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2.3 相关的定理

比较定理: img 是具有光滑边界的有界区域, imgimg 满足局部Lipschitz(李普希兹)条件:对任意紧集 img ,存在和 img 有关的常数 img ,使得对任意 imgimgimg

img

成立。进一步地,令 img 满足:在 img 上, img 。若 imgimg 分别是下面方程的上解和下解

img

且当 img 时满足

img

img 满足 img ,在 img 时满足 img ,则在 img 上成立

img

Aubin-Lions (奥宾 利翁斯)引理: imgimgimg 是三个Banach(巴拿赫)空间, imgimg 是自反的,且 img 。若 img 紧嵌入 imgimg 连续嵌入 img ,则对固定的 imgimg ,空间

img

紧嵌入 img

Vitali (维塔利)收敛定理: imgimgimg 中的一函数列,假设:

(1)对任意 img ,任意 img ,存在 img ,使得对任意满足 img 的可测集 img ,都有 img

(2) img 几乎处处成立;

img ,且在 imgimg

Neumann (诺依曼)热半群性质: img 是区域 img 上的Neumann热半群, img 是算子 img 在Neumann边值条件下的第一个非零的特征值, img 表示空间维数。那么存在只与区域 img 相关的常数 img ,使得:

(1)如果 imgimg 且满足 img ,则对任意的 img ,有

img

(2)如果 imgimg ,则对任意的 img ,有

img

(3)如果 imgimg ,则对任意的 img ,有

img

(4)如果 imgimg ,则对任意的 img ,有

img

Arzela-Ascoli (阿尔泽拉 阿斯科利)定理: 为了使 img 是一个列紧集,必须且仅须 img 是一致有界且等度连续的函数族。 pCnQNCd+YrbGBcfRUq8k1Crb26rTmQhXBNbh0bAwP6pVtRVBZa6mJetDzShS5xAp

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