3.2 预备知识

首先证明初边值问题（3.1.2）经典解的局部存在性定理。

引理3.2.1 设 是具有光滑边界的有界区域， ， 满足初值条件（3.1.3），则存在 ，使得初边值问题（3.1.2）存在局部经典解 ， ， ， ，且满足

特别地，如果 ，则当 时

引理3.2.2 设初值条件（3.1.3）成立，则存在常数 ，使得对任意 ，有

证明 对初边值问题（3.1.2）第一个方程左右两边同时关于空间变量积分，然后应用Hölder（霍德尔）不等式，对任意 ，有

由Bernoulli（伯努利）不等式有 。

同理可得 。

令 ，即可得结论。

引理3.2.3 令 ，对任意 ，定义单调递减映射： 。特别地，有 。

证明 对方程组（3.1.2）的第三个方程左右两边同时乘以 ，然后关于空间变量积分，有

由 的非负性可得 ，则结论成立。

引理3.2.4 对任意 ，有 。

证明 令 ，由 可知

且对任意 成立： ；根据比较原理可得在 上， ，则对任意 ，有

引理3.2.5 令 ，则在 上 成立，且

证明 根据引理3.2.4，对任意 ，有 ，因此 。在 上直接计算有

结合 ，可得

根据初边值问题（3.1.2）和引理3.2.5，可知 是如下初边值问题的解

其中 。

引理3.2.6 对任意 ， ，如果存在一个常数 和某个 满足 ，使得在 上有

则 在 上有界。

证明 根据常数变易公式和 ，可得

根据Neumann（诺依曼）热半群性质，存在 ，使得对任意的 ，有

因为 ，即 ，所以 有界。

引理3.2.7 对任意 ， ，如果存在一个常数 和某个 满足 ，使得在 上有

则 在 上有界。

证明 由引理3.2.6知，存在 使得在 上， 。由 ，则在 上， 。 /9yHdjhkKLAJBpEBxpJpA0hvOXQQTykSNHRkFiBJFW1F7MAK7WieQGYZm4TUbbNi