第3—6周
有理数及其运算

（要点梳理）

一、知识结构

二、知识要点

（一）有理数及其有关概念

1．有理数

（1）二分法：

（2）三分法：

2．相反数

只有 符号不同的两个数，叫做互为相反数。0的相反数是0。

和为零 的两个数֞互为相反数。如 。

两个互为相反数（0除外）的商为-1。

3．倒数

乘积为1 的两个数，互为倒数。 的倒数是 。

0没有倒数。 的倒数是它本身。

4．绝对值

（1）绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的 点到原点的 距离 。a的绝对值记作|a|。

（2）绝对值的代数意义：

正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0。（任何一个数的绝对值都是一个非负数，即 。）

绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数。

如：

5．非负数

（1）非负数即“不是负数”，包括“0和正数”。

（2）非负数的类型：|a|≥0；a ² ≥0；…

（3）非负数的性质：

如果几个非负数的和等于0，那么这几个非负数必然同时为0，即：

6．数轴

（1）定义：规定原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴。

（2）三要素：原点、正方向、单位长度。（二三四，九个字。）

（3）数轴的作用：

表示数；表示相反数；表示绝对值；比较数的大小……

（4）数轴上，右边的数总大于左边的数（图1-7）。

即：正数 负数。

（5）比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小。

如：

7．科学记数法

用来表示很大很大（或很小很小）的数的一种记数方法。

表示形式为：a×10 ⁿ ，其中1≤|a|<10，n为整数。

8．近似数与有效数字

（1）近似数：一个与实际数较为接近的数，称为近似数。

（2）有效数字：一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到（精确到的） 最末一位数字 止，所有的数字叫做这个近似数的有效数字。

（二）有理数的加减

1．有理数加法的法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）任何数与0相加，仍得任何数；两个互为相反数的数相加，和为0。

2．有理数减法的法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即a−b=a+（−b）；a−（−b）=a+b。

3．有理数加减混合运算技巧：

首先写成“省略加号的代数和”，然后 正数与正数相加，负数与负数相加 ，最后求和。

（特殊情况，灵活运用，能简算的要简算。）

（三）有理数的乘除与乘方：

1．有理数的乘法法则

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

②任何数与0相乘，积都等于0；两个互为倒数相乘，积为1。

③多个有理数相乘，首先确定“积的符号”：当“负因数的个数”是奇数时，积为负；当“负因数的个数”是偶数时，积为正。

即： 有理数相乘，符号先确定；“奇数”积为负，“偶数”积为正。

2．有理数的除法法则

①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

②除以一个数（0除外），等于乘以这个数的倒数。即：

【附注】有理数的连乘或乘除混合运算技巧：

先把带分化假分，
再把除法转为乘；

能约分的先约分，
约分之后再相乘。

3．有理数的乘方法则

乘方是乘法的高一级运算，也是简便运算。

乘方的结果叫做“幂”。即：

①正数的任何次幂都是正数；

②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

③任何非零数的偶次幂都是正数；1的任何次幂都等于1；

任何非零数的0次幂都等于1，即 =1（ ）。

（四）有理数的混合运算

1．混合运算顺序：

乘方乘除再加减，若有括号应优先。

同级运算紧相连，谁在前面谁先算；

同级运算并列现，一般可以同时算。

括号里面又出现，运算顺序仍同前。

2．简便运算思路：

（1）观察——仔细观察题目的特征。

（2）变形——根据题目的特征，进行合理的变形。

（3）计算——细心对待每一步计算。

即：一看二变三计算！

【许子金句】计算题目不可怕，确定符号最为大！

三、常考题型

1．有理数及其有关概念题；

2．利用相反数、倒数、绝对值定义求值；

3．绝对值与数轴的“数形结合”问题；

4．有理数的混合运算；

5．非负数的性质的运用；

6．“绝对值代数式”的最大/最小值问题。

（此处如果有一线教师适当地加以演绎、指导，效果一定会更好！） bnRBHhR3EQOn9JPdJ4+MII5jQ3koZY4iUF0wYvnunPaTz0y/qX63/eOw4JQf96n5