2.2 常用的不等式

Hölder （霍德尔） 不等式： 设 ， ，且 ，则对 和 ，有

Bernoulli （伯努利）不等式： 令 ， 。设函数 在 上可微，其中 ，且对任意 满足

则

特别地，若 ，则

Young （杨） 不等式： 设 ， ，且 ，那么对任意的 ， ，有

更一般地，设 ， ， ，那么对任意的 ， ，存在 和 ，使得

Gagliardo-Nirenberg （加利亚尔多 − 尼伦伯格） 插值不等式： 设 和 满足

则存在常数 ，使得

其中 是任意非负常数。

Poincaré （庞加莱） 不等式： 设 ， 是有界区域，实值函数 ，则存在常数 ，使得

若 满足局部 Lipschitz（李普希兹）条件， ，则存在常数 ，有

其中 。

积分 Gronwall （格朗瓦尔） 不等式： 设 是 上的非负可积函数，且对几乎所有的 ，存在常数 使得 ，则对几乎所有的 ，有

微分Gronwall （格朗瓦尔）不等式： 假设 在 上是一个绝对连续的非负函数，且对几乎所有的 满足

其中 和 在 上都是非负可积函数，则对所有 ，有 unRXonnHLN72KIAQoBxf4uInVeBI0Z8hwjBGX7PdvRLx3pi4HntEfW6McCvXWrzD