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2.1 函数空间及其性质

2.1.1 一般函数空间

imgimg 。记 imgimg 上, img 存在且连续}, img 称为光滑函数空间。

img ,记 img ,显然 img 表示在 img 的某个紧子集外, img

img ,记 imgimgimg

img ,记 imgimg 上连续且有界,且 img ,其中 img

imgimg 。记 img 。若对任意的紧集 img ,都有 img ,则 img

img ,记 img 是勒贝格可测函数,且 img },其中 img

img { img 是勒贝格可测函数,且 img },其中 img

img ,记 imgimg 中的任意开球,且 imgimgimg 中的任意开球,且 img

imgimg ,记 img 。在 img 中,记 img

imgimgimgimgimg ,定义 img ,记 img ,类似可以定义 imgimg 等。

2.1.2 t 向异性函数空间

img 是定义在 img 上的函数, img ,记 img ,其中

img

img ,记 img

imgimg 。记 imgimgimg ,其中

img

2.1.3 嵌入定理

嵌入定理 img 为一有界区域, img

(1)若 img 满足一致内锥条件,则当 img 时,有

img

img 时,有

img

(2)若 img 适当光滑,则当 img 时,有

img

紧嵌入定理 img 为一有界区域, img

(1)若 img 满足一致内锥条件,则当 img 时,下列嵌入是紧的

img
img

(2)若 img 适当光滑,则当 img 时,下列嵌入是紧的

img

注: 以上紧嵌入定理对 img 同样成立。

img 向异性嵌入定理 img 为一有界区域, img

(1)若 img 满足一致内锥条件,则当 img 时,有

img

img 时,有

img

(2)若 img 适当光滑,则当 img 时,有

img

2.1.4 抽象函数空间

img 是赋范线性空间, img 是开区间, img 。令 img ,记 img 是可测函数, imgimgimg 上可积}; img 可测且几乎处处有界, img

img 有界, img ,则 img 嵌入 img

imgimgimg 是自反的或 img 是可分的,则 img

img ,记 img 对任意紧集 imgimg

img ,其中 imgAPFY96AYg95r7shBrAbRIzDZWjdnp+UOS+8eiTypLA0+UzYqJaOZE9J0WlBkwJsm

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