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比较定理：
令
是具有光滑边界的有界区域，
，
满足局部Lipschitz（李普希兹）条件：对任意紧集
，存在和
有关的常数
，使得对任意
，
，
成立。进一步地，令
满足：在
上，
。若
和
分别是下面方程的上解和下解
且当
时满足
且
满足
，在
时满足
，则在
上成立
Aubin-Lions
（奥宾
−
利翁斯）引理：
设
、
、
是三个Banach（巴拿赫）空间，
、
是自反的，且
。若
紧嵌入
，
连续嵌入
，则对固定的
，
，空间
紧嵌入
。
Vitali
（维塔利）收敛定理：
设
，
是
中的一函数列，假设：
（1）对任意
，任意
，存在
，使得对任意满足
的可测集
，都有
；
（2）
几乎处处成立；
则
，且在
中
。
Neumann
（诺依曼）热半群性质：
设
是区域
上的Neumann热半群，
是算子
在Neumann边值条件下的第一个非零的特征值，
表示空间维数。那么存在只与区域
相关的常数
，使得：
（1）如果
，
且满足
，则对任意的
，有
（2）如果
，
，则对任意的
，有
（3）如果
，
，则对任意的
，有
（4）如果
，
，则对任意的
，有
Arzela-Ascoli
（阿尔泽拉
−
阿斯科利）定理：
为了使
是一个列紧集，必须且仅须
是一致有界且等度连续的函数族。