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2.2 常用的不等式

Hölder (霍德尔) 不等式: imgimg ,且 img ,则对 imgimg ,有

img

Bernoulli (伯努利)不等式: imgimg 。设函数 imgimg 上可微,其中 img ,且对任意 img 满足

img

img

特别地,若 img ,则

img

Young (杨) 不等式: imgimg ,且 img ,那么对任意的 imgimg ,有

img

更一般地,设 imgimgimg ,那么对任意的 imgimg ,存在 imgimg ,使得

img

Gagliardo-Nirenberg (加利亚尔多 尼伦伯格) 插值不等式: imgimg 满足

img

则存在常数 img ,使得

img

其中 img 是任意非负常数。

Poincaré (庞加莱) 不等式: imgimg 是有界区域,实值函数 img ,则存在常数 img ,使得

img

img 满足局部 Lipschitz(李普希兹)条件, img ,则存在常数 img ,有

img

其中 img

积分 Gronwall (格朗瓦尔) 不等式: imgimg 上的非负可积函数,且对几乎所有的 img ,存在常数 img 使得 img ,则对几乎所有的 img ,有

img

微分Gronwall (格朗瓦尔)不等式: 假设 imgimg 上是一个绝对连续的非负函数,且对几乎所有的 img 满足

img

其中 imgimgimg 上都是非负可积函数,则对所有 img ,有 VyXMgiOAk2rvPcmOwBW1ZgwJUX4Cn/Ydq+2yXa6XZlNE136he4ib+5vLkuExh4XA

img
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