下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
下面介绍几种常见的趋化模型变体。
在自然生态环境中，微生物多物种的混合通常是不完全的，且往往是几乎不存在的，因此化学物质浓度和细胞密度的空间梯度是可能存在的。此外，大量常见的微生物物种是有趋化性的。为了证实趋化性或一般运动性在微生物种群中的作用，以及不同的细菌种群在混合后的存活水平，生物学者做了大量的实验。数学工作者在这些实验和单一物种的趋化模型及其各种变体基础上，开始关注双物种趋化模型
（1.1.3）
式中，
和
分别表示两个物种的物种密度，
表示化学物质浓度，
和
分别表示物种
和
的趋化灵敏度函数，
和
分别表示物种
和
的出生和死亡速率，
表示化学物质的产生和消耗速率。当
、
时，表示物种
和
没有竞争关系，当
、
时，表示物种
和
存在竞争关系。
在有些生物环境中，化学信号不是由细胞直接产生的，而是由第三方信号间接产生的。最初生物工作者在研究如何在森林中防治松林甲虫时发现：筑巢松林甲虫会释放松林甲虫信息素，松林甲虫信息素会召集飞行松林甲虫进行筑巢行动，并据此使用带有趋化性的反应扩散方程来模拟飞行松林甲虫、松林甲虫信息素和筑巢松林甲虫之间的相互作用。进一步地，数学工作者提出了一类更一般的具有间接信号产生机制的趋化模型
（1.1.4）
式中，
代表物种密度，
和
分别代表两种不同的化学信号浓度，常数
，
代表物种
对两种化学信号的趋化灵敏度函数，
代表化学信号
的产生和消耗速率，
代表化学信号
的产生和消耗速率。这种机制与模型（1.1.1）或模型（1.1.3）中的直接信号产生机制有所不同，在这种间接信号产生机制中，细胞先产生第二种化学信号
，
再促进第一种化学信号
的产生。
在枯草芽孢杆菌悬浮在水中的实验中，细菌的运动不仅与细菌的自由扩散和趋化性有关，还与流体对细菌动力学行为产生的影响有关，而且这种影响是双向的：一方面，流体的流动对细菌和化学物质具有传输作用；另一方面，细菌自身的运动也扰动了流体环境。在流体力学中，Navier-Stokes（纳维−斯托克斯）方程是用来描述流体运动的著名方程。将Keller-Segel方程与Navier-Stokes方程耦合在一起可得到趋化流体模型
（1.1.5）
式中，
代表细菌密度，
代表化学信号浓度，
代表化学信号的产生和消耗速率，
和
分别表示流体速度场和相应的压力，参数
与流体对流的强度有关，
是已知的重力势函数。与模型（1.1.2）相比，模型（1.1.5）中第一个和第二个方程等号左边分别增加了运输项
和
，建立了细菌密度、化学信号浓度分别与流体的流速之间的耦合关系；模型（1.1.5）中的第三个方程是一个标准的Navier-Stokes方程。
因为Navier-Stokes方程解的适定性是一个世界性的难题，而经典Keller-Segel模型及其变体的研究理论也不够完善，所以研究趋化流体模型将面临更多的难题。在合理地对区域、空间维数等条件增加限制后，也获得了一系列研究结果。