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如今，“概率”一词在我们的生活中随处可见，被使用得越来越广泛和频繁，因为这是一个越来越多变的世界：一切都在变化，一切都难以确定。我们的世界可以说是由变量构成的，其中包括很多决定性变量。比如新闻说：“北京时间2016年11月3日20时43分，长征五号运载火箭在海南文昌成功发射”，这里的时间、地点都是确定的决定性变量。然而，我们的生活中也有许多难以确定的随机变量，比如，明天雾霾的程度或某公司的股票值，等等，都是不确定的随机变量。随机变量不是用固定的数值来表达，而是用某个数值出现的概率来描述。正因为处处都有随机变量，所以处处都能听见“概率”一词。当你打开电视看天气预报，看今天会不会下雨时，气象预报员告诉你说：今天早上8点钟的“降水概率”是90%；当你在手机上查询股市中某只股票的预期价格时，你得到的信息可能是这只股票3个月之后翻倍的概率是67%；当你满怀期望地买了50元钱的彩票，朋友却告诉你，你中奖的概率只有一亿分之一；当你手臂上长了一个“肉瘤”，医生初步检查后安慰你，它是恶性瘤的概率只有0.03%而已……生活中“概率”这个词太常见了，以至于人们不细想也大概知道是什么意思。比如说，0.03%的恶性概率的意思不就是说，“10000个这样的肉瘤中，只有3个才会是恶性的”吗？因此，在经典意义上，概率就可以被粗糙地定义为事件发生的频率，即发生次数与总次数的比值。更准确地说，是总次数趋于无限时，这个比值的极限。
虽然“概率”的定义不难懂，好像人人都会用，但你可能不知道，概率计算的结果经常违背我们的直觉，概率论中有许多难以解释、似是而非的悖论。不能完全相信直觉！我们的大脑会产生误区和盲点，就像开汽车的驾驶员视觉中有“盲点”，需要多面镜子来克服一样，我们的思维过程中也有盲点，需要通过计算和思考来澄清。概率论是一个经常出现与直觉相悖的奇怪结论的领域，连数学家也是稍有不慎便会错得一塌糊涂。现在，我们就举例说明经典概率中的一个悖论，叫作“基本比率谬误（base rate fallacy）”。
我们从一个生活中的例子开始。王宏去医院做化验，检查他患上某种疾病的可能性。其结果居然为阳性，把他吓了一大跳，赶忙在网上查询。网上的资料说，检查总是有误差的，这种检查有“1%的假阳性率和1%的假阴性率”。这句话的意思是说，在患病的人中做检查，有1%的人是假阴性，99%的人是真阳性。而在未患病的人中做检查，有1%的人是假阳性，99%的人是真阴性。于是，王宏根据这种解释，估计他自己得了这种疾病的可能性（即概率）为99%。王宏想：既然只有1%的假阳性率，99%都是真阳性，那我感染这种病的概率便应该是99%。
可是，医生却告诉他，他在普通人群中被感染的概率只有0.09（9%）左右。这是怎么回事呢？王宏的思路误区在哪里？
医生说：“99%？哪有那么大的感染概率啊。99%是测试的准确性，不是你患病的概率。你忘了一件事，感染这种疾病的比例是不大的，1000个人中只有一个人患病。”
原来这位医生在行医之余，也喜爱研究数学，经常将概率方法用于医学上。他的计算方法基本上是这样的：因为测试的误报率是1%，1000个人中有10个被报为“假阳性”，而根据这种病在人口中的比例（1/1000=0.1%），真阳性只有1个，所以，大约11个测试为阳性的人中只有一个是真阳性（有病）的，因此，王宏被感染的概率大约是1/11，即0.09（9%）。
王宏思来想去仍感到糊涂，但这件事激发他去重温之前学过的概率论。经过反复阅读，再思考琢磨医生的算法之后，他明白自己犯了那种叫作“基本比率谬误”的错误，即忘记使用“这种病在人口中的基本比例（1/1000）”这个事实。
谈到基本比率谬误，我们最好是先从概率论中著名的贝叶斯定理 [2] 说起。托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，1702—1761）是英国统计学家，曾经是个牧师。贝叶斯定理是他对概率论和统计学做出的最大贡献，是当今人工智能中常用的机器学习的基础框架，其思想之深刻远超一般人所能认知，也许贝叶斯自己生前对此也认识不足。因为如此重要的成果，他生前却并未发表，是在他死后的1763年由朋友发表的。
粗略地说，贝叶斯定理涉及两个随机变量 A 和 B 的相互影响。如果用一句话来概括，这个定理说的是：利用 B 带来的新信息，应如何修改 B 不存在时 A 的“先验概率” P （ A ），从而得到 B 存在时的“条件概率” P （ A | B ），或称后验概率，如果写成公式（图1-2-1）：
图1-2-1 条件概率与失验概率
这里先验、后验的定义是一种约定俗成，是相对的。比如说也可以将 A 、 B 反过来叙述，即如何从 B 的先验概率 P （ B ），得到 B 的“条件概率” P （ B | A ），见图（1-2-1）中虚线所指。
不要害怕公式，通过例子，我们就能慢慢理解它。例如，对前面王宏看病的例子，随机变量 A 表示“王宏得某种病”；随机变量 B 表示“王宏的检查结果”。先验概率 P （ A ）指的是王宏在没有检查结果时得这种病的概率（即这种病在公众中的基本概率0.1%）；而条件概率（或后验概率） P （ A | B ）指的是在王宏“检查结果为阳性”的条件下得这种病的概率（9%）。如何从基本概率修正到后验概率？我们后面再解释。
贝叶斯定理是18世纪的产物，200来年用得好好的，却不想在20世纪70年代遇到了挑战，该挑战来自丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）和特维尔斯基（Tversky）提出的“基本比率谬误”。前者是以色列裔美国心理学家，2002年诺贝尔经济学奖得主。基本比率谬误并不是否定贝叶斯定理，而是探讨一个使人困惑的问题：为什么人的直觉经常与贝叶斯公式的计算结果相违背？如同刚才的例子所示，人们在凭借直觉的时候经常会忽略基础概率。卡尼曼等人在他们的文章《思考，快与慢》中举了一个出租车的例子，来启发人们思考这个影响人们“决策”的原因。我们不想在这里深谈基本比率谬误对“决策理论”的意义，只是借用此例来加深对贝叶斯公式的理解。
假如某城市有两种颜色的出租车：蓝色和绿色（市场占有比例为15∶85）。一辆出租车夜间肇事后逃逸，但还好当时有一位目击者，这位目击者认定肇事的出租车是蓝色的。但是，他“目击的可信度”如何呢？公安人员在相同环境下对该目击者进行“蓝绿”测试得到：80%的情况下识别正确，20%的情况下不正确。也许有读者立刻就得出了结论：肇事车是蓝色的概率应该是80%吧。如果你做此回答，便是犯了与上面例子中王宏同样的错误，忽略了先验概率，没有考虑在这个城市中“蓝绿”车的基本比例。
那么，肇事车是蓝色的（条件）概率到底应该是多少呢？贝叶斯公式能给出正确的答案。首先我们必须考虑蓝绿出租车的基本比例（15∶85）。也就是说，在没有目击者的情况下，肇事车是蓝色的概率只有15%，这是“ A =蓝车肇事”的先验概率 P （ A ）=15%。现在，有了一位目击者，便改变了事件 A 出现的概率。目击者看到车是“蓝”色的。不过，他的目击能力也要打折扣，只有80%的准确率，即也是一个随机事件（记为 B ）。我们的问题是求出在有该目击者“看到蓝车”的条件下肇事车“真正是蓝色”的概率，即条件概率 P （ A | B ）。后者应该大于先验概率15%，因为目击者看到“蓝车”。如何修正先验概率？需要计算 P （ B | A ）和 P （ B ）。
因为 A =蓝车肇事、 B =目击蓝色，所以 P （ B | A ）是在“蓝车肇事”的条件下“目击蓝色”的概率，即 P （ B | A ）=80%。最后还要算先验概率 P （ B ），它的计算麻烦一点。 P （ B ）指的是目击者看到一辆车为蓝色的概率，等于两种情况的概率相加：一种是车为蓝色，辨认也正确；另一种是车为绿色，错看成蓝色。所以：
P （ B ）=15%×80%+85%×20%=29%
从贝叶斯公式：
可以算出在有目击者的情况下肇事车辆是蓝色的概率为41%，同时也可求得肇事车辆是绿色的概率为59%。被修正后的“肇事车辆为蓝色”的条件概率41%大于先验概率15%很多，但是仍然小于肇事车为绿色的概率59%。
回到对王宏测试某种病的例子，我们也不难得出正确的答案：
A ：普通人群中的王宏感染某种病
B ：阳性结果
P （ A ）：普通人群中王宏感染某种病的概率
P （ B | A ）：阳性结果的正确率
P （ A | B ）：有了阳性结果的条件下，王宏感染某种病的概率 P （ B ）：结果为阳性的总可能性=检查阳性中的真阳性+检查阴性中的真阳性
通过以上对概率论中的基本比率谬误的介绍，我们初步了解了概率论中十分重要的贝叶斯定理及其简单应用。