第一章
概率基础

预备知识

1.独立性

若事件A和B没有关系，称为独立，用数学的语言描述为P（AB）=P（A）P（B）。只要满足这个式子，则A和B独立。

若事件A，B，C独立，则三个事件至少有一个发生的概率为P（A∪B∪C）=1-[1-P（A）][1-P（B）][1-P（C）]。

2.组合

从n个不同的元素中任取m个，不考虑次序问题，不同的取法有 种，其中 。

3.全概率公式

若①A ₁ ，A ₂ ，……，A _n 为样本空间Ω的一个分割，即满足A ₁ ，A ₂ ，……，A _n 两两互不相容（没有交集）且A ₁ ∪A ₂ ∪……∪A _n =Ω。

②P（A _i ）＞0，i=1，2，……，n，则有P（B）= （B|A _i ）。

当n=2时，有P（B）=P（A）P（B|A）+ 。

4.数学期望和方差

设离散型随机变量X的分布律为：P（X=xn）=pn，n=1，2，……，如果级数 绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记作E（X），即E（X）= 。

设X是一个随机变量，若E[X-E（X）] ² 存在，则称E[X-E（X）] ² 为X的方差，记为D（X），即D（X）=E[X-E（X）] ² =E（X ² ）-[E（X）] ² 。

5.二项分布

若随机变量X的分布律为：P（X=k）= （1-p）n-k（k=（1-p） ^n-k ）（k=0，1，2，……，n），则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X～b（n，p）。

二项分布的判定：先考虑一次试验时，结果只有两种——事件A发生和A不发生，A发生的概率为p，将该试验独立重复地进行n次，则n次试验中事件A发生的次数服从二项分布。

如果试验次数n=1，二项分布就是0～1分布，其期望和方差为p和p（1-p）。

6.泊松分布

若随机变量X的可能取值为0，1，2，……，k，……，且P（X=k）= （λ＞0，k=0，1，2，……），则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P（λ），其期望和方差都为λ。

泊松分布指的是单位时间内事件发生的次数。比如，某十字路口一小时内发生交通事故的次数。

01　先下手为强

甲、乙两射手轮流对同一目标进行射击，谁先击中则得胜。每次射击，甲、乙命中目标的概率分别为0.4和0.6，甲先射，求甲得胜的概率。

关键词：独立性

甲得胜，意味着甲有可能在第一轮中得胜，也可能在第二、第三、第四、第……轮中得胜。

若甲在第一轮中得胜，则甲第一次射击就击中目标，概率为0.4。

若甲在第二轮中得胜，则甲在第一轮中没有击中目标，乙也没有击中。甲在第二轮击中目标，所以甲得胜的概率为0.6×0.4×0.4=0.24×0.4=0.096。

若甲在第三轮中得胜，则甲在第一轮中没有击中目标，乙也没有击中。甲在第二轮中没有击中目标，乙也没有击中目标。甲在第三轮中击中目标，所以甲得胜的概率为0.6×0.4×0.6×0.4×0.4=0.24 ² ×0.4=0.02304。

前三轮甲得胜的概率为0.4+0.096+0.02304=0.51904。

若比赛继续进行下去，甲得胜的概率总会大于或等于0.51904。

这个案例说明先手的重要性，尽管甲单次命中目标的概率为0.4，但是因为他先射击，所以最后甲得胜的概率大于0.5。如果想做什么事情，只要考虑清楚，有具体的思路，就要先下手为强，一直旁观犹豫是不可能取得胜利的。

02　什么样的扑克牌是独立的

从一副去掉大小王的扑克牌中任取1张，以A记事件“取到黑桃”，以B记事件“取到3”，考虑A，B是否独立。

关键词：独立性

事件A表示取到黑桃，事件B表示取到的是3，则A与B的交集AB表示取到的是黑桃3。那么这两个事件A和B有没有关系呢？先求事件A的概率。去掉大小王后的扑克牌有52张，其中黑桃有13张，所以取到黑桃的概率为13/52，即P（A）=13/52。再考虑事件B的概率。总共52张扑克牌，印有数字3的牌共4张，则取到数字3的概率为4/52，即P（B）=4/52。最后求事件AB的概率。黑桃3有1张，所以取到黑桃3的概率为1/52，即P（AB）=1/52。

此时AB的概率等于A的概率与B的概率的乘积，即P（AB）=P（A）P（B），满足独立的定义，所以A与B独立，即事件A和B毫无关系。

03　破译密码

CTF（Capture The Flag）中文一般译作夺旗赛，在网络安全领域中指的是网络安全技术人员之间进行的一种技术比赛形式。CTF起源于1996年DEFCON全球黑客大会，以代替之前黑客们通过互相发起真实攻击进行技术比拼的方式，已经成为全球范围网络安全圈流行的竞赛形式。2013年，全球举办了超过五十场国际性CTF赛事。

有三位同学甲、乙、丙想参加CTF比赛，为了能在比赛中拿到名次，做些适当的练习是必要的。三个人找到一道古典密码的题目，题目为：

密文内容如下：{79 67 85 123 67 70 84 69 76 88 79 85 89 68 69 67 84 78 71 65 72 79 72 82 78 70 73 69 78 77 125 73 79 84 65}，请将其解密。

因为是练习，三个人便约定分开研究该题目，约定时间为一小时，看谁能解密成功。

假设甲、乙、丙能破译该密码的概率分别为1/3，1/4，1/5，则这三位同学能破译密码的概率为多少？

关键词：独立性

三个人分开破译密码，每个人能否破译密码是独立的。密码能被破译，有可能是三个人中的一个成功破译密码，也有可能是三个人中的两个成功破译密码，也可能三个人都成功破译密码。总之，只要三个人中至少有一个能成功破译密码，则该密码就可以被破译。由预备知识中的独立性公式，三个人能破译密码的概率为1-（1-1/3）（1-1/4）（1-1/5）=3/5。

三个人都参与破译密码，成功的概率要大于单个人成功的概率，这就是人多力量大。

04　逆向思维的重要性

口袋中有9个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球，求第10次取到黑球的概率。

第10次取到黑球，那么前面9次取到的是什么颜色的球呢？

关键词：古典概型

如果正向思考，这道题的可能性非常多，太复杂，所以我们用逆向思维考虑。如果第10次取得的不是黑球而是白球，因为每次取出黑球，就会放入黑球，相当于是有放回的，而取出的是白球的话，口袋里就不会再有白球了，所以前面9次取得的球一定都是黑球。每次取得黑球的概率都是9/10，而在有放回的情况下，每次取的是什么颜色的球都是独立的，结果互相不影响，所以前面9次都取得黑球的概率为（9/10） ⁹ 。根据独立性，第10次取得白球的概率为（9/10） ⁹ ×（1/10）≈0.03874。所以第10次取到黑球的概率为1-0.03874=0.96126。这个案例说明了逆向思维的重要性。

05　花会不会死

刘阿姨要去外地住两个月，她担心家里没有人，她养的几盆花会死掉，于是拜托住在同一个小区的亲戚王阿姨隔几天去她家浇一次水。

王阿姨年纪有些大了，记性不太好。假设她能记住去刘阿姨家给花浇水的概率为0.7，忘记浇水的概率为0.3；而刘阿姨家里的花因为两个月都没有人浇水而死去的概率为0.4，有人浇水仍死去的概率为0.1。那么，两个月后刘阿姨回家时发现花已经死掉的概率为多少？

关键词：全概率公式

只考虑浇水对花的影响，若刘阿姨家的花死了，可能有两个原因：一是王阿姨忘了浇水，二是王阿姨记得浇水，但花依然死了。

由全概率公式，花死掉的概率为0.7×0.1+0.3×0.4=0.19。

06　品牌效应

小明在逛街时发现了一家某知名品牌鞋的专卖店，正巧她想买双鞋，于是进店看看。她在看鞋的样式时，发现店里不仅卖该品牌（记为品牌A）的鞋，还卖另一个以前没有听过的牌子（记为品牌B）的鞋。店主发现她没有相中品牌A的鞋，于是向其推荐品牌B的鞋。在店主的口中，品牌B的鞋做工非常好，用料也很讲究，款式很新颖，总之非常物美价廉，只是没有在电视打广告而已。小明被店主说得有些心动。

我们在逛街时经常遇到这种情况。假设顾客想买品牌A的鞋的概率为0.5，而经过店主推荐想买品牌B的鞋的概率为0.4，不在这个店里买鞋的概率为0.1。当然，顾客想在这个店里买鞋是因为店主非常热情地向其情况。如果在一天内有10个人进这家鞋店，那么至少有一个人购买品牌B的鞋的概率为多少？

关键词：二项分布

对于品牌B的鞋来说，顾客购买的概率为0.4。而对于每一个进店的顾客，要么买品牌B的鞋，要么不买。有10个顾客，则购买品牌B的鞋的顾客数X服从二项分布，参数分别为10和0.4。至少有一个顾客购买品牌B的鞋，考虑这件事有些困难，所以从它的对立事件入手，即没有人购买品牌B的鞋。而每个顾客是否购买品牌B的鞋是独立的，10个人都不买该鞋的概率为（1-0.4） ¹⁰ =0.00605，至少有一个顾客购买该鞋的概率为1-0.00605=0.99395。

如果店主只卖品牌B的鞋，可能卖不动，因为这个品牌不太出名；但是和知名品牌的鞋放在一起售卖，再由店主加以对比推销，就会很容易打动消费者的心。

07　神奇的数字37%

泊松分布可以描述小概率事件在一定的时间内发生的次数。泊松分布的分布律为P（X=k）= ，k=0，1，2，……。图1-1是参数为1的泊松分布的分布律图像。

从图中可以看出X=0的概率稍大于0.35，而由泊松分布的分布律知，X=0的概率为 ，X=1的概率为 ≈0.37，至少能发生一次的概率为1-P（X=0）=1-0.37=0.63。

由此，我们得到了小概率事件不发生的概率为37%，只发生一次的概率也为37%。因此，37%是概率中重要的节点，是一个神奇的数字。

成语故事《守株待兔》讲的是一个农夫在田间劳动时，看见一只野兔为了躲避猎人而跑得飞快，结果一头撞到了树上。他捡到了兔子后，总是幻想还能再捡到一只，因此天天在树下蹲守，不管田里的农活。由泊松分布可知，在一个月内没有兔子撞树的概率为0.37，只有一只兔子撞树的概率也是0.37，一个月内至少有两只兔子撞树的概率P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1）=1-0.37-0.37=0.26。如果我们用兔子表示机遇的话，那么这则成语故事告诉我们需要边准备，边等机遇。俗话说得好，功夫不负有心人。你可以成功一次，也可以成功两次。但是成功的概率会逐渐降低。

在与自然灾害相关的新闻中，我们经常会看到“十年一遇”“百年一遇”，甚至“千年一遇”等词。百年一遇是指一百年才有一次，那么是不是发生过一次后，一百年内就不会再次发生了呢？答案是否定的。一百年内发生一次的概率为0.37[P（X=1）≈0.37]，一次也没有发生的概率为0.37[P（X=0）≈0.37]，发生2次及以上的概率为1-0.37-0.37=0.26。“百年一遇”事件之间是独立的，没有什么关系，所以加强防范还是非常重要的。

《算法之美：指导工作与生活的算法》这本书中给出了最优停止理论：如何准确选择停止观望的时机。它开宗明义地指出：“最优停止理论关注的是如何选择时机以执行特定行动的问题。”是早早停止观望，还是继续观望？这需要一个标准，而“37%法则”正是我们需要的标准。“37%法则”源于所谓的“秘书问题”。秘书招聘效果最佳的做法是接受所谓的“摸清情况再行动准则”：事先设定一个“观察”期，在这段时间里，无论人选多么优秀，都不要接受。“观察”期结束之后，就进入了“行动”期。此时，一旦出现令之前最优秀申请人相形见绌的人选，就立即出手，再也不要犹豫了。随着秘书职位申请人数不断增加，观察与行动之间的分界线正好处在全部申请人数37%的位置，从而得出了37%法则：在考察前37%的申请人时，不要接受任何人的申请；然后，只要任何一名申请人比前面所有人选都优秀，就要毫不犹豫地选择他。

其实选择股票的卖出点、买房子等都可以参考这个“37%法则”。如果你有选择困难症，不妨试一试“37%法则”，即把需要决策的时间分成两部分，一部分是37%，另一部分是63%，只要在37%的时间结束时做出选择即可。 9nCLzzYS43iq7ahfai+tIB33QaEyl0Giye+temR9nJvYfs5h4aNcaFB9BPpUu/+h