2.1 函数空间及其性质

2.1.1 一般函数空间

令 ， 。记 在 上， 存在且连续}， 称为光滑函数空间。

令 ，记 ，显然 表示在 的某个紧子集外， 。

令 ，记 且 ， 。

令 ，记 在 上连续且有界，且 ，其中 。

令 ， 。记 。若对任意的紧集 ，都有 ，则 。

令 ，记 是勒贝格可测函数，且 }，其中 。

记 { 是勒贝格可测函数，且 }，其中 。

令 ，记 是 中的任意开球，且 ， 是 中的任意开球，且 。

令 ， ，记 。在 中，记 。

令 ， ， ， ， ，定义 ，记 ，类似可以定义 、 等。

2.1.2 t 向异性函数空间

设 是定义在 上的函数， ，记 ，其中

设 ，记 。

设 ， 。记 ， ， ，其中

2.1.3 嵌入定理

嵌入定理 设 为一有界区域， 。

（1）若 满足一致内锥条件，则当 时，有

当 时，有

（2）若 适当光滑，则当 时，有

紧嵌入定理 设 为一有界区域， 。

（1）若 满足一致内锥条件，则当 时，下列嵌入是紧的

（2）若 适当光滑，则当 时，下列嵌入是紧的

注： 以上紧嵌入定理对 同样成立。

向异性嵌入定理 设 为一有界区域， 。

（1）若 满足一致内锥条件，则当 时，有

当 时，有

（2）若 适当光滑，则当 时，有

2.1.4 抽象函数空间

设 是赋范线性空间， 是开区间， 。令 ，记 是可测函数， 且 在 上可积}； 可测且几乎处处有界， 。

设 有界， ，则 嵌入 。

设 ， ， 是自反的或 是可分的，则 。

设 ，记 对任意紧集 ， 。

记 ，其中 。 2i49/h0yVowH04EdRK7p+dvePG4TnGd66Yi3LALr6fHPD0cZghSFJOHub2stBwJO