3.3 N （ N ≥2）维情况下初边值问题（3.1.2）解的整体存在性

为了证明本章的主要结果，先证明如下几个引理。

引理3.3.1 令 ， ， ，假设 ，则存在 ，使得对任意 ，有

证明 根据 的大小，分两部分证明。

（1）令 。

由常数变易公式得

由Neumann（诺依曼）热半群性质，存在 ， ，使得对任意的 ， ，有

和

综合可以得到，对任意的 ，有

直接计算

则结论成立。

（2）令 。

结合（1）中的方法和插值不等式，存在 ，使得对任意 ，有

成立，引理3.3.1得证。

引理3.3.2 设初值满足条件（3.1.3）， ， ， 。如果存在 满足

则

证明 对每个给定的 ，有

成立，则可以找到 且满足

使得存在 ，满足

对 应用常数变易公式，得到

其中 。

对任意 ，有

又由Neumann（诺依曼）热半群性质，存在 ，使得对任意的 ，有

依次应用插值不等式、Hölder（霍德尔）不等式、式（3.2.1）、引理3.3.1和式（3.3.2），可知存在常数 ，使得

将上式代入式（3.3.3），对任意 ，有

其中 。根据式（3.3.1），可知 。

类似推导，对任意 ，可得

由引理3.2.4和引理3.3.1可得 有界。引理3.3.2得证。

要得到当 时 和 的估计，还需要以下两个关键的引理。

引理3.3.3 设 ， ，对任意 ，有

证明 对任意 ，直接计算有

同理，式（3.3.5）得证。

接下来，取引理3.3.3中的指数 ，利用式（3.3.4）和式（3.3.5）证明 和 的有界性。

引理3.3.4 令 ， ，如果 ， ，满足

其中 ，则存在 ，使得对任意

成立

证明 在引理3.3.3中，令 ，对任意 ，有

根据Young（杨）不等式，在 上可以得到上述不等式右侧的倒数第5、6项估计

将上式代入式（3.3.6），有

因为 ，显然

当 时，有

所以有

即 。

类似有 。所以不等式（3.3.7）中右侧6项都是负的，即

由微分Gronwall（格朗瓦尔）不等式可知，对任意 ，当 时，存在 ，使得对任意

成立

借助引理3.3.4，可以证明对任意 ， 和 有界。

引理3.3.5 令 且 ，设 使得

则存在 ，使得对任意 ，有

证明 设 。因为 ，显然有 ， ，所以 。

因为 ， ，所以 。因此，存在 。对于这样的 ，根据引理3.3.4，存在 ，使得对任意 ，有

根据引理3.2.4，对任意 ，有

因此

同理可证，对任意 ，有 。

定理3.3.1 设 是 中的有界区域， 是光滑的，初值 满足条件（3.1.3），当 满足条件

时，初边值问题（3.1.2）存在整体经典解

证明 因为 ，所以区间 非空。此外，因为 ，所以可以找到合适的 使得 ，即 。由引理3.3.5，对每个这样选定的 和任意 ， ，存在 ，对任意的 ，有

假设 有限，令 ，由引理3.3.2 有

与引理3.2.1矛盾，则定理成立。 qwJE8Xa67TkEbH4QSW66X+244lkI/vYFdLhI8n89zo0HoAL0or02mcr+qP3I/Ce6