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1.1 趋化方程研究现状

下面介绍几种常见的趋化模型变体。

1.1.1 双物种趋化模型

在自然生态环境中,微生物多物种的混合通常是不完全的,且往往是几乎不存在的,因此化学物质浓度和细胞密度的空间梯度是可能存在的。此外,大量常见的微生物物种是有趋化性的。为了证实趋化性或一般运动性在微生物种群中的作用,以及不同的细菌种群在混合后的存活水平,生物学者做了大量的实验。数学工作者在这些实验和单一物种的趋化模型及其各种变体基础上,开始关注双物种趋化模型

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(1.1.3)

式中, imgimg 分别表示两个物种的物种密度, img 表示化学物质浓度, imgimg 分别表示物种 imgimg 的趋化灵敏度函数, imgimg 分别表示物种 imgimg 的出生和死亡速率, img 表示化学物质的产生和消耗速率。当 imgimg 时,表示物种 imgimg 没有竞争关系,当 imgimg 时,表示物种 imgimg 存在竞争关系。

1.1.2 具有间接信号产生机制的趋化模型

在有些生物环境中,化学信号不是由细胞直接产生的,而是由第三方信号间接产生的。最初生物工作者在研究如何在森林中防治松林甲虫时发现:筑巢松林甲虫会释放松林甲虫信息素,松林甲虫信息素会召集飞行松林甲虫进行筑巢行动,并据此使用带有趋化性的反应扩散方程来模拟飞行松林甲虫、松林甲虫信息素和筑巢松林甲虫之间的相互作用。进一步地,数学工作者提出了一类更一般的具有间接信号产生机制的趋化模型

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(1.1.4)

式中, img 代表物种密度, imgimg 分别代表两种不同的化学信号浓度,常数 imgimg 代表物种 img 对两种化学信号的趋化灵敏度函数, img 代表化学信号 img 的产生和消耗速率, img 代表化学信号 img 的产生和消耗速率。这种机制与模型(1.1.1)或模型(1.1.3)中的直接信号产生机制有所不同,在这种间接信号产生机制中,细胞先产生第二种化学信号 imgimg 再促进第一种化学信号 img 的产生。

1.1.3 趋化流体模型

在枯草芽孢杆菌悬浮在水中的实验中,细菌的运动不仅与细菌的自由扩散和趋化性有关,还与流体对细菌动力学行为产生的影响有关,而且这种影响是双向的:一方面,流体的流动对细菌和化学物质具有传输作用;另一方面,细菌自身的运动也扰动了流体环境。在流体力学中,Navier-Stokes(纳维−斯托克斯)方程是用来描述流体运动的著名方程。将Keller-Segel方程与Navier-Stokes方程耦合在一起可得到趋化流体模型

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(1.1.5)

式中, img 代表细菌密度, img 代表化学信号浓度, img 代表化学信号的产生和消耗速率, imgimg 分别表示流体速度场和相应的压力,参数 img 与流体对流的强度有关, img 是已知的重力势函数。与模型(1.1.2)相比,模型(1.1.5)中第一个和第二个方程等号左边分别增加了运输项 imgimg ,建立了细菌密度、化学信号浓度分别与流体的流速之间的耦合关系;模型(1.1.5)中的第三个方程是一个标准的Navier-Stokes方程。

因为Navier-Stokes方程解的适定性是一个世界性的难题,而经典Keller-Segel模型及其变体的研究理论也不够完善,所以研究趋化流体模型将面临更多的难题。在合理地对区域、空间维数等条件增加限制后,也获得了一系列研究结果。 YVSai9J/HPNGzEsl+cbn0q7Qd++UNJzINFB86zs6yLYru8rppP0CwBcU0guQkw9j

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