3．几何概型和贝特朗悖论 ^[3]

抛硬币、掷骰子之类游戏中涉及的概率是离散的，抛掷结果的数目有限（2或6）。或者用更数学一点的语言来说，此类随机事件的结果所构成的“样本空间”是离散的、有限的。如果硬币或骰子是对称的，每个结果发生的概率基本相等。这一类随机事件被称为古典概型。数学家们将古典概型推广到某些几何问题中，使得随机变量的结果变成了连续的，数目无限多，这种随机事件被称为“几何概型”。古典概型向几何概型的推广，类似于从有限多个整数向“实数域”的推广。了解几何概型很重要，因为与之相关的“测度”概念（长度、面积等），是现代概率论的基础。

布丰投针问题，是第一个被研究的几何概型。

18世纪的法国，有一位著名的博物学家乔治·布丰（George Buffon，1707—1788）伯爵。他研究不同地区相似环境中的各种生物族群，也研究过人和猿的相似之处，以及两者来自同一个祖先的可能性。他的研究对现代生态学影响深远，他的思想对达尔文创建进化论影响很大。

难得的是，布丰同时也是一位数学家，是最早将微积分引入概率论的人之一。他提出的布丰投针问题（图1-3-1）是这样的：

用一根长度为 L 的针，随机地投向相隔为 D 的平行线（ L < D ），针压到线的概率是多少？

在布丰投针问题中，求的也是概率，但这时投掷的不是硬币或骰子，而是一根针。硬币投下去只有“正”“反”两种基本结果，每种概率为1/2。骰子有6种结果，每一个面出现的概率为1/6。我们现在分析一下布丰投针的结果。按照图1-3-1（a）所示的数学模型，针投下之后的状态可以用两个随机变量来描述，针的中点的位置 x ，以及针与水平方向所成的角度 θ 。 x 在- D /2到 D /2之间变化， θ 在0到2π之间变化。因为 x 和 θ 的变化是连续的，所以其结果有无限多。古典概型中的求和在几何概型中要用积分代替，使用积分的方法不难求出布丰的针压线的概率：

因为布丰投针中的概率是对于 x 和 θ 的二重积分，所以概率的计算可以简化为如图1-3-1（b）所示的几何图形的面积计算，即所求概率等于图1-3-1（b）中阴影面积与矩形面积之比。

布丰投针的结果提供了一个用概率实验来确定圆周率π的方法（蒙特卡罗法）。从公式（1-3-1）可得

当投掷针的次数（样本数）足够大，得到的概率 P 足够精确时，便可以用公式（1-3-2）来计算π。的确有些出乎意料，真没想到用一根针丢来丢去也能丢出一个数学常数来！

从上面的介绍可知，几何概型将古典概型中的离散随机变量扩展到了连续随机变量，求和变成积分，变量的样本空间从离散和有限扩展到无穷。几何概型和古典概型都使用“等概率假设”。然而，只要涉及无穷大，便经常会产生一些怪异的结果。布丰投针问题中条件清楚，没有引起什么悖论。著名的几何概型悖论是法国学者约瑟夫。贝特朗（Joseph Bertrand，1822—1900）于1889年提出的贝特朗悖论。

贝特朗提出的问题是：在圆内任作一弦，求其长度超过圆内接正三角形边长 L 的概率。奇怪之处在于，这个问题可以有3种不同的解答，结果完全不同但听起来却似乎都有道理。

求解贝特朗问题中的概率，不需要使用微积分，只需要利用几何图形的对称性便能得到答案。与计算布丰投针问题中概率的情况类似（图1-3-1（b）），一般来说，可以将几何概率的计算变换成几何图形的计算，即计算弧长或线段的长度，或者是面积或体积。从下面计算贝特朗问题的3种不同方法，读者可以更为深入地理解这点。

方法1：首先假设弦的一端固定在圆上某一点（比如 A ），如图1-3-2（a），弦的另一端在圆周上移动。移动端点落在弧 BC 上的弦，长度均超过圆内接正三角形的边长 L ，而其余弦的长度都小于 L 。由于对称性， BC 弧长占整个圆周的1/3，所以可得弦长大于 L 的概率为 BC 弧长与圆周长之比，即 P =1/3。

方法2：首先选择圆的一个直径，比如图1-3-2（b）中的 AD 。过该直径上的任意一点做直径的垂线，与圆相交形成弦。从图1-3-2（b）中可以看出：当直径上动点的位置在 B 和 C 之间时，所得弦的弦长大于正三角形的边长 L ，动点位置在 BC 之外时弦长小于 L 。因为线段 BC 的长度是整个直径的一半，所以弦长大于 L 的概率为 P =1/2。

方法3：如图1-3-2（c）所示，作一个半径只有所给圆（称为大圆）的半径1/2的同心圆（称为小圆）。考虑大圆上任意弦的中点的位置可知：当中点位于小圆内部时，弦长符合大于 L 的要求。因为小圆的面积是大圆面积的1/4，所以概率为 P =1/4。

以上3种方法听起来都很有道理，却得出3种不同的结果，这是怎么回事呢？

按照传统解释，关键在于“随机”选择弦的方法。方法不同，“等概率假设”的应用区间也不一样。方法1假定端点在圆周上均匀分布（即等概率）；方法2假定弦的中点在直径上均匀分布；方法3则假定弦的中点在圆内均匀分布。图1-3-3给出了3种解法中弦的中点在圆内的分布情形。图1-3-4则是用3种方法直接画出弦，以比较弦在圆内的分布情形。也可以说，贝特朗悖论不是悖论，只是问题中没有明确规定随机选择的方法，方法一旦定好了，问题自然也就有了确定的答案。

概率论中的悖论很多，基于经验的直觉判断很多时候并不靠谱。下一节将要介绍的本福特定律，也是一条初看起来有些奇怪、不符合直觉的定律，不过这条定律用处很大，有时候甚至还能帮助侦破“财务造假”。