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在科学中，巨大的数和微小的数比比皆是，原因显而易见：宇宙大得惊人，而最终构成它的粒子则小得惊人。如果我们计算自然界中非常微小的东西（比如原子）的数量，或者用日常的单位测量宇宙尺度，那么结果很快就会超过一万亿。例如，“米”在人类世界中是一个可感知的长度单位，但当我们谈论星际距离时，就不是那么回事了。即使是离太阳最近的恒星——半人马座比邻星，也位于距离地球大约40 000 000 000 000 000（4亿亿）米之外。
科学中频繁出现非常大和非常小的数，这就是“科学记数法”被普遍使用的原因。在科学记数法（也称为标准形式或指数形式）中，4亿亿可以紧凑地写成4×10 16 ，这样我们一眼就能看出4后面有多少个0。
另一种更容易管理我们所处理的数的方法，是使用更大的单位。这就是天文学家经常用光年或秒差距来表示距离的原因。1光年是光以每秒3亿米的速度在一年内走过的距离，大约相当于9.46万亿千米，因此我们与比邻星的距离是4.24光年。
1秒差距是指地球绕太阳公转轨道的平均半径对应视角为1/3600度角（称为1角秒）的距离，相当于3.26光年。比邻星距离地球1.30秒差距，银河系中心距离地球8000秒差距多一点。然而，一旦我们驶出自己所在的银河系，深入到星际空间，秒差距也开始显小了。于是，天文学家转向了千秒差距、百万秒差距，最后是吉秒差距（十亿秒差距）。整个可观测宇宙的直径约为28.5吉秒差距，即8.8×10 23 千米。
正如我们在第1章中所见，这种量级的数在科学中并不少见。阿基米德的宇宙沙粒数在现代记数法中约为8×10 63 。对我们来说幸运的是，宇宙实际上并没有充满沙粒。尽管如此，科学中还是有一些非常大的数适用于现实情况，或者说至少适用于我们尝试对现实情况的估计。
早在1811年，意大利科学家阿伏伽德罗（Amedeo Avogadro）就提出，在给定的温度和压力下，气体的体积与其中的分子数量成正比，而与具体涉及的气体无关。这意味着在相同条件下，等体积的不同气体（例如氧气和二氧化碳）含有相同数量的分子。虽然阿伏伽德罗相信原子和分子的存在，并对它们做了区分，但无法知道它们的大小。20世纪初，法国物理学家佩兰（Jean Perrin）通过实验首次对这一数量进行了相当精确的测量，这个数后来被称为阿伏伽德罗常数。今天，我们知道阿伏伽德罗常数的精确值为6.022 140 76×10 23 ，它定义为1摩尔物质（可以是分子或原子，甚至离子）中组成粒子的数量。1摩尔物质的质量都是以克为单位，数值上等于该物质的相对分子质量。因此，例如31.9988克氧气和44.0095克二氧化碳在相同条件下都含有6.022 140 76×10 23 个分子，约6000万亿亿个分子。
以日常标准衡量，6000万亿亿这个数是巨大的。事实上，这是科学家们日常处理的最大的物理常数，它也让人感受到原子和分子尺寸微小这一基本特征。1摩尔水仅重18克，却包含6000万亿亿个水分子！
还有一个更加巨大的数，它是以另一位著名科学家爱丁顿（Arthur Eddington）爵士的名字命名的。在1923年出版的《相对论的数学理论》（ The Mathematical Theory of Relativity ）一书中，爱丁顿写道：
我相信宇宙中有15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296个质子和数量相同的电子。
令人震惊的不是这个数的大小——毕竟，整个宇宙中质子和电子的数量肯定是巨大的——而是其表述中超乎寻常的精确度。如果爱丁顿仅仅是宣布质子的总数“大约为1.57×10 79 ”，或“大约为1570万亿亿亿亿亿亿亿亿亿”，那它不会引起太大的轰动。但是，他声称已经计算出了这个值，并且还精确到了最后一个粒子！
爱丁顿开始对巨大的宇宙数字产生兴趣时，已经是世界知名的天体物理学家了。1919年，他率领一支探险队在南非观测日全食，证实了爱因斯坦广义相对论的一个关键预言——恒星发出的光线经过大质量物体（本例中是太阳）附近时，路径会弯曲。他还是恒星物理学的先驱，于1920年首次提出恒星通过核聚变过程产生热和光。
20世纪20年代，爱丁顿逐渐痴迷于建立一个将相对论、量子力学、宇宙学和引力统一起来的宏大理论。虽然他的工作一开始中规中矩，但很快就融入了数字命理学和美学的元素。爱丁顿并不是唯一一个为这种最终被称为“大数假说”的东西神魂颠倒的人。1919年，德国数学家外尔（Hermann Weyl）注意到，自然界中一些基本距离和力的比值都很大，而且非常相近，由此开始了研究。例如，外尔发现质子和电子之间的电作用力大约是引力的10 40 倍。当外尔将当时估计的宇宙半径除以所谓的经典电子半径时，10 40 这个因子又一次出现了。
随着爱丁顿深入研究将亚微观世界与宏观世界联系起来的这类关系，他迷上了自然界中一个神秘的因子——精细结构常数。这个常数出现在原子物理和核物理的各个领域，其作用之一是校准基本带电粒子（如电子）之间电磁力的强度。直到现在，其他领域的物理学家仍震惊于它在不同尺度的宇宙事务中所发挥的关键作用。泡利（Wolfgang Pauli）终身都痴迷于这个数，泡利曾说：“我死后问魔鬼的第一个问题就是：精细结构常数的意义是什么？”费恩曼（Richard Feynman）也直言它是“物理学的最大谜团之一”。
在爱丁顿第一次将注意力转向精细结构常数时，人们还没有从实验中得出它的精确值，只知道它大约是1/136。爱丁顿通过一系列晦涩难懂的复杂步骤，声称他已经从理论上证明了这个值恰好是1/136。正因如此，他的推理使他相信，宇宙中的质子数是136×2 256 ——这就是臭名昭著的爱丁顿数。爱丁顿在他1923年的书里完整地写下了这个数，并于1938年在剑桥大学三一学院的一次公开演讲中再次重复了这个数。
不幸的是，后来的一些实验调低了精细结构常数的值，使其更接近于1/137（事实上，现在已知它的值为1/137.035 990 84）。这种实验上的重新调整并没有令爱丁顿感到困扰：他只是稍稍调整了自己的理论，就让它又恰好产生了1/137！果不其然，爱丁顿如此随意地敷衍这个问题，没有人会被他的调整说服。其他科学家对他的大数推理失去了信心，讽刺杂志《笨拙》（ Punch ）更是抓住了这种情绪，戏称他为“亚瑟加一爵士”。虽然爱丁顿的数最终证明是虚构的，但它确实获得了一项殊荣：它是迄今为止宣称的对物理世界有影响的最大具体数值，而不是估计值或近似值。
如前所述，当大量的小碎片组成相对巨大的事物时，必然会出现大数。构成我们身体的细胞是微小的，而构成一个普通人需要几十万亿个细胞。此时此刻，你用来吸收这些想法的大脑，包含约860亿个神经元（即神经细胞），这是里约热内卢大学的一个研究小组在2009年得出的数字。由于每个神经元都与其他许多神经元相连，因此大脑中的神经元连接总数远远大于860亿：100万亿是一个合理的估值。
每秒大约有2840立方米的水流过尼亚加拉大瀑布（其中绝大部分在马蹄瀑布）。这相当于每小时流过的水是1000万立方米，每年约900亿立方米，或在寿命80岁的人的一生中有7.2×10 12 立方米的水流过。考虑到1立方米水中约有3.355×10 28 个水分子，这意味着大约有2.4×10 41 个水分子从瀑布上掉落。按照这样的流速，地球上所有的水大约需要1380万年才能全部流过尼亚加拉大瀑布。
掌握百万、十亿、万亿这类数的一种有效方法是想象一个由点组成的立方体。从一个小一点的数开始，比如100，这可能是一个参加中等规模婚宴的人数。想象一个立方体，它的每条边都有100个点，那么它的每个面就有100×100个点，整个立方体中共有100×100×100，即100万个点。有时宗教集会上会有100万人聚集在一起。1969年伍德斯托克音乐节的观众大约在50万到100万之间。在某种程度上，我们可以据此通过图片或在脑海中把握100万有多大。接下来，想象每条边有1000个点的立方体，它总共包含10亿个点。每条边有100 000个点（可以想象在一个拥挤的大型体育场中，每个人都是一个点）的立方体包含10 5 ×10 5 ×10 5 =10 15 ，即1000万亿个点，这大约与10个人大脑中神经元之间的连接数一样多。
荷兰设计工程师德布鲁因（Daniel de Bruin）为了庆祝自己生命的第一个10亿秒（在他31岁那年，2020年3月1日达到），发明了一台机器，它需要超过1古戈尔年的时间才能完成1个周期的旋转。从汽车到洗衣机，许多设备都使用减速驱动器（一系列相连的齿轮）来降低速度，并增加电机产生的扭矩。德布鲁因只是将这个想法发挥到了极致。他连接了100个齿轮，每个齿轮的减速比为10:1，因此上一个齿轮转十圈，下一个齿轮才能转一圈。链条中最后一个齿轮的转速是第一个齿轮的1古戈尔（10 100 ）分之一。由于第一个齿轮旋转一圈大约需要4秒，因此第一百个齿轮的旋转周期约为4×10 100 秒。这大约是1.3×10 93 年或者是目前宇宙年龄的约1000亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿倍！
德布鲁因已经在网上分享了他的机器运行整整一个小时的视频，并考虑为喜欢这种缓慢且可预测的运行的观众设置直播。只是不要对大部分齿轮的运动方式抱有太大期望，因为即使是地球上最灵敏的仪器，也无法检测到它们的运动。至于最后一个齿轮转动一圈所需的总能量，那将远远大于宇宙中所有能量的总和。
科学并不是生活中唯一会产生巨大数的领域。有时，当一个国家的货币受到恶性通货膨胀的冲击时，该国几乎每个人都会在一夜之间成为亿万富翁，但仍可以说是身无分文。这种情况就发生在20世纪20年代初的德国。当时，德国因第一次世界大战的开支以及随后同意支付的赔款而背负着巨额债务。到1923年11月，1美元可以兑换4.2万亿德国马克（见图2-1），这种货币已经一文不值了，以至于被用作墙纸或引火物，工人们带着手提箱、推着手推车去上班领工资。次年7月，总共有12万亿亿——1 200 000 000 000 000 000 000——马克在流通。
图2-1 20世纪20年代，为了应对德国马克的快速贬值，德国发行并重新加盖了邮票
第二次世界大战结束后不久，匈牙利也遭遇了类似的金融危机，其通货膨胀率达到了百分之4190亿亿，是有史以来最高的。这促使匈牙利发行了一系列面值大得离谱的纸币，最终在1946年发行了Százmillió-B帕戈时达到顶峰。Százmillió-B代表1万亿亿，因此，如果你口袋里有这样一张纸币，你就会自豪地成为1万亿亿（10 24 ）帕戈的主人，足以购买——好吧，可能买不了多少东西！要说明这个问题，我们假设1帕戈的纸币面积为5厘米×10厘米，那么1万亿亿张帕戈就足以完全覆盖地球表面2000层。匈牙利的情况极度恶化，不得不决定引入一种全新的货币。1946年8月1日，福林取代了帕戈，或者更准确地说，1福林取代了40万亿亿亿，即4×10 29 帕戈！流通中的帕戈面值总额一下子减少至不足新货币单位的千分之一。
还是金融方面。2023年，地球上最富有的人是特斯拉的创始人马斯克（Elon Mask），马斯克的财富据估计达到2400亿美元。不过，与有史以来最大的诉讼案相比，这就是小巫见大巫了。曼哈顿居民普里西马（Anton Purisima）声称自己在纽约的公交车上被一只“感染狂犬病”的狗咬伤，于2014年4月11日提起诉讼，索赔2万亿亿亿亿美元。在一份长达22页的手写诉状中，普里西马起诉了纽约市交通局、拉瓜迪亚机场、面包店Au Bon Pain（他坚称在那里经常被多收咖啡钱）、霍博肯大学医学中心以及其他数百家机构，要求的赔偿比整个地球上的钱还要多得多，还附了一张他中指夸张地缠着超大号绷带的照片。对于被告以及世界的货币供应来说幸运的是，法官驳回了他的诉讼：“法院在审查了原告的申诉后，发现这起诉讼缺乏任何可供论证的法律或事实依据。”
正如你可以想象的那样，当我们试图计算用多少科学所设想的最小对象能装满我们所知的最大对象——宇宙本身——时，一些与物理现实相关的最大数就出现了。不过，目前我们还不清楚这两个极端值是多少。我们认为，整个宇宙是在大约138亿年前的一次大爆炸中诞生的。从那时起，宇宙中的物质就像巨大爆炸产生的碎片一样飞散开来，在四维时空的无垠表面上越散越远。
我们仍然不能确定宇宙的整体性质，包括它的形状，以及大小是否有限。我们只能从能看到的部分里获得信息。我们能看到的部分，就是自大爆炸以来，有机会到达我们的那部分光，这就是所谓的可观测宇宙，据信它的直径约为930亿光年或8.8×10 26 米。如果我们假设可观测宇宙是球形的，那么它的体积大约为4×10 80 立方米。
尺度的另一端是原子、亚原子粒子和量子力学的世界。例如，氢原子的直径只有一百亿分之一米。即是1除以100亿，也就是1除以10的10次方，我们可以写成10 -10 米，负号表示“1除以”或者倒数。氢核是一个质子，要比原子小得多，直径仅有2×10 -14 米，体积为4×10 -42 立方米。那么，就体积而言，可观测宇宙是质子的10 122 倍。
但质子离自然界中最小的对象还差得很远。质子内部还有更小的粒子，叫夸克。而比任何基本物质都小得多的是普朗克长度。物理学家假设，在足够高的放大倍率下观察时空，其本身的颗粒性会变得很明显。通常情况下，我们认为时空是一个平滑和连续的背景，物质和能量的戏剧在此上演。但在足够短的长度和时间内，这种连续性会被打破，空间和时间的量子性质会变得显著。普朗克长度是以德国理论物理学家普朗克（Max Planck）的名字命名的，普朗克在1899年首次提出这一概念。普朗克长度约为1.6×10 -35 米；直径为1普朗克长度的球体，体积约为2×10 -105 立方米。用目前可观测宇宙的体积（4×10 80 立方米）除以这个极其微小的数，就可以知道多少物理意义上的最小体积能填满我们所知的最大实际体积。答案是：大约2×10 185 。完整写下来（向校对人员表示歉意！）就是
200 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
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或者200 sexagintillion（20亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿）。
我们不知道整个宇宙比可观测宇宙大多少。一种可能是，宇宙是无限的，而且一直是无限的。即使它是有限的，我们能看到的也可能只是整个宇宙的一小部分。这在很大程度上取决于宇宙演化早期一个异常快速的阶段——暴胀，这一阶段从大爆炸后约10 -37 秒开始。保守估计整个宇宙的体积至少是目前观测到的250倍，激进的估计则认为这一倍数超过10 70 。无论如何，整个宇宙的体积与直径为1普朗克长度的球体的体积之比，必定远大于我们在上面完整写出的那个已然很大的数。
当我们开始思考现实世界中计算的极限时，也会出现巨大的数。在这里，我们谈论的不是理论上在时间和存储空间无限的条件下可计算的东西（后面会有更多的介绍），而是要考虑物理定律所施加的实际限制。其中之一是以德裔美国数学家和生物物理学家布雷默曼（Hans-Joachim Bremermann）的名字命名的布雷默曼极限。它基于两个基本原则。第一个是著名的爱因斯坦质能方程 E = mc 2 ，它标定了质量和能量的等价，其中 c 是光速；第二个是海森堡的测不准原理，它表达了能以何种精度确定某些量对（如能量和时间，质量和动量）的值。布雷默曼极限是任何孤立的物质系统能处理数据的最大速率，它等于 c 2 / h ，约为1.36×10 50 比特/（秒·千克），其中 h 是普朗克常数。我们不习惯以这种方式表达的数据处理能力；通常情况下，我们读到的是一个芯片或一台计算机每秒能处理多少比特。这是因为布雷默曼极限远远超过了人类曾经制造或在可预见的未来里可能制造的任何东西的处理速度。然而，它在设计抵御暴力搜索的加密系统方面很有意义，这些暴力搜索试图通过遍历所有可能的组合来破解秘密代码和口令。
想象一台和地球一样大的、能以布雷默曼极限工作的计算机。它每秒可以进行约10 75 次计算。以这种速度，它可以在不到10 -36 秒内破解一个典型的128位密钥，在大约两分钟内破解一个256位的密钥。然而，要破解一个512位的密钥，即使是对这样一个地球一样大小的庞然大物，在计算速度极限下也需要工作10 72 年，这是不现实的。
自然界中计算可能性的另一个（也是相关的）极端限制是贝肯斯坦上限，以出生于墨西哥的以色列裔美国物理学家贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）的名字命名，贝肯斯坦在20世纪80年代初提出了这个想法。贝肯斯坦上限是指在给定体积的空间内可以包含的最大信息量。在定义时，贝肯斯坦想到了宇宙中最极端的对象——黑洞。具体来说，他研究的是当物体落入黑洞时会发生什么。
过去人们认为，一旦进入黑洞，任何东西都无法逃脱。然而，霍金（Stephen Hawking）提出了一种可以提取信息的方法，从而有可能将黑洞作为最极端的数据存储或计算设备，并且其存储密度等于贝肯斯坦上限。麻省理工学院的工程师和物理学家劳埃德（Seth Lloyd）计算出，将一千克物质压缩成一个3×10 -27 米宽的黑洞所形成的“终极笔记本电脑”，每秒能进行5×10 50 次运算。但不利的一面是，作为亚微观黑洞，它会由于霍金辐射在大约一千亿亿分之一秒内蒸发成一束伽马射线，所以不太适合日常使用。
在尺度的另一端，劳埃德认为，如果把可观测宇宙中的所有物质都变成一台黑洞计算机，那么它每秒能进行10 90 次运算，在霍金辐射导致它蒸发之前，它的寿命可以达到2.8×10 139 秒。在这段时间里，它能进行2.8×10 229 次运算。考虑到这台计算机将与所有的物理现实共存，我们也很难知道这些运算的目的和性质是什么！
在科幻小说的世界里，一切皆有可能，甚至是从一艘宇宙飞船的气闸中被推出，片刻后被恰巧经过的另一艘宇宙飞船所救这种小概率事件也会发生。在《银河系搭车客指南》（ The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy ）中，登特（Arthur Dent）和派法特（Ford Prefect）被弹出伏根号飞船后，亚当斯（Douglas Adams）就安排这两个角色享受了这种巨大的运气：他们真的碰巧被“无限非概率驱动器”所驱动的“黄金之心”救了起来——发生这种事的概率是2 260 199 :1。
描述我们所生活的 现实 世界方方面面的数中，似乎不可能有比这更大的了。但有一些数比我们迄今为止所看到的所有数都要大得多，而且，正如亚当斯的书中所说，它们涉及概率。这些数就是所谓的庞加莱重现时间，它们大得惊人。庞加莱重现时间以法国数学家、物理学家庞加莱（Henri Poincaré）的名字命名，指的是一个系统（如运动粒子的集合）回到与开始时完全相同的状态所需要的时间。系统越大、越复杂，它可能拥有的状态自然也越多，它完全随机地返回初始状态所需要的时间就越长。加拿大物理学家佩奇（Don Page）计算了整个宇宙在各种不同起始条件下的庞加莱重现时间。根据描述宇宙最早时刻的模型，佩奇得出了一个重现时间的范围，它可以一直延续到这么多年：
到目前为止，我们谈到的任何东西都没有达到这个规模。事实上，这是有史以来由科学家（虽然不是由数学家！）计算并发表在学术期刊上的最大的数。这也是我们第一次在本书中看到以这种指数堆叠的形式表示的数，10的10的10的10的10的1.1次方。方便起见，我们也可以用插入符或扬抑符将它写成10^10^10^10^10^1.1。
我们之后会看到更多这种类型的数——重复的指数。现在，我们有必要花点时间来理解一下它的含义。先忽略1.1，就看10^10^10^10^10。我们从右到左计算它，即顺着幂的方向向下计算：10^10是10 000 000 000；10^10^10是10^10 000 000 000，也就是1后面100亿个零；10^10^10^10是10的1后面100亿个零次方；最后，10^10^10^10^10是10的10的1后面100亿个零次方。
这似乎是一个令人印象颇深的数，但在通往我们可命名、定义和思考的最大数之路上，这只是一小步。从现在起，我们必须抛开物理世界，进入数学领域，我们的思想将摆脱物质、能量、空间和时间的限制。