数；奇怪的是，这本书的主题是光在各种介质中的传播。不过，正是他的同胞欧拉（Leonhard Euler）通过所谓的幂塔函数将W-函数与四次迭代联系了起来，以此来使用W-函数。

欧拉比兰贝特年长20岁，是历史上最高产的数学家之一。欧拉曾在一篇论文中提到“天才的工程师兰贝特”，听起来颇有些明褒暗贬的意思！他们在数学上有相同的兴趣，特别是在数论领域。欧拉在兰贝特证明π是无理数之前，就证明了e是无理数。兰贝特在W-函数方面的工作则促使欧拉开始考虑后来被称为幂塔函数

的性质，其中 x 无限高地堆叠起来。粗略看一下，你可能就会发现，对于所有大于1的 x ，这个函数都会趋于无穷大。我们习惯于使用“指数增长”一词来表示“爆炸性增长”，因此只要 x ＞1，像欧拉幂塔函数这样的重复指数似乎就应该无限制地膨胀。但值得注意的是，情况并非如此：有许多大于1的 x 值，欧拉幂塔函数收敛于一个有限值。

例如，如果 ，那么

很容易证明这个值不是无穷大，也不是某个巨大的有限数，而是2。在研究幂塔函数的过程中，欧拉成了超运算（超越简单的幂运算）的先驱。他是第一个深入研究我们现在所说的四次迭代的人。尽管他认识到，将一个幂提升到一个幂再提升到一个幂，这样一直提升下去，很快就会得出巨大的数，但他也发现了一些令人惊讶的结果。通往世界上最大的数的道路并不只有不断的上升，还有迷人的曲折。 o/KSBVYQuZh0XcvsszdDwidgPVG8Vh774cHhN1KD2qwPGQYRHY20DUuk/+2Lb6Y0