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3.2 预备知识

首先证明初边值问题(3.1.2)经典解的局部存在性定理。

引理3.2.1 img 是具有光滑边界的有界区域, imgimg img 满足初值条件(3.1.3),则存在 img ,使得初边值问题(3.1.2)存在局部经典解 imgimgimgimg ,且满足

img

特别地,如果 img ,则当 img

img

引理3.2.2 设初值条件(3.1.3)成立,则存在常数 img ,使得对任意 img ,有

img

(3.2.1)

证明 对初边值问题(3.1.2)第一个方程左右两边同时关于空间变量积分,然后应用Hölder(霍德尔)不等式,对任意 img ,有

img
img

由Bernoulli(伯努利)不等式有 img

同理可得 img

img ,即可得结论。

引理3.2.3 img ,对任意 img ,定义单调递减映射: img 。特别地,有 img

证明 对方程组(3.1.2)的第三个方程左右两边同时乘以 img ,然后关于空间变量积分,有

img

img 的非负性可得 img ,则结论成立。

引理3.2.4 对任意 img ,有 img

证明 img ,由 img 可知

img

且对任意 img 成立: img ;根据比较原理可得在 img 上, img ,则对任意 img ,有

img

引理3.2.5 img ,则在 imgimg 成立,且

img

(3.2.2)

证明 根据引理3.2.4,对任意 img ,有 img ,因此 img 。在 img 上直接计算有

img
img
img

结合 img ,可得

img
img

根据初边值问题(3.1.2)和引理3.2.5,可知 img 是如下初边值问题的解

img

其中 img

引理3.2.6 对任意 imgimg ,如果存在一个常数 img 和某个 img 满足 img ,使得在 img 上有

img

imgimg 上有界。

证明 根据常数变易公式和 img ,可得

img
img

根据Neumann(诺依曼)热半群性质,存在 img ,使得对任意的 img ,有

img
img
img
img

因为 img ,即 img ,所以 img 有界。

引理3.2.7 对任意 imgimg ,如果存在一个常数 img 和某个 img 满足 img ,使得在 img 上有

img

imgimg 上有界。

证明 由引理3.2.6知,存在 img 使得在 img 上, img 。由 img ,则在 img 上, imgHOK35ktfU+c4e4OOZoVvuUp7IY+lkaX9f7pauYukIqF//hCmBbv5QQntNg3DEoHE

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