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我在比尔芬格
先生递交给彼得堡科学院的论文中发现一种观点，我在任何时候都把它当做真理研究的一条规则来利用。如果在具有健全知性的人们那里，要么在一方要么在双方都找不到对他人意图的猜测，他们都在维护着大相径庭的意见，那么，将自己的注意力集中在某个一定程度上让两个学派都有点道理的中间定理，是符合概率的逻辑的。
我不知道，我通常是否幸运地以这种方式思维过；不过，我希望在关于活力的这场争论中是这样的。世人在某些见解上，从来没有像在涉及被运动物体的力的尺度的见解上如此平分秋色。从所有迹象上看，两个学派都是同样坚定，同样合理。这当然可能是对立面的观点相互混同，然而，人们能够说哪一学派与对方的观点毫不相干呢？因此，我选择最可靠的道路，采用一种两个伟大学派都能在其中得到考虑的见解。
在莱布尼茨之前，世人推崇笛卡尔的惟一定理，它将单纯的速度赋予物体，作为其力的尺度，即便是处在现实运动中的物体也是如此。没有人想到对这一定理提出质疑；惟有莱布尼茨，通过宣告一个新的规律突然使人类理性亢奋起来；随着时间的推移，这一规律成为那些为学者们提供极大的知性竞赛的诸规律中的一个。笛卡尔完全根据速度来测算被运动的物体的力，而莱布尼茨先生则把其速度的平方作为力的尺度。他并不是像人们可以设想的那样，在某些容许先前的规则保留一些地盘的条件下阐明自己的规则的；不，他是绝对地、毫无保留地否定笛卡尔的规律，并且立刻以自己的规律取而代之。
原本我认为莱布尼茨先生的规则有两点值得指摘。我现在将讨论的一点，在活力问题上并不会引起重要的结果；但尽管如此，却不可以不对它作出说明，以便就一个如此伟大的定理而言，不致错过能够使它摆脱人们可能对它提出的任何小小责难的东西。
在任何时候，莱布尼茨力的尺度都是以这一公式陈述的：如果一个物体处在现实的运动中，则它的力就与它的速度的平方成正比。因此，根据这一定理，力的这一尺度的标志无非是现实的运动。但是，即使一个物体的力并不大于它单纯凭借压力以这种初始速度施加的力，它也能够现实地运动。这一点，我在上一章已经表明，此处再次重复。我在光滑的平面上缓缓地向前推动一个球体，如果我抽回手，该球体就立刻停止向前运动。因此，物体的力在这样一种运动中每一瞬间都会消失；但它同样经常地通过一种新的压力重新产生。所以，在物体遇到对象的同一瞬间，它还具有的力并不是来自先前的运动，不是的，这样一种力已经被完全抵消了；物体仅仅拥有推动的力量在恰好是它碰到对象的同一瞬间传递给它的力。因此，人们可能认为它好像根本不运动，好像只在静止状态中对阻力施压。于是，这样一个物体就与施加一种惰态压力的物体没有区别，从而它的力也就不是它的速度的平方，而是速度本身。这就是我对莱布尼茨的规律所作出的第一个限制。他也许不应当仅仅把一种现实的运动看做活力的标志；补充一种自由的运动也是必要的。因为如果运动不是自由的，那么，物体就根本没有活力。按照这一规定，莱布尼茨的规律要想是正确的，就必须以这一公式出现：一个处于现实的、自由的运动之中的物体，具有与……平方成正比的力。
现在我作第二点说明，它将向我们披露这场声名不佳的争论的起源，也许还提供了重新调停这场争论的惟一方法。
活力新测算的辩护者们在这一点上与笛卡尔学派还是意见一致的，即如果物体的运动只是处在开始，物体就具有一种与其单纯的速度成比例的力。但是，一旦能够把运动称为现实的，那么，按照他们的看法，物体就以速度的平方为尺度。
现在让我们探讨一下，究竟什么是一种现实的运动。因为这个词曾是人们离开笛卡尔的原因，但也许这一原因也能够成为重新联合的一个原因。
不仅在某一运动处于开端的那一点上的情况下，而且在由于该运动的持续而一段时间流逝掉的情况下，人们都称该运动为现实的。其实，就是这段在运动的开端和物体起作用的那一瞬间之间流逝掉的时间，使得人们能够把运动称为现实的。
但是人们也许会发现，这段时间
并不是某种具有已确定、已测量的长短的时间，相反，它是完全未确定的，可以任意规定的。这就是说：如果需要用它来表示一个现实的运动，就可以假定它是任意短的。因为并不是时间的这种和那种长短使运动真正成为现实的，不是，它是时间自身，时间可以任意地或长或短。
莱布尼茨力的尺度的第二个基本错误
据此，在运动中用掉的时间是活力真正的和惟一的特征；惟有它才是活力相对于惰力借以获得一种特殊尺度的东西。
现在，让我们借助从A发端的直线AB
来说明从运动开端直到物体碰到一个它所作用的对象为止所流逝掉的时间。于是，物体在B拥有了活力，但是在开端的点A它并没有活力；因为在这儿，它仅仅以一种运动的努力来向与它相对立的支点施压。不过，让我们继续考察以下的情状。
第一，时间AB是处于B的物体的这样一种规定，借助它，活力得以被设定在物体中，而始点A（也就是说，如果把物体设置在点A）则是作为惰力根据的一种规定。
第二，如果我设想把借助直线AB表达的这一规定缩小，那么，我也就使物体更为接近始点；则很容易就可以理解，如果我继续这样做，物体最终就会处在A自身；因此，规定AB通过缩小而被设定得越来越接近在A处的规定；因为如果它根本不接近这一规定，那么，物体就根本不能在我无限继续做下去的情况下，通过时间的缩短抵达A点，而这是很荒谬的事情。因此，物体在C点的规定要比在B点更接近惰力的条件，在D点又比在C点更为接近，依此类推，直至物体在A点自身拥有惰力的全部条件，而达到活力的条件完全消失为止。但是，
第三，如果某些规定是一个物体的一种特性的原因，这些规定逐渐地转化为另一些规定，后者是物体另一种对立特性的根据，那么，曾是前一种条件的一种结果的特性，也就必然同时改变，并逐渐地转变为作为后一种条件的一种结果的特性。
因为现在，如果我设想缩短时间AB（它是在B点的一种活力的条件），活力的这一条件必然被设定得比它先前在B点更接近于惰力的条件，那么，物体在C点就必定确实有一种比在B点更接近惰力的力，而如果我将它设定在D点，那就更为接近了。据此，一个在时间流逝的条件下具有活力的物体，并不是在任何可能任意短暂的时间中都拥有一种活力的；不是的，这个时间必须是确定无疑的；因为如果它更为短暂，物体就不再具有这种活力。因此，莱布尼茨关于力的测算的规律就不能成立；因为它不加区别地把一种活力赋予一般有一段长度的时间运动（这无非就是说现实地运动）的物体，这段时间可以任意地短或长。
我现在所证实的东西，是从连续律
得出的完全精确的结果，人们也许还没有充分地认识到连续律广泛的好处。连续律的发明者莱布尼茨先生把它当做使笛卡尔的规律经不起检验的试金石。我认为，它差不多独自就提供了一种手段，来正确地揭示并以真正的形象表现整个力学可靠的规律，这就是它的优越性的最伟大证明。
人们可以把自己的注意力专注于莱布尼茨先生针对笛卡尔利用这一原理的方式，这样一来，人们就可以轻而易举地觉察到，这一原理在此是怎样必然地被使用。它证明，当一个物体朝一个运动着的物体撞去时成立的规则，在该物体背着一个静止的物体运动时就必然失效；因为静止同一种非常小的运动没有区别。在不相等的物体相对运动时有效的东西，在物体相等时也必然有效；因为一种很小的不相等可以混同于相等。
我也以这种方式进行推论：在一个物体运动一段时间的情况下有效的东西，即便运动仅处于开始时也必然有效；因为运动的一个非常短暂的持续期与其单纯的开端没有区别，或者人们能够有理由把它们混同起来。我由此得出：如果物体在运动一段时间（哪怕它任意地短）的情况下拥有一种活力，那么，它在刚开始运动的时候也必然有活力。因为是它刚开始运动还是已经开始运动了极短一段时间，都是一回事。因此我得出结论：由于从莱布尼茨的力的测算规律中得出了这种荒谬，即甚至在运动的始点力也是活的，所以人们可以不附和它。
很容易就可以发现，如果这一规律是清楚明白地提供给知性的，知性就会如何与它相对立。说服自己相信一个在A点上有一种惰力的物体，在它只离开这个点一段难以察觉的距离后，就具有了一种比惰力无限大的活力，这是不可能的。这一思想跳跃太突然了，它并不是一条使我们从这一规定过渡到另一规定的道路。
人们应当留意由此产生的东西。流逝掉的时间如果表现得不确定，就不可能是活力的条件，这一点我在前面已经证明过了；但是，即便它表现得是确定的，并且限定在一定的长度上，它也不可能提供活力的真正条件，现在我以如下的形式证明这一点。
假定人们能够证明，一个具有这种速度的物体在1分钟之后将拥有活力，而且这1分钟就是它获得这种力的条件，那么，如果这一时间的长度翻个倍，则所有先前仅仅就单数而言已经将活力置于物体之中的东西，也将在物体中翻倍。但是，第1分钟的长度为物体的力附加了一个新的维度（per hypothesin［根据假定］）；因此，2分钟的长度由于以2倍的方式在自身中包含着第1分钟在自身中所包含的条件，就又为物体的力附加了1个维度。所以，自由地继续其运动的物体，在运动的始点虽然只有1个维度的力，并在过了1分钟之后有2个维度的力；但在第2分钟，它的力就有了3个维度，在第3分钟有4个维度，在第4分钟有5个维度，并如此继续下去。这就是说：它的力在整齐划一的运动中时而以速度自身，时而以速度的平方，时而以其立方，时而以其4次方为尺度；这样的越出常规，没有一个人会为之辩护。
对这一推理的正确性不可有所怀疑。因为如果要求，从一个物体运动的开端直到某个点上所流逝的一个具有确定长度的时间，完全在自身中包含着活力的条件，那么，也就不能否认，在一个2倍长的时间里也有2倍多的这种条件；因为时间除了其长度之外没有其他的规定。因此，如果一个单一的时间是把1个新的维度引入物体的力的充足理由，那么，一个2倍的时间将设定2个这样的维度（根据rationata sunt in proportione rationum suarum［被说明的东西与其理由成正比］）。还可以补充说，时间之所以能够是活力的一个条件，只是因为物体在时间的流逝中离开了存在于开始那一刻的惰力的条件，这个时间之所以必须具有一定的长度，乃是因为物体在很短的时间内将不能像活力的大小所要求的那样足够地远离惰力的规定。因为物体如今在一个更长的时间里越来越远离开始的那一刻，也就是远离惰力的条件，所以物体运动的时间越长，即便它的运动是整齐划一的，它的力也必将无限地获得越来越多的维度，而这是无稽之谈。
因此，首先，运动现实性的缺乏并不是把简单速度的测算赋予一个物体的力的真正的、正确的条件。
其次，无论是运动自身的现实性和与此相关对流逝掉的时间所作的一般的、不确定的考察，还是规定的、设定的时间长度，都不是活力和根据平方对活力的测算的充足理由。
我们要从这一考察得出两个重要的结果。
第一个结果是，数学从来不能为有利于活力而提供一些证明，而且以这种方式测算的力即便通常是同时发生的，也至少是处在数学考察的领域之外的。每一个人都知道，即便是要在这一科学中测算一个以一定速度被运动的物体的力，人们也不受制于在运动中流逝的时间的任何固定的瞬间，相反，就这种限制来说，一切都是不确定的、无关紧要的。因此，数学提供的对运动物体力的测算是这样一种测算，它涉及所有的运动自身，而在这上面流逝的时间可以任意地短，它在这方面没有给我们设置任何界限。但是，这种测算也涉及物体处在开端的运动（第25、26节），因而这运动是惰态的、以其简单的速度为其尺度。由于不可能同时将活力与惰力一起在同一种测算中来把握，所以人们很容易看出，活力完全被数学考察排除掉了。
此外，数学在一个物体的运动中所考察的无非是速度、质量，如果人们愿意的话，也许还有时间。速度绝不是活力的根据；因为物体尽管按照莱布尼茨的看法拥有活力，但却并不能在其运动的每一瞬间都能够拥有活力，而是在其运动开始之后一段时间才拥有，尽管所有的速度都已经现存在它里面，但它在运动的开始还没有活力（第25、26节）。质量就更不是活力的根据了。我们最终从时间出发证明了这一点。因此，特别地说，每一个物体的运动在自身之内都不包含任何在数学的考虑中显示运动所固有的活力的东西。由于现在关于一个运动中的物体对运动所做的事情的所有推论，都必然是从在对速度、质量和时间的考察中所把握的Notionen［概念］中推导出来，所以它们如果是正确地得出的，就不会提供确认活力的结论。即便看起来它们给活力提供了这种服务，人们也不信赖这一表面现象；因为在这种情况下，结论中所包含的东西多于原理自身所包含的东西，也就是说，rationatum［被说明的东西］大于ratio［理由］。
在这两个世纪的几何学家们作出如此多方面的伟大努力，借助数学学说来解决笛卡尔和莱布尼茨先生的争论之后，我却开始否认这门科学对这场争论的裁定权，这看起来是很奇怪的。尽管一段时间以来人们就在争论，这门科学是对笛卡尔的规律有利，还是保护了莱布尼茨先生的学派，但鉴于这一分歧，每一个人在下面这一点上还是一致的，即为了正确地解决力的测算的争论，就必须使之取决于数学的裁决。如此伟大的推理大师们会走上岔路，却没有觉察到，或者哪怕是想到，这是否也是能够引导他们拥有自己所追求的真理的道路，这件事真是够奇怪了。不过我在此觉得，我找到了迫使我把所有这些奇怪的东西当做耳边风的根据，然而按照它们的裁决我应该继续转向何方呢？
我从前面的考察得出的第二个结果是：数学的理由不利于活力，毋宁说总是要证实笛卡尔的规律。根据第21节的定理，这必定是早已清楚明白的，而且我还可以补充说，数学的量、线、平面等等无论多么小，与它们谁也不知道有多大时一样，都具有这同一些属性；因此，从最小的数学量，从最小的平行四边形，从一个物体通过最短路线的下落，必然能够引申出与从这些类别的最大值所引申出的同样一些属性和结果。如果运动刚一开始所显示的那样的路线，与运动在开始之后很久所显示的路线具有同样的规定和属性，也具有同样的结果，那么，人们在对一个物体运动的数学考察中所得出的力，就决不会与在极短的时间里，即在无限短的时间里，在开始的瞬间就存在于物体之中的力具有不同的属性。由于这是一种惰力，从而自身就具有简单速度的尺度，因此所有的、每一种在数学上衡量的运动都不会说明任何别的测算，而只能说明按照单纯的速度进行的测算。
据此，早在我们对事情作出进一步的研究之前，我们就知道，莱布尼茨的追随者们由于用这样一些远离他们问题本性的武器来为自己辩护，因而在反对笛卡尔的名声不佳的争论中失败了。在这一般的考察之后，我们要特别考虑莱布尼茨学派主要在这一争论中使用的一些证明。
莱布尼茨先生首先是被人们在物体因其重量而下落时感知到的东西引导到他的看法的。不过，正是不适当地运用了笛卡尔的原理，把他引向了错误；随着时间的流逝，这错误也许成为当时潜入人类理性的最明显的错误。也就是说，它确认了以下的定理：将一个4磅重的物体举高1尺与将一个1磅重物体举高4尺，需要同样的力。
由于莱布尼茨依据的是他那个时代所有力学家的赞同，所以我觉得，他是从笛卡尔用来解释杠杆本性的一条规则推论出这一定理的。笛卡尔假定，挂在杠杆上的砝码穿越了诸多可以就其与静止点的距离来描述的无限小的空间。现在，如果这些空间相互之间与物体的重量成反比，那么，两个物体就处于平衡中；因此，莱布尼茨推论说，把1磅重的物体举到4个单位的高度，并不比把另一个质量为4的物体举到1个单位的高度需要更多的力。人们很容易察觉，只有在运动的各个时间相等的情况下，才能从笛卡尔的基本规则得出这一结论。因为就天平而言，砝码穿越其无限小的空间所用的时间是彼此相等的。莱布尼茨先生不考虑这一条件，并且推论到时间彼此不相等的运动。
先生关于力等同于物体借助力所能够达到的高度的证明
这位人物的辩护者们似乎注意到了人们因时间而可能对他提出的反驳。因此他们力图这样来建立自己的证明，似乎就物体因下降而获得的力而言，时间的区别可以完全忽略不计。
假如有一根无限的弹簧AB
，它表现出从A到B的持续下落中跟随物体的重力，于是赫尔曼先生说，重力将在空间的每一个点上把同样的压力传递给物体。他借助共同构成了矩形AF的直线AC、DE、BF等等来描摹这些压力。于是按照他的看法，当物体到达B点时，它就具有了一种等于所有这些压力之总和、即等于矩形AF的力。因此，D点的力与B点的力的比例，就如同矩形AE与矩形AF的比例，也就是说，如同穿越过的空间AD与空间AB的比例，因而也就是如同D点和B点的速度平方。
赫尔曼先生就这样作出了推论，他断言，重力在自由下落的物体中所起的作用，视物体下落时经过的空间而定。
与此相反，一些笛卡尔分子断言，重力的作用不是与在被终止的运动中已经过的空间成比例，而是与物体或者下落或者复升所用的时间成比例。现在，我提供一个使笛卡尔学派的意见免除怀疑的证明，人们由此也将同时学会领悟到，赫尔曼先生的虚假证明错在哪里。
将5根具有同样张力的弹簧
A、B、C、D、E中的惟一一个在1秒钟长的时间里压紧，与在同样的时间里逐一将5根弹簧压紧，所需要的是同样多的力。因为人们把作为物体M维持将弹簧A压紧的时间的这1秒钟分成了5等份；如今物体M并不是经过这1秒钟的所有5等份对弹簧A施压的，人们假定，它仅仅在这1秒钟的第一部分将弹簧A压紧，而在这1秒钟的第二部分则不是将弹簧A压紧，而是下移到另一个弹簧，即弹簧B，后者具有同样程度的张力；这样，由于这种混淆，在物体M用来压紧的力中看不到任何区别。因为弹簧B和弹簧A在所有方面都是完全相等的，因而在这1秒钟的第二部分仍是这个弹簧A被压紧还是弹簧B被压紧，都是一回事。同样，物体M在这1秒钟的第三部分是压紧第三根弹簧C还是在这同一时间等份中仍然压紧前面的弹簧B，也是一回事；这是因为，由于各个弹簧没有区别，人们也就能够把一根弹簧放置在另一个位置上。因此，物体M在整整1秒钟长的时间里维持将惟一的弹簧A压紧所用的力，与它在同样的时间里逐一将5根这样的弹簧压紧所用的力同样多。恰恰这一点是可以说的，人们尽可以把弹簧的数量增多到无限，只要施压的时间是相等的。因此，测算物体压紧所有这些弹簧的力，所根据的不是这些被压紧的弹簧的数量，相反，施压的时间才是真正的尺度。
现在，让我们接受赫尔曼先生在弹簧的作用与重量的压力之间所作的比较，这样我们就会发现，是物体的力能够反抗重力多久的时间，而不是已经过的空间，才是测算物体的全部作用所必须依据的东西。
因此，这就是第一个试验，它如我所相信，证实了我在上面所说的东西，即笛卡尔的意见在数学的证明中胜过了莱布尼茨先生的规律。
查泰勒侯爵夫人
曾以优美的辞令阐明了笛卡尔学派与活力的辩护人的争论；我在这场争论中发现，为了使莱布尼茨学派关于物体下落的推论失效，笛卡尔学派也利用时间的区别。不过，在她从马兰
先生反对力的新测算的著作所引证的东西中，我看出此人并不知道他能够从时间的区别得出的真正好处；我相信在上一节已经指出了这种好处，它无疑是十分简单明了的，以致人们必然感到惊奇的是，虽然有这样的理智之光居然没有发现好处。
这些人士在探究大自然的真正规律，即重力从一个物体夺去的力是与时间，而不是与空间成比例的时候，如此严重地陷入迷途，这肯定是非常奇怪的事情。在他们走得如此之远，以至他们承认莱布尼茨学派的观点，即一个物体能够以2倍的速度发挥4倍的作用之后，在他们据我看来如此败坏了自己的事情之后，他们不得不求助于一种相当糟糕的遁词，即物体虽然发挥了4倍的作用，但却仅用了2倍的时间。因此他们非常认真地坚决要求，两个物体的力必须按照它们在同样时间内所发挥的作用来测算，而且人们根本不可能留意它们在不同时间内能够达成的东西。人们无比清晰地看到了这种遁词，而我不理解的是，进一步抵制真理的强制在当时究竟是如何可能的。
但是我们由此还看到，正是笛卡尔学派的错误推论才使得莱布尼茨学派庆贺胜利的，他们根本不是因为自己事情的弱点才输掉争论的。如果他们能够掌握事情的本性原本为他们提供的正确武器，他们会始终占据优势的。
我已经证明，重力所产生的作用、重力在上升过程中所造成的阻力，是与物体在运动中所花费的时间成正比的。不过，我想到一种情况，它也许足够明显，能够使一些人对这一定理产生怀疑。利希特沙伊德
先生在《教育者年鉴》中提到，如果让一个钟摆
从D以这样一种方式下落，即摆绳固定在支点E，钟摆通过从B又升高到C，划了一个较小的圆弧，这样，它凭借自己在B获得的速度重新达到高度CF，这一高度与它下降的出发点高度DG是相等的。但是，钟摆在下落时通过圆弧DB所用的时间，要比它重新升高达到C所用的时间更长。因此，重力在前者要比在后者对钟摆起作用的时间更长。现在人们应当想一想，我在前面曾经证明过，重力在更多的时间内产生的作用也更大；如果这是正确的，那么，物体在B所获得的速度必然大于重力在从B到C的运动中能够又从它夺走的速度。因此，它凭借这一速度必定能够超越C点，然而，按照利希特沙伊德先生的证明，这是错误的。
但是，只要人们思考一下，摆绳AB在物体从D向B运动时，要比摆绳EB或者EC在物体从C到B下落时对物体有更强烈的抵抗，通过重力更多地阻碍下落，那么就很容易理解，在从D下降到B的所有瞬间里积聚在物体中的力的元素，要小于在物体从C下落到B时重力反过来在每一瞬间带进物体C的基本力。这是因为，由于是一个固定在一根绳上的物体为定点A所迫使经过圆弧DB或者CB，还是它在一个同样的曲面BD、CB上自由地向下滚动，这都是一回事，所以人们可以想象，仿佛我们所谈的下落真的发生在两个这样凹进去的、彼此连在一起的曲面上。如今，曲面DB比另一个曲面，即曲面CB更趋向于水平线，因此虽然物体在曲面DB上比在曲面CB上更长时间地蒙受重力的推动，但该曲面也比另一个曲面，即曲面CB阻止了致力于合并到物体中去的重力的一个更大的部分。
我可能用不着来释解这一责难了，因为莱布尼茨先生的支持者们好像已经觉察到了这一责难自身的弱点，我在任何地方都没有发现他们利用这一责难。不过，被利希特沙伊德先生选为自己论文评判人的莱布尼茨先生，给予这篇论文一种溢美性的赞同，正是莱布尼茨先生的威望，能够使他具有一些影响。
在我离开关于物体由于重力而下落这个题材之前，我还想给活力的辩护者们提供一种事例来解答。我觉得，这一事例应当足以表明，决不能像莱布尼茨先生及其辩护者至今要劝告我们的那样，把对时间的考察排除在对重力带入一个物体的力的测算之外。
这一事例如下：我以笛卡尔学派和莱布尼茨学派都习惯的方式，借助无限多的金属弹簧AB、CD、EF、GH来设想从高度ab开始直到水平线bc传送给物体的重力的压力。
此外，我把一个物体m放在斜面ac上，让另一个物体l自由地由a下落到b。如今，物体m被弹簧的压力驱动沿斜面ac下落，在这一倾斜下落结束时，莱布尼茨学派将如何测算它的力呢？他们只能把若干将物体由a驱动到c的弹簧与每一弹簧对物体沿着ac方向施压的力量的乘积规定为尺度；因为他们的理论要求这样，就像我们从赫尔曼先生的事例看到的那样（第31节）。同样，他们也不得不借助一批向前驱动物体的弹簧与每一根弹簧向前驱动物体所用的强度的乘积，来测算存在于另一个从a自由下落到b的物体l之中的力。但是，两方面不仅经过斜面ac、而且经过高度ab的弹簧总数都是一样的，因此，只剩下每一根弹簧在两种情况下带进其物体的力的强度来做物体l和m在b和c中产生的力的真正尺度了。这些金属弹簧中的每一根沿着斜面ac的方向对物体m施压所用的强度，如同力学首要的原初根据教导我们的那样，与同一根金属弹簧沿着物体l运动的方向ab对物体l压力的强度的比例，等于ab与ac的比例。因此，物体l在垂直下落结束时在b处拥有的力与物体m在倾斜下落结束时在c处拥有的力的比例，等于ac与ab的比例；但这是荒唐无稽的，因为两个物体在b和c处具有同样的速度，从而也具有同样的力。
笛卡尔学派通过将时间一并考虑来逃避这一责难。因为尽管每一根弹簧在斜面ac上带进物体m的力都更少（因为一部分力被斜面的阻力消耗掉了），但这些弹簧对物体m作用的时间要比对物体l作用的时间长得多，后者只有一个短得多的时间蒙受这些弹簧的压力。
在我已经证明对因重力而下落的物体的考察不以任何方式对活力有利之后，就是考虑另一类证明的时候了；活力的辩护者们任何时候都以这一类证明自豪。这是一些似乎为他们提供关于弹性物体运动的学说的证明。
就莱布尼茨先生的力的测算在世人中引起的分裂而言，在几何学家们中间产生的迷惑和歧途之多，令人对这些推理大师们几乎难以猜想。人们关于这场名声不佳的争论的所有事件向我们公开的消息，有朝一日将在人类知性的历史上占有一种很有裨益的地位。除了最有洞察力的几何学大师们在一项应当在他人面前对他们保证清晰无误的研究中也无法逃避的这些诱惑，没有任何考察更能战胜这些如此提高了我们理性推理的正确性的人们的自负了。
如果莱布尼茨学派的先生们愿意花费点力气，把自己的注意力集中在他们如今视为活力不可推翻的证据的证明本身的构造上，就不可能陷入这样的歧途了。
几乎所有的证明，至少是人们为了活力而从弹性物体通过碰撞发生的运动借用的那些证明中最显而易见的证明，都是以如下方式产生的。人们把碰撞发生之后处在这些物体之中的力同碰撞之前的力进行比较。如果按照质量与速度的乘积来测算这些力，就会发现前一种力比后一种力更大；只有不用简单的速度，而是用速度的平方，才会表现出完全的相等。莱布尼茨学派的先生们由此推论出，只要一个弹性物体的力完全与它的速度成正比，那么，该物体决不能像实际发生的那样给予它碰撞的物体那么多运动；因为按照这一尺度，原因总是小于所起的作用。
这一推论遭到了使用它的那些人自己的学说体系的全面反驳。我并不想列举雷恩、沃利、惠更斯
和其他一些人的力学发现。政府顾问沃尔夫
男爵先生应当是我的担保人。看一看他那众所周知的力学，就会发现不容置疑的证据，即弹性物体都完全按照作用与原因相等的规律把运动给予其他物体，人们没有必要在它们里面设定一种不同于单纯速度的力。我还可以补充说，人们根本不可以认识活力，也不可以按照名称认识它，这一点也不应当有碍于认识如下的事情，即从一个弹簧状物体在向其他同类物体的撞击中所拥有的力，产生出这样那样的运动，它们每一个都是由这种力产生的。在一个几何学的证明中，人们发现按照单纯的速度测算的力足以从中推演出其他物体中的运动的一定大小，我要说的是，按照这样一个证明，还会产生一种想法，即这种力对此并不是足够大的，这难道不是很奇怪吗？这不是意味着收回先前极为严格地证明了的东西，仅仅由于一种微不足道的外表就转向了反面？我请读这几页书的人们把我所引证的力学与此进行对照，他们只会感觉到极大的信心，即为了极为严格地发现人们习惯于归给弹性物体的那些结果和运动，他们根本不需要按照平方进行测算的概念。因此，我们不想让自己被任何诱惑从这条小路上引开。因为在几何学证明中被认定为真的东西，也将永远是真的。
让我们在一个特殊的事例中来阐明我们已经完全证实的东西。赫尔曼先生在一篇他为活力辩护而作的论文
里，让一个质量为1、速度为2的物体A
在完全平滑的平面上撞击一个质量为3的静止球体B，然后由于A从球体B弹开并以1个单位的速度返回来，就又撞到质量为1的球体C。球体A把1个单位的速度传递给球体B，也把1个单位的速度传递给物体C，随后就处于静止中。赫尔曼先生由此推论道，如果力只与速度成正比，那么A在撞击前就会有等于2的力，而撞击后在物体B和C里面一共有4个单位的力，这在他看来是荒唐无稽的。
我们要研究一下，物体A是怎样能够以等于2的力把4个单位的力带入物体B和C，而又不借助奇迹，或者不需要求助于活力。请借助弹簧AD设想一下物体A
因碰撞而起作用的弹性力，并借助弹簧DB设想球体B的弹性。从力学的首要根据我们知道，物体A借助弹簧一直把新的压迫和力带入球体B，直到B和A以同样的速度继续运动，而这是在这些物体的速度与球体A撞击之前速度的比例等于A的质量与A和B两个质量总和的比例的情况下发生的，也就是说在目前的情况下，如果它们以1/2速度继续向BE方向运动的话。没有人否认，这里还可以按比例发现根据速度测算的力的作用。不过，让我们再研究一下，当物体A借助于弹簧AD和DB作用于球体B的时候，弹簧AD和DB到底发生了什么。由于弹簧AD在D点对弹簧DB所施加的力，必定与弹簧DB对物体B施加的压力同样多；而球体B同样强烈地阻抗在它里面发生的作用，所以很清楚的是，弹簧DB由于另一根弹簧的努力而以与它带入球体B的同样程度的力受到压迫。与此同时，球体A也以它在D点上作用于弹簧DB的同样程度压迫它的弹簧AD；因为弹簧DB强烈地对抗弹簧AD，与弹簧AD在它里面起作用一样强烈，从而也就与球体A致力于压迫它的这根弹簧一样强烈。此时，由于弹簧DB被压紧所用的力与球体B的阻力、从而与这个球体由此感受到的力相等；而弹簧AD的压迫力与前者也是相等的，所以，二者也就与物体B在此获得的力同样大，也就是说，与物体B以3个单位的质量和1/2单位的速度运动的力同样大。因此，如果这两根弹簧弹开，那么，弹簧DB就给予球体B一个与弹开之前的速度相等的速度，即1/2的速度；而由于物体A是物体B质量的1/3，弹簧AD也就把3倍之多的速度，即1+1/2单位的速度给予物体B；因为如果力是相等的，那么，速度per hypothesin［根据假定］就与质量成反比。因此，球体B就从物体A的撞击、然后又从它的弹簧的弹击一共获得了在BE方向上1个单位的速度。但是，球体A由于在AE方向上的撞击之后还剩下的1/2速度必然被弹簧的弹击朝AC方向带给它的速度拉回，从而也获得了使它在AC方向继续运动的1个单位的速度
，这恰恰是赫尔曼先生认为不可能按照笛卡尔的规律解释的情况。
我由此推论：物体A能够以2个单位的速度、也能够以2个单位的力完满地发挥赫尔曼先生要否认它的那种作用；如果有人断言，它拥有4个单位的力，但却只造成了它以2个单位的力就能够造成的结果，也就违背了原因和作用相等的规律。
我们还要在赫尔曼先生的推理中寻找谬误的真正关键，它同时出现在人们为了活力而要利用弹性物体的几乎所有地方。因此，人们曾经作出推论，物体在碰撞之后的力必然与碰撞之前的力相等；因为作用与耗尽自身造成作用的原因一样大。我由此发现，他们认为惟有发生碰撞之后力的状态和大小才是碰撞前存在于撞击物体之中的力的作用。这是一种失误，其后果我们已经看到了。因为原本完全来源于撞击物体A的力的运动，不外是A和B以弹簧受到压迫的方式都以1/2的速度继续向前运动，对弹簧的压迫既不是A朝B移动所用的力的一种特殊作用，也不是两个物体惯性力的一个结果。因为如果B不同样强烈地反作用于施压的弹簧DB，就不能获得1+1/2的力，因此，如果压力与反压力相等的状态不同时压紧弹簧BD的话，弹簧AD也不可能把力带入B。此外，如果弹簧AD不由此以同等程度的强度被压紧的话，物体A也不可能借助它的弹簧AD对弹簧DB施压。人们不必对两个此前并不单独存在于A里面的全新的力以这种方式来到自然界感到惊奇。即便是一个非弹性物体作用于另一个非弹性物体，这一点也确实是随时发生的，只不过在这种情况下，这种新力的后果并不像对弹簧状物体那样被保存下来，而是消失了。
因为在物体A以力x作用于物体B的瞬间，并不仅仅物体B接受了这一朝向BE方向的力，而是B同时还以x的强度反作用于A。因此第一，有两个x现存于大自然中：即球体A对B施压之前的x，以及同样是球体B反施压之前的x；第二，还有作为从A沿着BE方向转到B的力的x。前两种力量在弹性物体的碰撞中被用于压紧两根弹簧，它们在随后弹开时把自己的力传递给自己的物体。因此，弹性物体是自然界中的这样一类机械装置，它们具有保存在碰撞的瞬间处于自然界中的力的全部大小的性质；因为如果没有弹性物体，物体的碰撞所带给世界的力就会丧失一部分。
我在解析赫尔曼的事例时，没有说过任何这位哲学家就证明的根据而言可能不知道的东西，或者活力可敬的辩护者们在涉及他们应当作出表白的时候会要求予以否认的东西。赫尔曼先生必定知道，人们怎样能够从弹性物体的单纯速度推导出来出自弹性物体碰撞的运动；因为若不然，他就不可能先验地知道，1个质量的球体在以2个单位的速度与3倍质量的球体的碰撞中产生4个单位的力。我要说的是，没有我们所提供的这种解决方式，他本人就不可能知道这一事例；因为每一个人都知道，人们是在一种力学研究中发现一个弹性物体因碰撞而产生的运动的，人们首先特别地寻找物体在没有其弹力时所造成的东西，然后为此加上弹性的作用，但却是根据它按照自己的质量和自己的简单速度的比例能够造成的东西来确定二者的。以这种人们称为argumentum ad hominem［对人辩论式］的推理，人们提不出任何更强有力的东西来反对赫尔曼先生和莱布尼茨学派了。因为他们要么必须承认他们迄今为止一致地为产生于弹性物体碰撞的运动提供根据的所有证明都是错误的，要么他们必须承认，单是这样一个物体用总的来说与质量和速度成比例的力就产生了运动；因此之故，他们相信物体需要速度的平方。
我将通过查泰勒侯爵夫人与马兰先生的争论说明，现在对弹性物体如何通过碰撞带给世界比碰撞前更大的运动量的方式作出一种详细的阐述，并不是多余的。因为马兰先生说：弹性力是自然界的一部真正的机械装置……要想通过把弹性物体在两个对立的方向上提供的东西当做正的加在一起，来特别考察弹性物体碰撞的所有作用，那么，就必须绝对地不把似乎由此在自然界形成并通过碰撞表现出来的新力归结到碰撞物体的活动，好像是它把这种力转让给了被碰撞的物体，而是归结于力的外来源泉……总而言之，归结于弹性的某种物理原因，无论这种原因是什么样的，都是碰撞释放出它的效能，可以说是对弹簧施压……——我要说的是，当马兰先生说这些话的时候，查泰勒夫人回答他说：在这一看法的发明者花费力气将他在这里要断言的东西建立在一些证明上面之前，研究这种东西没有什么用处。我荣幸地代替马兰先生承受这份辛劳，而且这是我用来原谅自己在这个主题上唠叨不休的辩解。
对莱布尼茨学派来说，尤林
先生和其他人还提出了这一异议：两个以与其质量成反比的速度相遇的非弹性物体，在碰撞之后保持静止。按照活力的学说，这里有两个力，人们可以任意地使它们不相等，但尽管如此它们却彼此保持平衡。
我在查泰勒夫人的自然学说
中发现了对这一异议的回答，就像我从引证中看到的那样，这一回答以著名的贝努利
先生为发明人。贝努利先生未曾顺利地为自己的意见找到与他的名声匹配的防御武器。他说道，非弹性物体借助其各个部分的压力而相互之间施加出它们在压迫处于它们之间的弹簧时所施加出的相同作用。因此，他假定有一根弹簧R，它在同一时间内向两面伸展，并从两面推动质量不相等的物体。
他证明，通过这根弹簧传递给两个物体的速度，与它们的质量成反比，因此，如果球体A和球体B以这样的速度返回，它们又会使弹簧处于最初的压迫状态。一切都是如此正确，与笛卡尔学派的原理完全一致。不过，让我们看一看他是如何进行自己的推论的。弹簧的各个部分通过相互弹开，有的朝A面运动，有的朝B面运动，但分界点却是在R点，该点按照A和B质量的反比将弹簧一分为二。因此，弹簧R的RB部分作用于质量为3的物体B，而另一部分RA则把自己的力传递给质量为1的球体A。但是，被带给这些物体的力，是与将自己的压力用于它们的弹簧的数目成正比的；因此，尽管球体A和B的速度与其质量成反比，但它们的力是不相等的。现在，如果弹簧R充分伸展开，而物体则以它伸展时传递给它们的同样速度向它返回，那么人们就很容易看到，一个物体就会借助对弹簧的压迫使另一个物体处于静止状态。如今它们的力是不相等的，人们由此就认识到，力不相等的两个物体相互使对方处于静止状态是如何可能的。他把这运用于非弹性物体的碰撞。
在这一推论中，我并没有认出贝努利先生，他习惯于用完满得多的清晰度来形成自己的证明。无可争议的是，彼此弹开的弹簧分配给物体A和B中的一个的力，必然与分配给另一个的力同样多。因为它带给球体A的力，等于它用来顶撑另一个球体B的强度。如果它根本不顶撑在任何一个支点上，那么它就根本不会把力分配给球体A，因为在这种情况下，它根本没有弹出任何作用。因此，如果不从运动球体B的另一面施加同等程度的压力，这根弹簧就不能向A用力。所以，球体A和B的力彼此相等，而不是像贝努利先生错误地要人们相信的那样，和长度AR与RB一样成正比。
很容易就可以看出贝努利先生推论中的错误是如何产生的。莱布尼茨学派如此坚持的定理是这一错误的根源，亦即，一个物体的力与作用于它的弹簧数目成正比。
我们在上面
已反驳了这一定理，贝努利先生的事例证实了我们的想法。
人们可能不无高兴地发现，有人想要用来为活力辩护的这一说明是怎样出色地成为我们反过来完全打消这种辩护的武器。这是因为：由于肯定无疑的是，弹簧R分配给质量分别为1和3的两个物体的力是相等的（第46节），此外如莱布尼茨学派自己也承认的那样，质量为1的球体速度为3，而另一个球体的速度为1，所以，由此产生了两个直接与活力相矛盾的结果。第一，一个物体通过弹簧的压力获得的力，并不与将它推开的弹簧的数目成正比，而是毋宁说与弹簧作用的时间成正比；第二，一个质量为1速度为3的物体，并不比另一个质量为3但速度为1的物体拥有更多的力。
迄今为止我们已经看到，莱布尼茨的追随者们是如何利用弹性物体的碰撞来为活力辩护的。不过，对弹性物体的利用仅仅是数学的。但是，他们自以为在运动学的这个部分中为自己的见解也找到了一种形而上学的根据。莱布尼茨先生甚至就是这一根据的发明者，他的声望使这一根据产生了不小的影响。
他心甘情愿地接受了笛卡尔的基本定理，即世界上力的大小始终保持不变，只不过它是这样一种力，它的量必须按照速度的平方来测算。他指出，力的旧尺度并不容许这一出色的规则。因为如果人们接受了这一点，那么，在物体相互之间的位置变化之后，自然界中的力就会不断减少或者增多。莱布尼茨相信，让上帝被迫像牛顿先生想象的那样不断地更新他赋予自己作品的运动，有损于上帝的权能与智慧；这促使他寻求一种有助于他克服这一困难的规律。
由于我们在上面已经证明，活力在其辩护者自己如何利用它们的方式中，也就是说在数学意义上，任何地方都找不到位置，所以，上帝的权能和智慧在这里已经通过对问题的完全不可能性的考察拯救了自己。即便我们在对这一异议的另一种回答方式中遭到失败，我们也能总是隐藏到这一防护堡垒之后。因为即使按照我们所断定的运动定律，宇宙随着自己力的逐渐耗尽而最终完全陷入无序是不可避免的，这一打击也仍然不会触及上帝的权能和智慧。因为人们从来也不能抱怨上帝的权能和智慧，说它没有把一种我们知道绝对不可能、因而不能以任何方式施行的规律带给世界。
不过，请稍安毋躁。我们还没有被迫如此绝望地逃遁。这也许叫做斩断死结，但我们宁可解开死结。
既然莱布尼茨学派认为为了维持世界机器，按照平方测算物体的力是绝对必要的，我们也就无法承认他们的这一小小的要求了。凡是我迄今已经证明以及到本章结尾还想证明的东西，都是要使他们确信，无论是在抽象的考察中，还是在大自然中，物体的力都不以莱布尼茨学派采取的这样一种方式，即在数学上作出权衡，来提供按照平方进行的测算。但我并没有因此就完全否认活力。在本文的第三章中我将阐明，在自然界中确实可以找到其尺度是其速度平方的力；只是要加上一条限制，即人们以迄今为止所采取的方式永远不能发现它；面对这一类考察（即数学的考察）它们将永远隐藏自己；任何东西，无论是一种形而上学的研究还是一种特殊的经验，都不能使我们认识它们。因此，我们在这里原本不是否认事情本身，而是否认modum cognoscendi［认识的方式］。
据此，我们在要点上与莱布尼茨学派是一致的；所以，我们也许还能够在他们的结论中与他们一致。
但是，对莱布尼茨先生的指责是建立在一个错误的前提之上的，这一前提长期以来就已经给世俗智慧带来了诸多不便。也就是说，下面的命题已经成为自然学说的一个原理：除了借助一种也处在现实运动中的物质之外，大自然中就没有运动发生；因此，除非是通过另一个现实的运动，或者是上帝直接插手，在世界的一个部分中消失的运动就不能被重建起来。这一命题在任何时候都给赞同它的人们惹来了麻烦。他们被迫以人为地编造出来的混乱使自己的想象力疲惫不堪，把一个假说建立在另一个假说之上；他们不是最终把我们引向世界大厦的一幅简明易懂、足以从中推导出大自然的所有复合现象的蓝图，而是以无限多的奇特运动让我们困惑不已，这些运动与它们应当被用来说明的所有东西相比，要更为离奇和不可理解得多。
据我所知，汉姆贝格
先生首先提供了消除这一弊端的方法。他的想法很好，因为它简单，因而也符合自然。它表明（但还是一个很不完善的草图），一个物体如何能够通过一种自身只是处在静止中的物质而获得一种现实的运动。这就预防了无数的弯路，甚至经常是预防了与对立的意见伴生的奇迹。确实，这一想法的根据是形而上学的，因此也不合当前自然学说的胃口；然而，同样显而易见的是，自然作用的第一源泉必然不折不扣地是一个形而上学的题目。汉姆贝格先生未能实现他的意图，为世人指示出一条更便捷的新路，把我们引向对大自然的认识。这一领域尚未建设，人们还不能离开老路，斗胆踏上新路。人们把自己交付给一个离题和想象力任意虚构的大海，而不重视简单明了、但正因如此也是自然的方法，这难道不是不可思议的吗？然而这已经成了人类知性的流行瘟疫。人们还将在很长时间里受这一潮流的吸引。人们将以复杂而做作的思考为乐，知性由此领略到其自身的力量。人们将拥有一种充满了洞察力和想象力的出色实验的物理学，但却没有大自然本身及其作用的蓝图。但是，最终占据统治地位的，将是这样一种物理学，它依照大自然本来的样子，也就是说简单地、不必无穷无尽绕弯子地描述大自然。大自然的道路只不过是一条舍此无他的道路。因此，人们在成功地踏上正确的道路之前，必定早已尝试过无数条歧路。
莱布尼茨学派应当比其他人更多地利用汉姆贝格先生的意见。因为正是他们断言，一种惰态的压力被传递给物体并保持在该物体中，如果没有一种不可克服的障碍再来消除它，就会形成一种现实的运动。因而，他们也不可能否认，一个悬浮在包围着它的液体各部分之上的物体，倾向于一个方向甚于另一个方向，如果这一液体的性质使它不能凭借自己的阻挡重新消除物体的力，那么物体就获得了一种现实的运动。这必然使他们相信我现在断言的东西，即：一个物体能够从本身处在静止中的物质获得一种现实的运动。
那么，我们将如何避开莱布尼茨先生要通过对上帝智慧的考察给予笛卡尔定律的打击呢？一切都取决于一个物体能够获得一种现实的运动，哪怕是凭借一种处在静止中的物质的作用。我就是以此为根据的。世界大厦中最初的运动并不是由一个被推动的物质的力造成的，因为否则的话它们就不是最初的运动了。但是，只要它们还能够通过一种处在静止状态中的物质的作用而产生，它们就也不是由上帝或者任何一种智慧的直接力量引发的。因为上帝是在不损害世界机器的情况下尽自己所能地避免起作用，相比之下，他又尽可能地使大自然成为积极能动的。如果运动是通过本身是静止的、非被推动的物质的力量首先引入世界的话，那么，它也将能够通过同一种力量保持自身，并且在丧失的地方恢复自身。因此，虽然在物体的碰撞中丧失了某些原来存在于物体中的力，但世界大厦却并不蒙受任何损失；当人们对相信这一点还心存疑虑的时候，必定对怀疑抱有巨大的兴趣。
话题扯远了，偏离了我在这里着力处理的主题，我要重新言归正传。我已经注意到，活力的辩护者们特别对这样一种观察非常自以为是，通过这一观察他们发现：如果按照莱布尼茨先生的定律来测算物体的力，那么在弹性物体的撞击中，力的大小在碰撞前后总是同样的。这种看上去以一种奇特的方式倾向于活力的想法，毋宁说对于我们驳倒活力大有帮助。让我们作出如下的总结：如果按照某个定律，在一个较小的弹性物体与一个较大的物体的碰撞中，碰撞后的力并不大于碰撞前的力，那么，这个定律就是错误的。如今，莱布尼茨的定律就是这样的。如此等等。
在这一结论的前提中，只有大前提需要得到证明。我们想以下面的方式做到这一点。当球体A
撞击一个较大的球体B时，在A实施撞击并压迫我们称为弹力的弹簧的那一瞬间，物体B所获得的力，并不多于它通过自己的惰性在A中所消除的力，而另一方面，物体A由于质量B借助它压紧的弹簧的强度而传递给它的阻力所丧失的力，也不多于它传递给这一球体的力。假如人们要否认这一点，那也就再也不能肯定：传递给一个物体的作用与该物体的反作用是相等的。因此，弹簧被压紧了，而两个物体中力的总和与此前单独存在于球体A中的力是一样的。如果现在这些具有双向弹力的弹簧松开，它们会以同样的强度朝两个球体伸展。显而易见，如果A沿AE方向压迫弹簧之后还具有的力与附属于它的弹簧借以弹开的力同样大，那么，这一弹簧的弹开能够从球体A所夺走的力，就会与另一方面弹簧DB带入B的力同样大；因此，在所有这一切都完成之后，无论是由于碰撞还是由于弹性，在物体A与B中所存在的力，都不会多于此前单独存在于A中的力。然而，以这为前提条件是徒劳的。如果发生碰撞，弹簧受到压迫，那么，A沿AE方向具有与B同样的速度，但是质量较小，因而比弹簧在弹开时释放的力也小；因为弹簧具有一种张力，与球体B的力一样大。由此得知，弹性从存在于A中的力所能够夺取的，不如它传递给物体B的那么多。因为A没有这么多的力，所以也不能从它夺走这么多的力。据此，通过弹力的作用，必定在B中产生一个新单位的力，为此并没有在另一方丧失同样多的力；甚至在A中也同样产生了一种新的力。这是因为，由于弹性在力这方面再也找不到它在A中消除的东西，所以，球体只能以惰性来与它对立，并获得了弹簧超出球体A在自身还具有的力的力量单位，从而向C弹回。
显然，在一个较小的弹性物体撞击一个较大的物体的事例中，碰撞之后存在的力必定大于碰撞之前存在的力。现在，人们却必须设定相反的东西，即如果莱布尼茨关于力的测算是正确的话，碰撞之后所存在的力与碰撞之前同样大小。所以，我们要么必须否定这一定律，要么就取消这一节提供给我们的所有信念。
如果我们把上面的事例倒过来想，假定质量较大的球体B
撞击较小的A，我们就将完全相信现在所说的东西的正确性。因为，首先，球体B通过撞击A所丧失的力，既不多于、也不少于它恰恰由此在A中所产生的力（也就是说，如果我们只考虑弹性爆发前发生的情况的话）。因此，在弹力发挥作用之前，这两个物体中的力既没有增多，也没有减少。如今，弹力以物体A移向C的单位被压紧，它的强度小于B中沿BC方向剩余的力；因此，当它弹开时，它决不会耗尽后者的力，尽管它使尽了自己的全部力量。所以，当在碰撞中被压紧的弹簧弹开的时候，它虽然给予物体A一种新的力，但它也在B中消除了与它传递给A的同样大小的力。因此，即便是由于弹力，整个的力也不会变大，因为在任何时候，被另一方夺走的力都与这一方获得的力是同样多的。
由此我们看到，惟有在一个较大的物体碰撞一个较小质量的物体的情况下，才在碰撞中保持着同样单位的力；而在弹力在一方面所能够消除的力并不与它在另一方面产生的力一样多的所有其他情况下，任何时候碰撞之后的力都大于碰撞之前的力；这就破坏了莱布尼茨的定律。因为在莱布尼茨定律中，在任何哪怕仅仅是可能的情况下，大自然中的力总是保持同样的大小，既不减少、也不增加。
因此，如果莱布尼茨学派能够的话，他们应当向我们展示一种情况，其中一个较大的弹性物体撞击一个较小的物体，并且与笛卡尔的测算相冲突，那样的话，就没有人能够指责什么。因为这样一种情况之所以是决定性的、没有例外的，乃是因为人们在它里面于碰撞后肯定总是发现碰撞前力的全部大小。然而，从来没有任何一个活力的辩护者敢于在这种碰撞中攻击笛卡尔的定律；因为他将必然毫不费力地认识到，力学规则在这里与笛卡尔的测算是完全吻合的。例如，人们可以假定：物体B的质量是3，A的质量是1，B以4个单位的速度撞击A。在这种情况下，根据已知的运动学规则，人们论证道：球体B在碰撞后的速度与碰撞前的速度的比例，正如A和B的质量与其总和的差别一样。因此，它具有2个单位。进一步说：球体A在碰撞后的速度与碰撞前球体B的速度之间的比例，就是2B:（A+B）。因此，A获得了6个单位的速度。这样，根据笛卡尔的测算，碰撞后在两个球体中的力一共是12；碰撞前它也是12。而这，也就是人们所盼望的东西。
如果要测量一个力的量，就必须在它的作用中来追查它。但是，人们必须事先把那些虽然与这些作用结合在一起、但却并不是这里要予以测算的力的结果的现象与此区分开来。
如果一个弹性物体碰撞另一个质量较大的弹性物体，根据运动的定律我们知道，撞击后质量较小的物体以某个单位的力弹回。从上一节我们还知道，较小的物体从较大的物体那儿弹回所用的力，等于激活的弹性的努力超出物体A的力所拥有的那种力的剩余；在弹力作用于两个球体之前，物体A就以这种力与球体B一起沿AE方向移动。如今（按照事先已经证明的东西），只要弹力在物体A中还遇到一种朝向AD的、它在与带给物体A的力同样的程度上消除的力，——我就要说，在两个物体中总的来看，没有任何东西不是此前作为原因仅仅存在于A中的力的那个量已经在自身所包含的；因此，两个物体的状况也就可以看做碰撞前A所具有的力的正常作用。因为这种作用在任何时候都既不大于、也不小于原因。但除此之外我们还知道：如果弹力已经消除了A中朝AE方向还剩下的所有的力，那么，它就给A和B这两个物体带来了新的力，这些力超过了构成球体A本来的全部作用的那些力。因此，如果我们从物体A那儿减去它在碰撞之后用以返回的力，也从球体B所获得的力中减去同样多，我们以这种方式就能够从两个球体的运动中得出上述这种力。由此很容易看出，小的弹性球体从其所撞击的较大球体弹回所用的力是一种否定性的力，本身带有负号。例如，如果一个球体A以2个单位的速度撞击质量为3的球体B时，碰撞之后它以1个单位的速度弹回，并且也给球体B以1个单位。如要获得A所实施的作用的全部大小，就不能把碰撞之后A用以返回的力添加到球体B的力上。不能，必须不仅从物体A中扣除它，而且也从存在于B里面的力中扣除它。剩余的2就将是由球体A的力所完成的全部作用。所以，一个质量为2、速度为1的球体与另一个质量为1、速度为2的球体具有同样的力。
因而，恍然大悟的查泰勒侯爵夫人乐意不合时宜地嘲笑马兰先生
。她回答他的，就是我们刚刚援引的观察：她认为，他不会愿意轻易地作出一种尝试，面对一个带着负号的标记、以500或1000个单位的力回摆的物体。我也这样认为；假如我担心马兰先生会以这种方式来澄清真理，我就是在严重地愚弄自己。不过，事情的关键并不在于像侯爵夫人似乎由此推论的那样，标有负号的力并不是现实的力。马兰先生想说的无疑不是这点。它实际上是一种现实的力，如果人们想检验一下，它也会发挥现实的作用。只是这一点将由此得到说明：无论是这种力，还是球体B与其相等的力中的一个部分，都不能被看做球体A的全部作用；相反，毋宁说人们必须这样来看它，就好像它根本不存在于A中，也不是从B中得来的，冲撞之后余下的力在这种情况下就首先表现为碰撞之前力的全部作用。但是，如果要这样看待一种大小的话，它在相加时被看做是小于无的，因而需要一个否定的符号。
我的读者们现在会猜想，即便是从关于非弹性物体因碰撞而产生的运动的学说中，也可以找到某些证明来引用，莱布尼茨测算的追随者们已经使用过这些证明来为活力作辩护。不过，他们是在欺骗自己。这些先生并不认为这种类型的运动对于他们的观点来说非常有利，于是他们试图将这种运动从研究中完全排除出去。这就使这些正直体面、从事认识真理的智者们在此病魔缠身。可以说，他们在看来与他们已经置入头脑中的定理相冲突的东西面前闭上了眼睛。当问题取决于消除一个妨碍他们所赞成的意见的困难时，一个微不足道的托辞、一个冷漠而平淡的借口就能让他们满意。人们如果在这个部分愿意约束一些自己的话，在哲学中就可以为我们避免许多错误。既然愿意找来知性为了证明人们先前假设的一种观点所提供的所有理由，那就应当以同样的专心和努力去致力于用各种各样只是以某种方式表现出来的证明方法来证明反面的情况，就像人们在对待一个喜欢的观点时总是能够做的那样。人们不应当忽视任何哪怕看起来对反面情况只是稍稍有利的东西，并尽最大努力为它辩护。在知性的这样一种平衡中，通常被看做不可能有错误的观点常常遭到拒斥，而真理如果最终出现，就将更为令人信服。
人们曾常常提醒活力的辩护者们：要澄清活力是否成立，非弹性物体因碰撞而产生的运动比弹性物体的运动更为合适得多。因为在弹性物体的碰撞中，总有弹力混杂其中并带来无尽的混乱；相反，对于非弹性物体的碰撞来说，物体的运动仅仅是由作用和反作用决定的。毫无疑问，由于这种思想的清晰性，只要它不将活力的整个大厦颠覆，莱布尼茨学派就会被说服。
因此，他们不得不把一种例外当做自己的避难所，这也许是人们曾经利用过的最糟糕的避难所了。也就是说，他们宣称：在非弹性物体的碰撞中，总是有一部分力消失了，因为这部分力被用来压迫物体的各个部分。因此，当一个非弹性物体撞击另一个质量相同、处于静止中的物体时，它所具有的力的一半就消失了，在压迫物体的各个部分时耗尽了。
这一想法并不只有一个糟糕的方面。我们来考察它们中的一些。
乍一看，我们马上会觉得发觉这种错误的来源并非难事。部分是凭借经验，部分是凭借自然学说的各种根据，人们知道：一个在碰撞中其形状只有少许改变、甚至根本没有改变的坚硬物体，肯定是有弹性的；相反，非弹性物体的各个部分是如此拼合的，它们在碰撞中变软并被撞凹。大自然一般来说是把这些特性结合在一起的；只不过在数学考察中，我们并不必须把它们联结在一处。
活力的追随者们在此错误百出。他们想象，由于大自然中一个非弹性物体通常具有这样一种结构，即它的各个部分在碰撞中变软并被撞凹，所以，对这样物体的运动的纯数学考察所呈现出的规则在不具备这种特点时也不可能存在。这就是我们在第60节中所见到的那些困难的根源，正如我们现在将要看到的那样，这是完全没有道理的。
在数学中，人们把一个物体的弹力无非是理解为这样一种特性，借助这一特性，当另一个物体撞击它时，它又以后者撞击它的同样单位的力来反弹后者。所以，一个非弹性物体就是一个不具备这一特性的物体。
数学并不关心这种特性如何在大自然中表现出来的方式和方法。但是，弹性是否来自形状的改变或者形状的突然恢复，抑或一种隐秘的隐德来希、一种qualitas occulta［隐秘的质］、或者天知道还有什么原因是它的源泉，这都是并且仍将是完全不清楚的。既然人们在力学中发现是这样描述弹性的，即它产生自一个物体的各个部分的压迫和反弹，那么人们就会认识到，利用这一说明的数学家们插手了与他们无关、与他们的目的毫不相干、本来是自然学说的课题的事情。
据此，如果在数学中对一个非弹性物体的考察仅仅以它自身不具有把一个撞击它的物体又反弹回去的力为前提条件，并且如果这惟一的规定就是非弹性物体运动的整个核心建立于上面的东西，那么，宣称这些运动的规则之所以是这样的，乃是因为相互碰撞的物体的各个部分的压迫允许这样的规律而不允许其他的规律，就是荒唐无稽的了。因为在人们得出这些规律的基本原理中，找不到各个部分压迫的任何迹象。人们将这些规律建立于其上的所有概念就这些限制而言都是不确定的，以致人们可以在不损害上述规律的情况下把在碰撞中其形状没有改变的物体与承受其各个部分被压缩的物体同样看做非弹性物体。如果人们在构造这些规律的时候，为了按照它们来建立运动的规则，完全不考虑这种压迫，或者根本也不以蕴含着这种压迫的这样一些概念为基础，那么，把上述规律在现实中表现出的样子的责任推诿给这些概念，就是非常奇怪的了。
我们已经说过，在数学关于非弹性物体的运动呈现给我们的考察中，也可以把这些物体看做完全坚硬的，就好像它们的各个部分并不被碰撞所压迫似的。大自然还向我们展现出这样的例证，即并非一个物体的各个部分比另一个物体的各个部分更多变软，就必定是非弹性的，相反，一个物体的各个部分由于碰撞与另一个物体相比几乎没有被压迫，但与另一个各个部分更容易变软的物体相比，却常常更少是弹性的。因为，让一个木球落向铺石路面，它远远不会像一个充气的、但却很容易会被压迫的球反弹得那么高，而与后者相比，前者可以被称为非常坚硬。由此我们看出：甚至在大自然中，物体是非弹性的，也并非因为其各个部分被压迫，而只是因为它们没有以它们被压迫的同样单位的力使自己复原。因此，我们也可以设定一些物体，它们的各个部分在碰撞中变软非常少，但同时却具有这样的性质，即它们也不从这一非常小的压缩中恢复自己，或者它们虽然得到一点恢复，但却远远没有以它们被压挤的那种单位的速度恢复；就像如果人们可以将一个小东西与一个大东西进行比较的话，一个木球所表现的那样。诸如我所说的这类物体，或许是完全坚硬的
，但却是非弹性的。因此，人们或许不能将它们当做非弹性物体碰撞规律的例外，而且它们的各个部分或许尽管如此也不会被压挤。在此，莱布尼茨学派先生们的例外情况将如何存在呢？
我们还可以给予莱布尼茨学派他们的前提条件，即非弹性物体总是承受到对其各个部分的压挤，但这对我们没有丝毫损害。一个物体在另一个运动着的、它通过撞击压迫其各个部分的物体中所产生的作用，与它在两个物体之间有一个弹簧、它通过冲力压迫弹簧的时候所产生的作用是一样的。我可以自由地利用这一思想，这不仅是因为它简单明了、令人信服，而且还因为它也为活力的一位伟大的守护神贝努利
先生在同样的情况下使用过。
如果现在一个球体A
向另一个球体B运动，并在碰撞中压迫弹簧R，那么我就说，所有被用来压缩弹簧的微小单位的力，都转入到物体B中，并积聚起来，直到它们将弹簧被压缩所用的全部力都带入上述物体B中。因为物体A并没有丧失任何单位的力，而且一点也不会受到压迫，除非弹簧支撑在物体B上。但是，它支撑在这一球体上所用的力量，等于球体突然消失的时候它向这一面弹开时所用的力，也就是说，是A从另一面压迫弹簧所用的力，是该物体在压缩它时使用和耗尽的力。显而易见，正是弹簧致力于向B伸展、球体B的惰性所反抗的这个单位的力，必然进入球体B。因此，B获得了沿BE方向运动的全部的力，这些力在A压缩弹簧R时在A中耗尽了。
这一应用简便易行。因为弹簧R表示着非弹性球体A和B由于碰撞而被压迫的部分。因此，当物体A在它向B的碰撞中从两方面压迫那些部分时，它在这一压迫中并没有耗尽自己力量中物体B没有得到、使物体B在碰撞之后运动起来的东西。所以，没有一个部分丧失掉，更不用说一个像莱布尼茨学派所错误地预定的那样大的部分了。
要穷尽莱布尼茨学派在非弹性物体碰撞这一事情上想给我们制造的这种困难所包含的所有错误与矛盾，我会疲惫不堪的。我惟一还想列举的，就足以使这一困难失去效力。
即使人们容忍我们的敌手其他的一切，也不可以原谅他们在下述要求中包藏的胆量。这要求就是：在非弹性物体的碰撞中，由于压迫各个部分所消耗的力既不多于、也不少于、而是恰好等于他们按照自己的测算认为甚至在任何情况下都必然消耗的那么多。这是一种难以理喻的放肆：有人想抛开所有的证明而强迫我们相信，由于压迫各个部分，一个物体在与相等的物体的碰撞中必定正好丧失一半的力，在与三倍于己的物体的碰撞中必定正好丧失3/4的力，如此等等，而不能向我们说明为何恰恰是这么多、不是更多或者更少的原因；因为，即使假定一个非弹性物体的概念必然要求在压迫时丧失一些力，我还是不明白，人们究竟是从哪里推论出：弹性的这种阙失要求必定恰好消耗这么多而不是更少的力。莱布尼茨学派却无法否认：与撞击物体的力相比，非弹性物体质量的硬度越小，在压迫各个部分时所消耗的力也就越多；但是，两个物体越是坚硬，力的损失也就必定越少；因为如果它们是完全坚硬的，力就不会有任何损失。因此，如果要在碰撞中恰恰消耗和消除撞击物体的一半的力，为此就要求两个相等的非弹性物体的硬度有某种确定的比例关系。没有这一比例，在人们使相撞的物体变得更软或者更硬之后，结果就会更多或者更少。在莱布尼茨学派寻找例外情况时所违背的非弹性物体运动规则中，非弹性物体的硬度、甚至还有它与撞击强度的比例是完全不确定的，因而从它们出发根本就无法理解：对各个部分的压迫是否会发生，由此一种力是否会被消耗掉以及究竟会失去多少；不过，他们至少提供了一些理由，使人们能够理解，在一个球体与另一个重量相同的球体的撞击中恰好有一半的力丧失掉。因为，在这些物体的硬度与撞击的力量之间如果没有某种完全精确地规定的比例的话，这种情况就不会发生。由于在派生出自身包含着力的一种确定损失的任意一种根据的非弹性物体碰撞规律的基本原理中，不可能发现这样一种规定，所以，这些规则具有这种性质而不是别种性质的原因，就不能设定在对各个部分那种任何情况下所造成力的损失都恰如莱布尼茨学派认为应完全抵消的那么多的压迫中。
在活力的辩护者想借以避开所有非弹性物体碰撞的规律给予他们的打击的托辞不仅以一种方式被认为无效之后，就再也没有什么能够阻挡我们利用这些规律，来达到它们总是非常出色地为我们提供的服务了，也就是说，将活力从其以非法的方式侵入的数学领域中排除出去。
但是，在此详尽地分析非弹性物体的运动取消活力的方式和方法，是多余的。人们所提到的任何一种情况，都可以没有丝毫例外或困难地做到这一点。例如，如果一个非弹性物体A撞击另一个处于静止之中的同样种类、相同重量的物体B时，二者在碰撞之后就会以相撞之前速度的1/2单位运动。因此，按照莱布尼茨的测算方式，实施碰撞后在每一个物体中都有1/4的力，从而总共有1/2个单位的力，而在碰撞之前大自然中存在着1个完整单位的力。因此，有一半的力没有产生与之相等的作用就损失了，或者说，也没有遇到任何会消耗它的阻抗。甚至我们的敌手也不得不承认，这是人们可能做出的最大的荒唐事情之一。
如果不事先附加上一种自身包含着人们以此方式反对活力总会说的一切的一般性考察，我还不想结束用物体的相撞来反驳活力的这一章。在这一考察中，我将阐明：即使人们承认莱布尼茨学派对力的测算，要从物体的相撞出发证明这一测算，也是与事情的本性完全相悖的；而且，除了简单的速度之外，这一测算决不会、也不可能表现出一种别的尺度，尽管按照平方来测算将是一种完全正确的和毋庸置疑的事情。我要说的是，不可能从物体的相撞出发认识这一测算，尽管它通常在千百次别的场合中像人们一直希望的那样明显地表现出来。
我的证明建立在以下理由上。
人们在这一点上是一致的：人们不能为了我们所说的最终目的以任何其他方式来利用物体因碰撞而产生的运动，除非把一个运动着的物体由于碰撞而带给另一个物体的力看做作用，人们必须借助这种作用来测算为产生这种作用而耗尽的原因的量。也就是说，人们是在作用中探求原因的大小，作用就是原因的一个结果。因此不言而喻的是：在此必须特别注意，在被撞击的物体中所得到的力，实际上不外就是由另一个物体的撞击直接产生的作用；因为否则的话，人们所寻找的整个尺度就是骗人的和无用的。但显而易见的是：紧接着撞击物体在被撞击物体中产生其作用的那一瞬间，所有此后在被撞击物体中存在的力都是碰撞的一种无可置疑的作用。因此，人们必须利用这一作用而不是其他东西，把它用作撞击物体在产生作用时所使用的力的尺度。于是，一个借助另一个物体的撞击获得自己运动的物体，紧接着碰撞将力带给它的那一瞬间，而且在它与撞击物体的接触尚不能拉开一个有限距离的时候，虽然已经具有了这一碰撞所能够传递给它的所有的力，只是还不具有现实的运动，因为人们还没有给予它运动的时间，而只是给予它一种单纯的运动努力，从而是一种静止的、以简单速度为其尺度的力。因此，曾存在于撞击物体中的力被消耗掉，从而在另一个物体中唤起一种力，对于这种力的完全准确的测算永远不外是单纯的速度本身，尽管人们还想通过假设在撞击物体中设定一种力，它作为尺度的，我不愿说是速度的平方，而是甚至立方、四次方，天晓得是速度的多少次乘方。
如果人们想设定，一种要求按照平方来测算的力被用于产生另一种仅仅按照速度来测算的力，这将是荒谬无稽的，它将完全颠倒作用与原因相等的规律。这是因为，由于前者比后者大无数倍，所以，这就完全像是人们想说一个平方的全部面积被用于产生一条线，确切地说是产生一条有限的线。因此显而易见的是，无论弹性物体还是非弹性物体，其所有规律都决不能提供另外一种不同于简单速度测算的证明，它们就其本性而言必定总是与活力相悖的，即使人们挖空心思编造出一些表面上看来有利于活力的情况。
在上一节中，一切都取决于下面的情况：人们只是把被撞开物体的那种力当做撞击物体的力的尺度，后者紧接着传递作用的一瞬间就出现在前者中，而且恰在此时它脱离开与撞击物体的接触，但尽管如此，还是在运动已经现实地发生之前；因此，我毫不怀疑，这将是我如今有幸称为我的敌手的先生们最为反对的一点。我愿意能有幸先以下面的陈述答复这些先生。
被撞击物体在它离开撞击物体之前的瞬间所具有的力要么是等于、要么是不等于它在已经现实地运动起来并且离开撞击物体之后所拥有的力。如果是第一种情况，那就连我的限制也不需要；相反，人们可以在任意一个运动瞬间来设想被撞物体的力，但将在任何地方都发现它是符合速度自身的
；因为这种力与它在自己的运动成为现实之前所具有的力是相等的。如果它不等于这种力，那么人们在此想说的无非是：在被撞物体已经离开撞击物体之后，存在于被撞物体中的力大于接触时的力。但如果是这样，我就承认，这正是我不能用它来测算撞击力的原因。因为在被撞击物体中，由于它在碰撞后已经离开撞击物体，如果比原来它还接触撞击物体时在它里面的力多出1个单位，那么，这1个新单位的力也不是撞击物体的作用，因为物体之间只有在它们还相互接触时才能相互作用；相反，只有前一种情况才是这样。所以，人们也可以最正当不过地运用那种力去测算为产生它而已经消耗掉的力。
我们已经成功地克服了物体的相互碰撞可能会给老的笛卡尔定律所造成的困难。我认为，我现在可以大胆地说：莱布尼茨先生的一派从这方面并不会占它的什么便宜。我们要致力于使自己也能够从其他方面为此而自豪。
现在，让我们来考察一下活力的辩护者们为支持自己的测算从物体的复合运动借来的那些事例。糟糕的事情总是具有这样的特征，即它喜欢隐藏在模糊不清、混乱不堪的事例后面；同样，活力一派也想利用人们在考察复合运动时很容易会陷入其中的混乱。我们要致力于揭掉迄今为止惟一有利于活力的这些运动的昏暗盖子。比尔芬格
先生已经围绕这类证明作出了极大的贡献，因而他的思想应当率先成为我们将加以检验的思想。
他的论文刊于《彼得堡科学院评论》第一卷。作为他的整个体系基础的定理如下
：一个物体A同时获得两种运动，一种沿AB方向以速度AB运动，另一种沿与前者垂直相连的方向以速度AC运动，在它分别穿过每一条边的时间里，它运动过这个直角的平行四边形的对角线。但是，指向平行四边形各条边的力并不是相互对立的，因而其中的任何一个都不给另一个造成任何损失，所以，当物体顺应这两种运动，也就是说当它在对角线上运动时，它所拥有的力等于沿着各条边的力的总和。若按笛卡尔的测算，这是不成立的。因为对角线AD总是小于AB和AC两边的总和；然而，除了仅仅在按照二者速度的平方来测算它们的力这一惟一的事例中之外，在所有其他可能的测算中，物体以速度AD所拥有的力永远也不会等于以速度AB和AC拥有的力的总和。比尔芬格先生由此推论说：一个处在现实运动中的物体的力只能用它的速度的平方来测算。
比尔芬格先生在他的证明中并没有完全弄错。他的推论在事情的根本上是正确的；然而，这一推论的应用严格说来毕竟存在着缺陷，并且自身带有判断轻率的特征。
如果人们像通常那样来看待物体沿AC边所具有的运动
，也就是说，物体以这一运动垂直地撞上平面CD，那么确定无疑的是，另外在直线AB中的侧运动就此而言完全不与前一运动相互对立，因为后者是与CD平面平行运动的；所以，它既没有使物体朝向这一平面，也没有使它离开这一平面。同样，就物体以另一条边AB上的运动致力于朝平面BD产生的作用来说，侧运动AC与AB上的运动也根本不相互对立，因为它同样是与平面BD平行运动的。但是由此得出什么结论呢？它不外是：如果物体同时顺应这两个侧运动，并且穿过对角线，那么，它将对平面CD和BD一下子产生与它在分别通过边的运动中所产生的同样的作用。因而，就CD和BD这两个平面来说，物体在通过对角线的运动中自身有一种力，这种力等于沿两个边所具有的力的总和。然而，只有在我曾讲过的这种条件下，在它里面才能发现这一等式。
比尔芬格先生并没有注意到这一条件，尽管他由于自己的证明的本性而应当发现自己不得不这样做。他恰恰是这样作结论的：所以，物体在通过对角线的运动中具有一种等于两个侧力总和的力。
这一如此不受限制地提出的定律正式地接受了与比尔芬格证明中结论的内容相去甚远的一种意义。因为如果有人说：一个具有这样或者那样速度的物体自身就具有这种或者那种力，人们是把它理解为物体在其运动的直线方向上并且朝一个它垂直地撞击的对象施加的力。因此，如果以一种如此有局限性的方式来讨论一个物体的力，那么，人们就必须力图仅仅在这种意义上来规定它的大小；否则人们就是在认为，物体在其运动的直线方向上自身具有某种力，但物体鉴于它所撞击对象的某个位置却只能将这种力施加到一边。无视这一点的比尔芬格先生由此便遭受到fallaciae ignorationis elenchi［盲目论证错误］的指责。因为他已经离开了有关争论问题的内容，他本应当证明：物体在穿过对角线的运动中将碰撞一个与它的这种运动方向垂直相对的对象，所用的力相当于它通过分离的侧运动撞击到它下面的两个平面所用的力的总和；但他却证明：物体虽然施加了这些力的集合，但只是朝向CD和BD两个侧平面，而不是朝向恰与其运动相对的垂直面。
因此，一切都仅仅取决于我的如下证明：一个沿对角线AD运动的物体，本身在笔直方向AD上并不具有两个侧力的总和。为此我需要做的不外是：就像数学家通常所做的那样，把每一个侧运动都看做是复合的。
据此，侧运动AB是由运动AF和AH复合而成的，相反，侧运动AC是由运动AE和AG复合而成的。由于如今无论是运动AF还是运动AE，都恰好是相互对立的，从而由于彼此相等而互相抵消，所以，剩下来的就只有物体在对角线方向上继续移动所用的速度为AH的运动和速度为AG的运动了；所以，并不是两个侧运动全部的力都存在于对角线方向上，而是在这个角度只能发现其中的一部分。此外，由于运动AF和AE本来就与物体在对角线运动中垂直撞击的BH平面平行运动，所以这两个运动中没有一个能碰到它，因此，无论是从这一点还是从前面一点都可以看出，物体并不是用AC和AB边上的力的总和撞击与它通过AD的运动垂直相对的对象的。
现在，一切都得到了解决。因为从现在起我们知道：一个物体在沿对角线向一个垂直相对的对象运动时，并没有施加它以自己朝着同样与它垂直相对的平面所做的两个侧运动所拥有的两个侧力的全部总和。由此必然得出结论：在穿过对角线的运动中，力小于两个侧力的总和；因此，一个物体的力不能按照其速度的平方来测算，因为以这种测算方式必然会发现事实上不能发现的上述等式。
我们不想仅仅满足于此。我们并不惧怕比尔芬格先生的推论，相反，我们更愿意利用这些推论来证明笛卡尔的定律。一件好的事情本身总是具有这样的特征，即甚至敌手的武器也必定有利于为自己辩护，而且我们不止一次看到，我们的推论也可以自夸具有这样的优点。
按照现在已经证明的东西，侧运动AB带入对角线方向上的不是别的速度，而是物体在分离的运动中与BH平面垂直相遇所用的速度AH。此外，另一个侧运动AC独自带入对角线方向的也只是物体垂直撞击CG平面所用的速度AG。AH和AG这两种运动自身所携带的力如今复合成为对角线上全部的力，所以没有出现在前两者中的，也不会存在于后者中；因为否则的话，在和中所包含的就会大于两个加数的相加。因此，速度为AD的力就应当等于速度为AH的力加上速度为AG的力；问题是，必须选取AH、AG和AD的多少次幂，才能使前两者的和与后者相等。在这里，从算术最简单的理由就可以清楚地看出：如果人们想要通过线段AH、AG和AD的一个大于一次方的乘方来测算各种力的话，那么，速度为AD的物体以这种方式测算出的力就会大于速度为AH和AG的力的总和；但是，如果人们要选取一个比简单速度的函数更小的函数（像比尔芬格先生自己所说的那样），那么，各个分力的集合就会大于整个由此产生的、以速度AD为标记的力；相反，如果一切都仅仅按照速度来测算的话，将会发现它们是相等的。由此可见，人们必须要么按照速度AH、AG和AD的比例来设定力，要么承认这一集合小于或大于各个因数的相加。
我们也可以用另一种方式来说明同样的东西。我们像比尔芬格先生那样假定：由于两个速度分别为ba=AB和ca=AC的相等球体的碰撞，侧力AB和AC被传递给了物体a
，这两个同时发生的推动造成了穿过对角线的运动和力。但是，由于这是一回事，我们想假定这两个球体从C和B离开并以速度CD=ba和BD=ca在D点与物体a相撞。不可否认的是，物体a在这个位置上从上述球体将获得的力，与它在A点能够获得的力同样多；位置根本不造成任何差别，因为所有其他的东西都是一样的。因此问题是：球体a在D点上从BD和CD对垂直平面FE同时发生的两个撞击中获得了怎样一种力？我的回答是：球体B以运动BD就对这个平面的作用而言所给予物体a的，本来也只是速度BE，而从速度为CD的球体C的撞击中，同一物体A只获得了它用以在D点上对平面FE起作用的速度CF。因为a此时从这一双重碰撞中所获得的另外两个运动Bg和Ch是与平面平行的，因而它们并不与这个平面相遇，而宁可说它们相互抵消，因为它们相互对立又大小相等。所以，两个侧力BD和CD，或者说AC和AB也一样，就物体沿对角线运动垂直遇到的平面而言给予物体的这样一种力，只是等于速度为BE和CF的力的总和；因而首先它不是它们全部的力，其次它是这样一种力，关于它这里和上一节一样显而易见的是：它与复合成它的那些力的比例，等于速度AD与速度CF和BE的比例，而不与它们的平方成正比。
我们从迄今为止的考察中看到：如果人们假定，在对角线运动中沿平行四边形的各边施加的力总起来等于对角线方向上的力，那么由此得出的结论就是，人们必须按照速度的平方来测算这些力。然而，我们同时已经证明：这种假定是错误的，并且一个物体在斜线运动中施加的作用，直至它在其中所有的力消耗殆尽，总是大于它通过垂直碰撞所造成的效果。
这一考察具有一个悖论命题的外观。因为由此可以得出，对于某些以一种特殊的方式与它相对的平面来说，一个物体能够施加的力要比人们假定它本身具有的力更大。因为人们所说的一个物体所具有的力，与它通过垂直撞向一个无法克服的障碍所用的力是一样多的。
由于以形而上学的方式解决了这一困难，我们毕竟可以无忧无虑了；因为无论事情是怎么样的，数学总是要作出判决的，而在数学作出判断之后，人们就不会再怀疑了。
从对运动的分解中可以清楚地看到：当一个物体沿斜线方向相继朝许多个平面撞击时，如果所有Sinuum angulorum incidentiae［入射角的弦］的平方的总和等于其运动的第一个速度所指示的Sinus totius［整弦］
的平方的话，那么它将完全失去自己的运动。迄今为止，所有的力学家都意见一致，笛卡尔学派也不例外。然而对于莱布尼茨学派来说，却尤其是由此得出了如下的结论：如果使按照平方进行的测算成立，当沿斜线方向施加的力加起来等于直线运动中物体固有的力时，这一物体就失去了它所有的运动。与此相反，按照笛卡尔的测算，情况就完全不同。物体通过许多前后相继的碰撞在斜线方向上施加的力，直到它所有的运动被耗尽，按照笛卡尔的测算，加起来要比它在直线运动中拥有的那一惟一未分解的力大得多。因此，当在分解开的运动中施加的所有力的总和与其整个未分解的力相等时，物体还没有失去自己的运动。因为一个物体对多个斜面所能够造成的结果要远远多于对它在直线方向上垂直碰撞的那个平面所造成的结果，而且达到如此程度，以致（如果人们假定，碰撞的斜度都以同样的角度发生在所有的斜面上）在此为借助一个斜对的障碍消耗掉一个物体的力所必需的力的大小与在直线方向抵消它的那种力的大小的关系，就等于整弦与入射角的弦的关系。
因此举例来说，如果整弦与一个入射角的弦的比例等于2∶1的话，那么，前一种力就是后一种力的2倍；如果是8∶1的话，它就是8倍；如果这个比例是无限小的话，那么，前一种力就无限大于足以在直对的方向上消耗掉它的全部运动的障碍的力量。因此，按照莱布尼茨的测算，某种障碍会完全夺去一个物体的力，而按照笛卡尔的测算，同样的障碍在同样的方向上消耗该物体的力只能是无限小的；也就是说，如果移动物体已经克服的所有障碍的全部力量是有限的，那么，无论物体是在怎样任意倾斜的运动中克服这些障碍的，按照平方来测算，该物体力的损失也是有限的；相反，按照速度来测算，一个物体所施加作用全部的力可以是有限的，但只要它克服所有阻碍的那个角是无限小的，物体力的损失也就是无限小的。
这种区别令人惊讶。在大自然的某个地方必然有一种作用；无论它在哪里，都值得花费力气把它找出来。因为它的结果不仅仅是人们可以决定一个物体在一个直角平行四边形的对角线上的力是否等于各个侧力的总和，而且还能够决定是莱布尼茨先生的测算正确，还是笛卡尔的测算正确；因为这一问题是与另一个问题不可分割地联系在一起的。
我们所寻找的事例是一个物体被自己的重力引向中心、围绕中心在一个圆周线上的运动（行星运动就是这种方式）。
让我们假定一个物体获得了足够的离心力，足以围绕地球做圆周运动。除了重力之外，还让我们抽象掉所有可能减缓其运动的障碍；这样，可以确定的是：首先，它的运动速度是有限的；其次，该速度以同样的单位在同一条线上没有任何减损地持续到无限。我将这两条定理看做是基础；因为无论是莱布尼茨学派还是笛卡尔学派，两派都赞同这两条定理。此外第三点，我设定为基础的是：重力在一个自由运动的物体中在一个有限的时间里产生了一种有限的力，或者，当物体固有的力与重力用以施加压力的力作用相互对立时在其中消耗掉一种有限的力。这个假定围绕给定的中心做圆周运动的物体不断地遭受重力的压迫，并且根据第三条假设，由于所有无限小的重力压迫的总和而在一个有限的时间里承受着一个驱使它趋向其环绕运动中心的有限的力。然而，物体凭借自己特有的力，通过总是与圆心保持同样的距离而使所有在它里面发生的压力保持平衡。因此，在克服重力的障碍方面，物体在任一有限的时间里都施加着一个有限的力。从我们在第79节已经了解到的东西出发可以清楚地认识到：如果一个物体在斜线方向上已经克服了一定量的障碍，这些障碍总计为一个有限大小的力，那么，它在此同时（如果人们承认莱布尼茨的测算的话）必定在自己固有的力上蒙受一个有限量的损失。所以，由于克服重力，假定的物体在其圆周运动的任一时间里都损失一个有限的力，从而在某一确定的时间失去它的所有的力与速度；因为，根据第一条假设，它在圆周运动中所拥有的速度只是有限的。
因此，它要么根本不能做圆周运动，除非它具有无限的速度，要么必须承认：一个物体通过所有斜线作用的总和所能够造成的结果无限大于它在直线撞击中所拥有的力；莱布尼茨学派的力的尺度不承认这一点，是错误的。
由于我们在这里阐述的思想会带来非常丰富的结果，所以我们想排除所有围绕着这一思想的小难题，尽可能使这一思想清楚明白、没有纰漏。
首先，人们必须学会清楚地理解，运动着的物体在圆周运动中用以与重力保持平衡的力，施加了一种斜线作用，并且如我们在上一节中确实指出的那样，可以与一个物体撞击一个斜面相比。
正如人们在数学中通常也把圆看做是一个具有无限多条边的多角形一样
，为了这一最终目的，可以把物体在其圆周运动中经过的无限小的弧设想为无限小的直线。当重力没有给穿过无限小的直线ab的物体造成任何阻碍的时候，这一物体将继续这一运动的直线方向，并在第二个无限小的时间段里到达d。然而，由于重力的抵抗，它被迫离开这一方向，并画出无限小的线be。因此，重力的这种障碍per resolutionem virium［通过各种力的分解］使它失去了侧运动ac，后者是由落到延长至c的线段bd之上的垂直线ac来表示的。所以，物体由于重力的障碍而在点b上承受着与它从自己以角abc撞击的平面cd所承受的同样的抵抗；因为这个平面给它造成的障碍在这里同样是由小的垂直线ac来表示的。所以，人们完全可以把一个物体在其圆周运动中对把它向下拉的重力施加的力与它对斜面的撞击相比，也可以用测算后者的同样方式测算它。如例所示。
其次，第80节中所假定的我们证明的第三个基本定理似乎还需要作出一些证实；至少当人们与这样的敌手打交道时，就最显而易见的真理而言还不能足够谨慎；因为关于活力的争论已经充分地向我们证明：就某些意见而言的党派性可能是多么强大和受人欢迎，甚于真理不加掩饰的力量，人类的知性自由又伸展得如何辽远，直至在最显而易见的真理面前还要满腹狐疑，或迟迟不作判断。
自由运动物体的重力在每一个给定的有限时间里也产生了一种有限的力，鉴于这样一条定理，我本来可以援引第32节；然而，这条定理在活力的辩护者们那里已经有了自己的敌手，最好是用他们自己的武器来打败他们。假定在其圆周运动中在一个有限的时间里穿过af弧的物体，接受了它在整个有限空间af中不断地蒙受的所有重力弹簧的压力。如今，甚至按照莱布尼茨学派所承认，存在于某个有限空间中的具有重力材料的弹簧连续地把自己的压力传递给一个物体，并传递给它一个有限的力，因此，等等。
据此，如果与直角平行四边形各边的平方成比例地测算在分离的运动中施加的力，那么，这种力的存在就根本用不着物体做圆周运动的最众所周知的规律以及造成这种运动的向心力。所以，在任何一种复合运动中，侧力都并不像莱布尼茨的测算所要求的那样，与其速度平方成比例；也正因为如此，结论也就是人所共知的：按照平方进行测算是完全错误的；因为，从力学首要的基本学说可知，任何一种运动都可以被看做复合的。
还必须注意，笛卡尔对力的测算是如何出色地消除莱布尼茨的测算如我们现在看到的那样所遇到的困难的。
从数学中可以得知，与无限小的弧ab的对弦bi平行且相等的短线ac
是一个第二等的无限小，因而小于无限短的线段ab无限多倍。但是，ac是物体在其圆周运动中时时处处用以对重力的压迫产生反作用的角的弦，而ab作为物体绝对运动自身的一个无限小的部分，则是其整弦。但从前面证明过的第79节中可以得知，如果一个物体在斜线运动中如此作用于某一障碍，以致从整弦来看入射角的弦完全是无限小的，那么，按照笛卡尔的测算，由于障碍而失去的力与所有被克服的障碍的全部力量相比就是无限小的。所以，物体在对重力的所有克制的全部总和中克服一个无限大的力之前，它在圆周运动中不会由于重力的压迫而损失一个有限的力。但是，经过一个有限时间的所有重力压迫的总和只是一个有限的力（第80节，第3条假定），因而并不是在过去一个无限的时间之前有一个无限的力；所以，围绕一个被自己的重力引向的中心作圆周运动的物体由于重力的障碍只是在一个无限的时间中损失一个有限的力，从而在任何一个有限的时间里所损失的都是无限少的。与此相反，按照莱布尼茨的测算，在同样的条件下任何有限时间内的损失都将是某种有限的东西（第80节）；因此，笛卡尔的测算在这种情况下并没有遇到莱布尼茨的测算如我们已经看到的那样总要遇到的困难。
我们现在对活力已经作过的反驳同时在按照平方对力进行的测算中揭示了一种奇特的矛盾。由于每个人都同意，按照速度自乘的直角三角形来测算的力肯定比仅仅由速度的简单尺度表示的那种力具有无限更多的力量，它与后者的关系就是面与线的关系。然而这里表现出来的正好相反，也就是说，在我们已经看到的两类力被设定为在完全相同的条件下起作用的事例中，莱布尼茨的测算要无限地小于笛卡尔的测算，并且被无限少于后者的障碍消耗掉；这是一个不可能设想得更大的矛盾。
对复合运动中与简单运动中存在着同样大小的力的普遍原理的摧毁，同时也就推翻了活力的辩护者们建立在同一基础之上的事例。
沃尔夫先生在其力学中所援引的贝努利的事例
就是这些事例中最引人注目的事例之一。他假定有4个弹簧，它们全都需要同样的力才能被压紧。此外，他让一个具有2个单位速度的物体以其弦为1的30度角垂直撞击第一个弹簧，之后让它用剩下来的运动以其弦同样为1
的角度垂直撞击第二个弹簧，并如此这般撞击第三个弹簧，最后撞击第四个。现在，这个物体压紧了每一个弹簧；因此它以2个单位的速度施加了4个单位的力；所以，它早已具有了这种力，因为否则的话，它就不可能施加它。由此看来，这一物体的力并不与其速度2成正比，而是与其速度的平方成正比。
我并不要求断言：一个具有2个单位速度的物体在任何条件下都不能施加4个单位的力。然而，它只有在斜线撞击中才能施加这种力，并且我们已经充分证明了，它在直线撞击中的力任何时候都只等于2，而它在斜线运动中的力总是大于它在垂直运动中的力。但是，每一个人都是按照在垂直撞击中出现在物体里的力量来测算一个物体的力的。因此，笛卡尔一方相对于活力学派的优越之处，就在于这一类作用，它没有任何含混性，所有的敌手都同意它就是力的真正尺度。
最终建立在运动的复合之上的，还有一个人们可以称为我们敌手们的阿基里斯的事例。
先生对赫尔曼
事例提出的反对意见
这一事例在于：一个质量为1、速度为2的物体A，以60度角突然撞击两个质量均为2的物体B和B。撞击后，撞击物体A处于静止状态，而物体B和B每一个都以1个单位的速度运动，因而二者总共是以4个单位的力运动。
马兰先生已经非常清楚地认识到：力的测算如果是正确的，就必须毫无差别地在所有的、任何的条件下表现出来；而说一个特殊的、只有局限于特定条件下的事例会证明一种新的测算，这是十分奇怪的，也是自相矛盾的。莱布尼茨学派任何时候都大胆地要求：如果一个物体施加4个单位的力，那么，无论以怎样的方式，人们总是能够肯定地说，该物体即使是在垂直方向上也将施加同样的力。然而，在当前这一事例中显而易见的是：一切都取决于一定数量应被推动的元素，取决于这些元素相对于撞击物体的一定位置；因此，如果这些规定发生变化的话，情况就会完全不同；所以，如果人们作出结论说，物体在这些条件下施加了这种或者那种力，从而也必定（根本谈不上任何限制）具有这种或者那种力，而且只要人们愿意，也在垂直作用中释放出这些力，那么，人们就是在自己欺骗自己。
我现在只想致力于把马兰先生在回答查泰勒
夫人于其自然学说中对他提出的异议时用以反对赫尔曼事例的想法的意思表达出来。然而我觉得，借助于我们迄今为止在力的复合与分解方面所说明的东西，整个事情将能够得到更为简明和更为令人信服的解决，而且它绝大部分也已经由此得到了解决；因此我相信，通过联系我在此提请注意的东西，本文的读者很容易使我免除作进一步详尽的阐述。
马兰先生是笛卡尔的辩护者们中间惟一一位通过对莱布尼茨学派将力的一种新测算建立于其上的理由进行选择而作出一些考察的人；然而，他也只是在我们于上一节里面已经提到的惟一事例中这样做的。粗看起来，这类研究似乎意义不大，然而实际上，它却像艺术中任何一种哪怕是仅仅可设想的方法一样，具有极其出色的益处。
人们必须具有一种方法，借助它，通过对某种意见建立于其上的基本原理所作的普遍思考、通过将这些基本原理与从它们得出的结论进行比较，人们在每一个事例中都可以得知，前提的本性是否也包含了就由此推导出的学说而言所要求的一切。如果准确地说明依附于结论本性的那些规定，并且清晰地注意到在建构证明的时候是否也已经选择了局限于蕴含在证明中的特殊规定上的那些原理，就会出现这种情况。如果不是这样做的，那么，即使人们还不能揭示错误究竟何在，即使这一点可能永远不为人所知，人们也只会确信，以此种方式尚有缺陷的推论没有证明任何东西。因此，例如，我从对弹性物体运动的普遍思考得出结论：通过物体的相互碰撞而产生的现象不可能证明一种不同于笛卡尔对力的测算的新测算。因为我记得，所有这些现象都被力学家们连同弹性一起从质量与速度的乘积的惟一源泉中排除掉了，对此，人们可以向莱布尼茨学派展示上百次检验，它们都是由最伟大的几何学家所做的，并且人们无数次地看到这些伟大的几何学家们以自己的赞同来证实它们。所以我的结论是：仅仅由按照速度的简单尺度来测算的力所造成的东西，除了从按照速度进行的测算出发之外，不能从其他任何测算出发作出证明。我原本还不知道，究竟在何处去寻找莱布尼茨学派关于弹性物体相互碰撞的推论中的错误；但在我以上述方式证明，无论多么隐蔽，在这些推论中的某处一定隐含着一个错误的推理之后，我全神贯注地查找它，而且我认为，我曾在不止一处遇到过它。
一言以蔽之：这整篇论文可以被看做是这种方法的一个产物。我想坦率地承认：我相信，我现在完全把握住了赞同活力的所有那些证明的弱点；但一开始的时候，我把它们看做是如此众多的几何学证明，我在其中设想不出哪怕极微小的错误，而且如果对莱布尼茨先生的测算得以确立的那些条件所作的普遍思考没有给予我的观察提供一种迥然不同的推动的话，我或许永远也不会发现一处错误。我看到，运动的现实性是这种力的尺度的条件，它构成了人们不应当像测算追求运动的物体的力那样来测算推动物体的力的真正原因。然而，当我思考这一条件的本性时，我轻而易举地认识到，人们可以把它与惰力的条件归为一类，它只是在大小上与后者有区别，而不可能具有一种结果与惰力条件的结果完全不同，并且虽然作为这一结果之原因的条件被设定得如此接近另一条件，以至于几乎与之混杂起来，却依然与后者保持着无限多的区别。所以，我以一种不亚于几何学的确定性认识到：运动的现实性并不能是充分的根据，使人推论出物体的力在这种状态下必然与其速度的平方成正比，因为在一个持续时间无限短的运动中，或者换句话说也一样，在对运动的单纯追求中，物体的力不以速度之外的任何东西为尺度。由此我得出结论：如果数学仅仅把运动的现实性作为按照平方来进行测算的根据，除此之外什么都不用，那么，其推论必定是非常不恰当的。由于对莱布尼茨所有的证明都抱有这种持之有据的怀疑，我抨击这种测算的辩护者们的推论，以便除了从现在起知道在它们里面必定存在错误之外，还知道这些错误存在于何处。我自忖，我的计划并没有完全落空。
人们如果在任何时候都致力于这种思维方式，那就能够在哲学中避免许多错误，至少它会是早得多地摆脱这些错误的一种方法。我甚至要大胆地说：错误对人类知性有时持续数百年之久的专制主要来自缺乏这种方法或者与它关系密切的其他方法，因而为了今后防止那种弊端，从现在起人们要与其他方法相比更关注这种方法。让我们来证明这一点。
既然人们相信借助于某些在某处隐含着一个非常明显错误的推论已经证明了某种观点，在此之后除非首先发现其中隐含的错误，否则就没有其他办法来认识这一证明的无效性；因而既然在能够说证明中存在着一个错误之前，必须事先就知道是一个什么样的错误使证明被摈弃，既然像我所认为的那样除此之外没有其他方法，那么我断言，错误将很长时间未被揭穿，在骗局真相大白之前，这一证明仍会无数次地蒙骗人。原因如下。我假定，如果在一个证明中出现的定理与推论都是显而易见的，本身就具有人人皆知的真理的外观，那么知性就会赞同这一证明，而不会去在它里面花费心力没完没了地查找一个错误；因为在这种情况下，就知性因此而产生的确信而言，证明就如同一个具有一种几何学的明晰性与正确性的证明一样有效，而隐藏在推论中的错误由于未被察觉，就好像在证明中根本不存在错误似的，从而也不会产生减低赞同的作用。因此，知性要么永远也不赞同一种证明，要么当它在证明中没发现任何看起来像是错误的东西，也就是说，即便证明中有一个错误它也猜想不出的时候，就必须赞同这一证明。因此在这样一种情况下，知性从来不会付出特别的努力去查找一个错误，因为它没有这样做的动因；所以，这一错误将只会借助一种幸运的巧合表现出来，从而在被发现之前，一般说来将很长时间依然隐而不露；因为这种幸运的巧合可能很多年、甚至通常是数百年也不会出现。这差不多就是作为人类知性的耻辱持续许多时代、此后一种非常简单易行的考察就揭穿了的那些错误的最主要根源。因为隐藏在一个证明中某个地方的错误初看起来很像人所共知的真理，因而证明也被看做是完全清晰明确的，人们不会猜想其中有任何错误，当然也就不会去查找错误，人们只是以巧合的方式才会发现它。
由此可以轻而易举地得出：应在何处寻找秘密，什么可以预防这一困难，什么有助于我们揭示人们所犯的错误。我们必须掌握从前提出发猜测以某种方法建立起来的证明就结论而言究竟是否包含着充分和完备的基本原理的艺术。以这种方式我们将得出，在证明中是否肯定存在着一种错误，即使我们没有在任何地方发现它，但是我们随后会考虑查找它，因为我们有充足的原因去猜想它。所以，这将是一堵防止那种危险的赞同意向的城墙，没有这种动因，赞同会使知性的一切活动远离对于一个对象的研究，因为它根本找不到怀疑和不信任的理由。这一方法已经在第25、40、62、65和68节中帮助过我们，它还将继续为我们效力。
倘若有人想把这一方法解说得更清楚一些，并指示出其运用的规则，这将是一项效益不菲的考察；然而，这种研究方式并不属于这篇论文本来应当完全具备的那种数学的权限。但是，我们还是想在对从运动的复合中借来的有利于活力的那些推论的反驳中说明对其有用性的一种检验。
惰态的压力，例如沿斜线方向画出一个交点的重力，在其复合中如果这些方向包含了一个直角，那么其初始速度也是由作为一个直角平行四边形的各边的线段来表示的，由此产生的压力则由对角线来表示。虽然在这里对角线的平方同样等于各边平方的和，但决不能由此得出结论说：复合的力与各简单的力中的一个的比例等于表示初始速度的各条线段的平方；相反，世上所有的人都一致认为：尽管如此各个力在这一事例中仍然只处在速度的简单比例中。如今，仍像借助数学所设想的那样以现实运动的复合为例，并把它与数学进行比较。构成平行四边形各边与对角线的各条线段无非是沿各方向的速度，与惰态压力的复合的事例中完全一样。对角线与各边的比例与它在后者中的比例一样，而且角也是同一个角。因此，注入复合的现实运动的数学观念中的那些规定，与人们在同一科学中用以表达惰态压力的复合的那些规定没有什么不同。所以，既然从后者得不出按照速度的平方对力进行的测算，从前者就也不能得出它来；因为它们是同样的基本概念，所以它们也就拥有同样的结论。人们还会反对说：在它们之间确实可以发现明显的差别，因为人们假定，它们中的一种是现实运动的复合，另一种则只是惰态压力的复合。然而，这种假定是空洞无用的。它并不一起进入构成定理的那些基本概念的方案，因为数学并不表达运动的现实性。作为考察主题的各线段只是表达各个速度间的关系。所以，对于运动现实性的限制在此只是一个死的、多余的概念，它只是被顺便想到的，从它出发在数学考察中产生不了什么结果。由此得出，从复合运动的这种探究方式中推不出任何有利于活力的东西，反而必定是某种我们现在并不想谈论的混杂的哲学结论。以这种方式，凭借我们受到称赞的方法，我们认识到，从运动的复合出发对活力作出的数学证明必定是不正确的、充满错误的；但我们还不知道这是些什么样的错误，然而我们毕竟有一种持之有据的猜测，或者毋宁说是某种确信，即它里面肯定有错误。因而，我们可以不怕麻烦地去认真寻找它们。我已经使我的读者们摆脱了这种麻烦，因为我认为自己已经找到了这些错误，并且在刚刚过去的几节中指出了这些错误。
最后，对于比尔芬格
先生想针对自己的敌手能够对他提出的责难来保护自己迄今为止已被我们驳倒的结论所用的所有吹毛求疵的辩解和区分之死结来说，我们的方法还是一把利剑。对于我们来说，能够斩开这个死结大有好处，因为否则的话，解开这个死结是要大费力气的。
比尔芬格先生非常清楚地注意到：人们将责备它说，他的证明倘若是正确的，就必须也为惰态压力的复合证明同样的东西。但是，他已经从这方面凭借他善于作出的错综复杂的形而上学区分之堡垒来设防了。他注意到：惰力的作用必须借助强度与其所选路径的乘积来测算，而这一乘积又是由这一线段的平方来表示的；因此，人们虽然可以向笛卡尔学派承认：在惰态压力的复合中各种作用是相等的，然而并不能由此得出结论说，各个力由此也必定是相等的。他补充道：in motibus isochronis solum actiones sunt ut vires,non in nisu mortuo［只有在等时运动中，活动才与力成正比，在惰态支撑中并非如此］。在一场数学争论中，形而上学研究起着一种特殊的作用。数学行家相信，他并不擅长这种吹毛求疵的辩解，即便他没有能力解决它，离由此而犯错误也还相去甚远。他沿着几何学的导线继续前进，所有其他的路径对他来说都是可疑的。在对待比尔芬格先生的借口时，几何学家们同样是如此行事的。据我所知，还没有人与他为伍使用这些武器。人们通过事先的深思熟虑而免除了这一辛劳；因为，一种形而上学的研究，尤其是一种如此错综复杂的综合性的研究，还总是向四面八方留下无数避难所，让敌手中的某一个能够躲避，别的人却不能追捕他或者把他抓出来。我们已经做得很好，一开始就从比尔芬格先生自己承认惟有数学才作出断言的那一方面来进攻他的推论。然而，正如我说过的那样，借助于我们的方法，即便这些区分还隐藏在如此无法穿透的阴霾笼罩之下，我们也掌握了它们。
在此问题主要是：比尔芬格先生的区分是否能够使他从现实运动的复合中对角线与各边线段的比例出发所作的有利于活力的数学证明有效，或者，这一数学证明是否尽管这一切仍不能提供对新测算的任何保护。这本来就是争论的焦点；因为如果比尔芬格先生的大厦只是建立在形而上学的基本原理之上，没有得到运动之复合的数学概念的支持，那么，即便我们不从事这一章的研究，它的意图也已经为我们作了辩解。但是，从人们同样在惰态压力的复合中推导出对角线速度与边线速度的比例的同一理由出发，在现实运动的复合中这一比例也得到了证明。事实的确如此，即便在复合的现实运动中所发现的性质和规定无异于惰态压力中的性质和规定，因为这可以得到充分的证明，除了在复合的惰态压力中也必须作为前提条件的东西之外，人们为此不需要任何别的东西。因此，从现实运动中对角线速度的比例不能得出结论说：复合的力必定具有不同于惰态压力的本性与测算方式；因为，即使复合的力的本性与惰态压力根本没有区别，同样的比例也依然出现，因为要证明这一点，除了在此也需要的那些理由之外，人们并不需要别的理由。比尔芬格先生想利用这些理由，从中得出结论说这些力不是与速度成比例，而是与速度的平方成比例，这是白费力气。
据此，这位哲学家所运用的形而上学区分或许能提供让进一步的哲学思考会从中得出有利于活力的一些理由的东西；然而，要弘扬我们所说的那个数学证明，这些区分还是不充分的，因为那个证明仅就其本性而言，就已经使人们想由此得出的规则所要求的东西不确定了。
在我们已经向活力的辩护者们指出所有这些不同的错误证明类型之后，我们终于遇到了以活力之父莱布尼茨先生自己为首创者、并且也表现出他的洞察力特征的那个证明。他首先借解决修道院长卡特兰
的责难之机在《教育者年鉴》
[1]
上将该证明公之于世。此后，每当他想阐发自己对力的测算时，他都特别地援引这一证明，因此我们要把它看做是活力的主要支柱并予以清除。
一个质量为4的球体A [2] 在一个高度1AE为1的倾斜曲面上从1A下落到2A，并以它通过下落获得的单位为1的速度在水平面EC上继续运动。此外人们设定：它将自己具有的全部的力都传递给一个质量为1的球体B，在此之后它停在点3A上。如果质量为1的球体B的力应当由此与具有4倍质量和1个单位速度的球体A所拥有的力相等，那么，球体B会从球体A那里获得怎样的速度呢？笛卡尔学派说：其速度必定是4倍。因此，物体B以4个单位的速度在水平面上从1B运动到2B，在它于此同倾斜曲面2B3B相遇后，将沿此倾斜曲面向上运动，并因此而在它上面凭借它拥有的速度达到其垂直高度3BC为16的点3B。人们进一步假定一个倾角台秤3A3B在点F运动，它的一个秤臂F3B长达4倍于另一个秤臂3AF多一点，尽管如此它们相互仍保持着平衡。现在，如果物体B达到点3B，并在那里登上台秤的秤臂，那么显而易见，由于秤臂F3B与另一个秤臂3AF之比大于3A的球体质量与3B的球体质量之比，所以平衡被打破，物体B从3B下降到4B，同时球体A从3A上升到4A。但是，高度4A3A差不多是高度3BC的1/4，也就是说为4；因此物体B以此方式将球体A推升到差不多4倍的高度。只要借助简单的力学技巧就能够做到：球体A从4A重返1A，并以其通过回落所获得的力施加某些力学作用，但此后再次从点1A沿斜面1A2A下落，将一切置入先前的状态，也像以前一样把自己所有的力传递给可以凭借平面2B4B难以察觉的倾斜而重返点1B的球体B，并再次重复所有这一切。莱布尼茨先生继续推论说：因此，从笛卡尔的力的测算可以得出，只要人们利用一个物体的力，它就会无限地产生越来越多的作用，推动机器、压紧弹簧、克服障碍，它进一步不间断地做到这一点的能力不会有所损失；因此，作用会大于其原因，而所有力学家都认为荒唐无稽的永恒运动是可能的。
这一证明是活力的所有辩护中惟一一个其显明能够使人原谅莱布尼茨学派在其测算的辩护理由方面表现出的草率的证明。贝努利先生、赫尔曼先生和沃尔夫先生没有说过任何在发明与明显的实力方面可以与它媲美的话。如果不是甚至引诱莱布尼茨先生去犯错误的想法对于他来说也必定是值得赞扬的，一位像他这样伟大的人物是不会犯错误的。对于这一证明，我们想说的是维吉尔笔下赫克托自诩的话：
…Si Pergama dextra
defendi possent,etiam hac defensa fuissent.
Virg.Aeneid.
［……如果能用我的右手保卫佩尔加姆的话，
它就会得到我的右手的保卫的。
维吉尔：《伊尼特》］
我想简明扼要地表述我对于这一证明的判断。莱布尼茨先生不应当说：球体A在借助台秤被提升到4倍的高度4A3A，并从4A重新返回斜面1A，但此前曾施加过力学的力之后，其回落无论看起来如何，都是传递给球体B的力的一种作用。如我们马上就会看到的那样，所施加的力学的力虽然是机械装置中借助传递给B的力引发的一个后继状态，但尽管如此，它却不是这个力的作用。我们必须非常谨慎地避免这两种意义的混淆；因为这里正是莱布尼茨证明中出现的所有假象引为根据的错误推论的要点。如果所有这些力学结果不是物体A传递给另一物体B的力的真正作用，那么，即使人们说，在机械装置后继状态中所包含的比先行状态中的多，一个荒谬思想的所有声望也一下子就消失了。由此尚不是作用大于其原因，而且永恒运动本身在这一事例中也不是荒谬的事情，乃是因为所造成的运动并不是本来仅仅引发这一运动的力的真正作用，因而也就无论如何都会大于这个力，人们并没有违背力学的基本规律。
人们把球体A所有的力传递给物体B，物体B在沿斜面2B3B上升时将之消耗殆尽。因此，在点3B上它已经实现了自己的全部作用，也耗尽了所有传递给它的力。现在，当它落到台秤的秤臂上时，它用来将3A上的物体抬高的力，就不是先前的力，而只是重力新生的力量造成了这一作用，而B从球体A所获得的力根本没有参与这一作用。此外，如果球体A由此被抬升到4A，球体3B的压力就也以这种方式施加了它的全部作用，而物体B在从4A返回1A时所获得的力又是一个新原因的作用，这个新原因与秤臂的活动截然不同，而且也比它大得多，这就是在自由降落中传递给物体的重力的压力。因此，在物体A重新到达点1A之前，它用来施加力学作用的力是某种虽然由球体B的力所引发、即被给予某些力学原因、但却不以它们为产生的原因的东西。
如果莱布尼茨学派设定大自然中产生的后继状态中的力，总是恰恰等于先行状态自身包含的力，那么我很想知道，他们究竟想如何避开人们从他们自己的证明出发可能向他们提出的责难。如果我将3B上的球体B放在台秤上，从而它在这里向下压迫秤臂，并将物体A从3A抬升到4A，那么，这就是大自然的先行状态，而A此后在从4A重新下落时所获得的力就是由先行状态引发的后继状态。但是后一状态所包含的力远远多于前一状态包含的力。因为3B上的物体超出3A上的物体的部分对于它们固有的重量来说是无与伦比的小，所以物体从3A被抬升的速度相对于它通过从4A的自由回落在1A所获得的速度来说也可能是极其小的；因为重量未曾减弱的压力在此处聚积，而在彼处只有相对于它来说极其小的压力。因而，力在大自然中的后继状态无可争议地大于引发它的先行状态。
这里的一切都首先取决于：人们确信，B以4个单位的速度所拥有的力并不像莱布尼茨学派想在笛卡尔的规律中指出其荒诞不经时必定假设的那样，是此处出现在机械装置中的结果的原因。因为如果是这样的话，那么，只要人们稍稍减弱这一原因，结果就也会稍稍变小。然而这在此处的机械装置中表现完全不同。如果我们设定，1B上的物体所拥有的速度略小于4个单位，那么，它将仅仅上升到曲面2Ba上的a点；在那里，一个秤臂的长度3AF与另一个秤臂的长度之比正好是4，因而物体B的重量既没有使秤臂运动，也没有使3A上的物体从其位置上向外移动丝毫。所以，如果B减少一部分力，这部分力可以看做如此之小，以至于差不多可以忽略不计，3A上的物体在这种情况下也根本不再获得任何力了；相反，一旦增加少许，3A上的物体不仅会重新获得它开始时具有的力，而且远远不止如此。显然，如果3B上的物体的力就是出现在机械装置中的那种状态的真正产生性原因，这种飞跃就不会发生。
如果人们就各个物体的比例关系来思考机械装置中杠杆的布置及其几何学规定的话，如果人们此外还附加上高度3B4B与高度1AE之比大于物体B的质量与A的质量之比的部分的话（因为高度3B4B与高度1AE之比是16比1，而质量A与B的比只是4比1），那么，人们就具有了在A中造成力的那些规定的全部大小；此外，如果人们还设想借助几何学规定的有利布置而变得更为有效的重力的压迫，那就具有所有充足理由的完整概括，其中人们将完全是重新发现在A中产生的力的大小。如果人们把物体B惟一的力与此分离开来，那么，将会发现它太小，不足以在它里面说明进入A的力的理由，也就不奇怪了。物体B在此所做的一切，就是它在克服重力的抑制的同一时间获得了某种态势，即某个大于按照其速度、从而也按照其质量的比例来说的高度。
这样一来，物体B的力并不是在A中被产生的力的真正起作用的原因，因而就此来说，力学的伟大规律effectus quilibet aequipollet viribus causae plenae［任何结果都与其全部原因的力相等］就没有效力了；而且，总是能够以这种方式来产生一种永恒运动，丝毫无损于这一基本规律。
莱布尼茨先生以他的证据能够提出来反对我们的一切都在于：即便人们不能说明事情的完全不可能性，但下述情况仍然是不合规则的、违背自然的，即一种力唤起了另一种比它自己更大的力，而无论这是以什么方式发生的。莱布尼茨先生转向了这一页
：Sequeretur etiam causam non posse iterum restitui suoque effectui surrogari;quod quantum abhorreat a more naturae et rationibus rerum facile intelligitur.Et consequens esset:decrescentibus semper effectibus,neque unquam crescentibus,ipsam continue rerum naturam declinare,perfectione imminuta,neque unquam resurgere atque amissa recuperare posse sine miraculo.Quae in physicis certe abhorrent a sapientia constantiaque conditoris
［可以得出，原因不能被重新恢复并取代其结果；很容易就可以理解，这与自然的规律和事物的理由是多么不一致。合乎逻辑的结论是，由于结果总是有所亏损，从不会有所增加，事物的本性不断地变化，在完美性受损之后，如果没有奇迹，就永不能恢复，不能失而复得。在物理学中，这些肯定是与创造者的智慧和稳定性相悖的］。如果他没有看到事物的本性强迫他作出这种缓和的话，他的措辞是不会如此婉转的。人们可以肯定的只是：如果他的敏锐机智没有认识到这一弱点的话，他就会以其几何学魅力的全部雷霆和数学的所有力量来反对自己的敌人。然而，他发现自己被迫求助于上帝的智慧，这是某种标志，说明几何学并没有给他提供强有力的武器。
Nec Deus intersit,nisi dignus vindice nodus
Inciderit—
Horat.de arte poёt.
［倘若不是出现值得保护的关联，
上帝也就不会出场——
贺拉斯：《论诗艺》］
然而，就连这些小小的防御也不能持久。在此讲的只是通过数学而为人所知的对力的测算，而如果这并不能让上帝的智慧完全满意，那也毫不奇怪。这是一门从所有认识的手段中抽取出来的科学，它自身并不是充分地以端正和相称的规则存在的，如果要把它完全运用到大自然，就必须把它与形而上学的学说结合起来。处于各种真理之下的和谐犹如一幅画卷中的协调一致。如果人们特别地抽取出一部分，端正、优美与精巧就会消失不见；然而，要想感受到同样的东西，就必须同时看到端正、优美与精巧。笛卡尔的测算违反了自然的目的：因此，它并不是真正大自然的力的尺度，但这并不妨碍它不应是真正而合理的数学的力的尺度。因为数学关于物体及其力的特性的概念与大自然中遇到的那些概念仍有很大的差别，而我们已经看到笛卡尔的测算并不与前者相悖，这就足够了。但是，为了确定真正大自然的力的尺度，我们必须把形而上学的规律与数学的规则结合在一起；这将裨补缺漏，更好地满足上帝智慧的意图。
活力最臭名昭著的反对者之一帕品
先生曾非常不成功地利用笛卡尔的事情来反对莱布尼茨先生的这一证据。他已经为自己的敌手清理了战场，并经过了长途跋涉，为的是在某个地方布置一个保护他的岗哨。他向莱布尼茨先生承认：如果假定物体A把它全部的力传递给了物体B，那么，按照笛卡尔的测算，就会产生一种永恒运动；并且慷慨大度地向他承认，这种运动是荒唐无稽的事情：Quomodo autem per translationem totius potentiae corporis A in corpus B juxta Cartesium obtineri possit motus perpetuus,evidentissime demonstrat atque ita Cartesianos ad absurdum reductos arbitratur.Ego autem et motum perpetuum absurdum esse fateor,et Cl.Vir.demonstrationem ex supposita translatione esse legitimam［他极为清晰地证明，按照笛卡尔的说法，以什么方式通过把整个物体A的力量传递给物体B，就能够保持永恒的运动；而且他相信已经给笛卡尔学派指出了他们的谬误。不过我也承认，不仅永恒的运动是荒唐无稽的，而且这位著名的人物从假定的传递出发所作出的证明也是合理的］。他在用这种方法败坏了自己的事情之后，却这样来寻找自己的托词：他否认自己的敌手只构成其论证的一个非常偶然部分的假设，并向他提出挑战，要求他解开这一死结。下面的话表明了他的意见：Sed hypothesis ipsius possibolitatem translationis nimirum totius potentiae ex corpore A in corpus B pernego,etc—［但是，我坚决否认他关于全部力从物体A传递到物体B的假设的可能性，等等——］
。
莱布尼茨先生一下子就解除了自己敌手的武装，并且没有给他留下一丝一毫的借口。他向自己的敌手指出，力的现实传递并不是自己的证明中的核心部分，而且把能被A中的力替换的一种力置于B中就已经足够了。在他已经收入到《年鉴》中、而且我们已经援引过的论文中，人们可以看到一切都得到了证明。但是，我不能不举出莱布尼茨先生的一个过失，它会在公开的辩论中使自己的敌手胜券在握的。这一过失就在于：如他提请人们注意的那样，为了说明论证中的一种附带的情况，他承认了某种本来与主旨无关的东西，但这种东西一旦被接受，虽然附带的条件就得到了证明，但却完全颠倒了证明中的要点。
事情是这样的：除了一个物体不可能将其全部的力传递给另一个物体，帕品先生本打算在对其敌手的反驳中不留下任何其他例外；他力图使莱布尼茨先生自认为能够证明这一点的所有机巧都值得怀疑。因此，他竭尽全力反驳莱布尼茨这一点：一个质量为4的物体1A
在点1A撞击极为坚硬的杠杆1ACB，点1A到支点C的距离与距离CB之比为4，物体1A通过撞击将其全部的力传递给质量为1的物体B；因为莱布尼茨先生在维护其我们已经讨论过的那一力学事例中把自己引向了这一点。当帕品先生利用这一解析并从中得出不利于活力的结论时，他并没有发现自己的事情可能包含的长处。他开始进行解析，但他所持的理由却如此孱弱，反而给他的敌手增加了勇气来坚持维护活力。所以，莱布尼茨坚持其手段的正确性，他相信能够利用这一手段通过惟一一次撞击而将一个物体全部的力置入另一物体中。他满怀感激之情地接受了帕品为指出活力的虚假性所援引的理由，并排除了帕品误以为会反过来破坏这些理由的困难。我相信，他说出下面这些话是非常认真的：Cum Florentiae essem,dedi amico aliam adhuc demonstrationem pro possibilitate translationis virium totalium etc.corpore majore in minus quiescens,prorsus affinem illis ipsis,quae Clariss.Papinus ingeniosissime pro me juvando excogitavit,pro quibus gratias debeo,imo et ago sinceritate eius dignas
［当我在佛罗伦萨的时候，我曾给一位朋友作出全部力从较大的物体传递到较小的静止物体的可能性的另一种证明，总之是与著名的帕品为了支持我而极为出色地想出来的东西有关的证明，我对此心怀感激之情，而且我表达这种谢意是与他的慷慨相配的］。我们现在要看一看，莱布尼茨由于顽固地坚持维护这一定理，从而给予他的事情以一个非常差劲的推动；他倒是应当承认这一定理属于他的敌手；因为在这种情况下，他虽然失去了次要的事情（但这种损失根本不会给他带来什么不利），却会赢得主要的事情。帕品先生能够而且应当以下面的方式进行论证，以便根据自己的敌手的供认捉住他。
如果一个质量为4的物体1A以1个单位的速度撞击1A上的杠杆，那么显而易见的是：通过这一撞击，它将把自己全部的力与速度传递到与它质量相同、距离杠杆的支点同样远的另一物体2A中。但是，由于撞开2A所用的这种速度是杠杆在撞开物体后返回经过无限小的空间2A2a时所用的运动的继续，所以这一无限小的运动的速度就等于被撞开的物体2A的速度，因而也就等于1A撞击杠杆的速度；所以，球体1A在其撞击时把杠杆下压一个无限短的线段1A1a，确切地说，是以1A撞击时相同的速度返回经过这一线段。现在用球体B来代替物体2A，球体B的质量比为A的1/4，距支点C的距离则为4；并且看一看，物体B在物体1A致力于向1a下压杠杆时会给它制造一个什么样的阻碍。众所周知，vis inertiae［惰态的力］或一个物体借助其惰态的力阻挡另一个物体运动的阻力与其质量是成正比的；但是，一个到支点的距离为4的1个质量可以被测算为等于距离为1的4个质量：因而B上的B给予物体1A对杠杆的撞击的阻力正好与物体2A=1A在2A上会给予的一样多。所以，即便是在球体B而不是球体2A处在杠杆上的这种情况下，物体1A也与杠杆同时穿过了无限短的线段1A1a，而且是以与前此情况中相同的速度，即与其撞击点1A所用的速度相等。但是，物体1A并不能把杠杆从1A压向1a，却不同时把B处的另一端从B抬升到b；但是，无限短的线段Bb却4倍于1A1a；因此，物体B通过杠杆的这一撞击获得的速度是1A用以撞击的速度的4倍。
还可以用另一种方式对此加以阐明。我们可以把所有坚硬的物体都想象为弹性的，也就是说，想象为被撞凹又重新弹回的；这样，我们也可以赋予坚硬的杠杆1ACB以这样一种弹力。因此，以1个单位的速度撞击杠杆的物体1A，在它压紧弹簧1AC并将它压下1A1a这样一段空间时用尽了自己全部的力。现在，这个弹簧在这一受压的全部时间里借助自己的阻力在物体1A中所消耗的速度的元素，与弹簧C2A作为杠杆延长的臂在同样的时间里借助这种张力弹开通过2A2a的空间所用的元素是相等的；因此，如果这一坚硬的线段被延长到B，那么弹簧CB在杠杆1aCB重新恢复为直线1aCb时用以弹开的速度的元素，就4倍于它在点2A上摆回所用的元素（因为点B在同样的时间里返回经过的空间bB乃4倍于2A2a）。然而，由于点B距支点C的距离为4，而弹簧CB的硬度却是弹簧C2A的硬度的1/4；因此，必须相应地使B中的阻力是2A中的阻力的1/4，在这种情况下弹簧CB带入质量为1的物体B中的速度的元素依然为4，因为与之相反，弹簧C2A用在质量为4的物体2A上面的元素为1。现在，弹簧CB起作用的时间与弹簧C2A弹开所用的时间一样大，而两个物体2A和B通过两个作用时间同样长的两根弹簧C2A和CB的作用所获得的速度，就等于这些弹簧带给各自物体的速度的元素，因而在物体B中4倍于在2A中；但由于2A从弹簧C2A的撞击所获得的速度与1A在点1A撞击所用的速度是相等的，所以，物体B通过物体1A对杠杆的这一撞击所获得的速度就4倍于1A用以完成其撞击的速度。如例所示。
我们从这一双重的证明看到：一个质量为4的物体凭借这惟一一次撞击能够将等于4的速度传递给一个质量为1的物体。按照活力最热情的辩护者也不可能怀疑的那些力学基本原理，这是正确的。帕品先生如果很好地利用自己的长处的话，他会由此将自己的敌手狠狠逼入墙角的。他应当告诉自己的敌手：你们向我承认，一个质量为4的物体借助一个杠杆就可以将自己全部的力带入一个质量为1、与支点距离为4的物体中；我还可以向你们阐明：它在这种情况下给予那个物体4个单位的速度；所以，一个质量为1、拥有4个单位速度的物体具有一个质量为4、拥有1个单位速度的物体的全部的力；不过，这正是争论的焦点，也是你们要否定我的。
这样，在活力用来威胁笛卡尔的测算的所有打击中，最可怕的一击也落空了。从此，活力在这一击之后还要寻找手段维护自己，恐怕是没有什么希望了。
…vires in ventum effudit,et ultro
Ipse gravis graviterque ad terram pondere vasto
Concidit:ut quondam cava concidit aut Erymantho
Aut Ida in magna radicibus eruta pinus.
Virg.Aen.Lir.V.
［他白白地浪费力气，此外
他自己有多重就多么重地以巨大的重量摔倒在地上，
就像埃里曼索斯山或者高高的伊达山上的一棵巨松，
被挖掉了根而倒了下来。
维吉尔：《伊尼特》，第5卷］
至此，我们已经援引了活力的新论证最可观和最著名的理由，并且处心积虑根据一报还一报的权利向这个学派偿还了他们经常向笛卡尔的学生们提出的所有异议与指责。人们可能会无理地要求我们：为了使我们这一方从中获得全面的胜利，我们应当将所有在这一问题上站在莱布尼茨先生一边所写下的东西都抓取过来。这将意味着：为了能够充实自己的著作，从黎巴嫩的雪松到墙中长出来的海索草，什么东西都不放过。我们甚至还可以再在我们敌手的领域里攫取一块地盘，抢夺他们的财物，为笛卡尔的追随者建立起众多的胜利纪念物和凯旋门；但我相信，我的读者对此并没有多大的要求。如果人们在任何时候都有理由说一部巨著就是一场巨大的灾难的话，那么，对于像本书这样一部著作，人们也可以这样说；这本书除了纯粹是对同一件事情、即一件非常抽象的事情的不同辩护之外，很少吸收别的东西，最后，吸收它们也只是为了一个惟一的目的，即将它们全部驳倒。
不过，我们还不能完全取消对详尽性的滥用，以至于我们不应当有理由还要提出一个证明；我们争论的问题的所有敌对者和辩护者都会原谅我们避而不谈这一证明。只是因为其作者的地位，这一证明才有资格在本文中占据一席之地；不过，就他在两派的追随者那里享有的声望来说，这一证明并没有丝毫地位。莱布尼茨学派未曾相信过这一证明会对他们的意见有什么用，而且尽管它们经常被逼入困境，人们也没有看到过他们曾求助于它。
我们就是从沃尔夫
先生那儿获得了这一证明，他用极为奢华的方法装点这一证明，发表在《彼得堡科学院评论》第一卷中。人们可以说：用一长列借助一种严格的方法非常精确地分开和复制的先行定理贯穿自己的定理，可以与一支军队的谋略媲美，这支军队为了给自己的敌人制造假象，隐蔽自己的弱点，而把自己分成许多支队，远远地张开自己的双翼。
任何一个会在科学院上述著作中读到他的论文的人都会发现，很难从中找出在它里面构成一个真正证明的东西，由于在这里表现出来的分析爱好，所有的一切都大大扩展，并被弄得无法理解。我们想在一定程度上解释他的论证的情况。
帕品
先生曾断言：如果一个物体根本没有克服任何阻碍，没有移动任何质量，没有压紧任何弹簧，等等，人们就不能说它做了什么。在这一点上，沃尔夫
先生与他意见相左，而且是出于这样一个理由：如果一个人运载一个重物穿越某个空间，那么，每一个人都一致同意，他已经做了某事并取得了某种效果；现在，一个物体借助它在现实运动中所拥有的力运载自己的质量穿越一个空间；它的力由此同样已经做了某事并实施了某种东西。沃尔夫先生在他的论文一开始就许诺要放弃这一理由并且不依赖于这一理由来证明自己的定理；不过，他并没有信守自己的诺言。
在他已经说明了他所理解的未受损失的作用（effectus innocuos）、即在其产生中力没有消耗掉的那种作用之后，他将一个命题设定为基础，他的整个大厦都仅仅建立在这个基础上，而我们只要从他那里夺走这个基础，他这部作品的所有努力就都会化为乌有。Si duo mobilia per spatia inaequalia transferuntur,effectus innocui sunt ut spatia
［如果两个运动物穿过不同的空间，未受损失的结果就与这些空间成正比］。这就是我们所说的定理。
让我们看一看，他是如何开始证明这一定理的。他以如下方式进行推论：如果通过空间A的作用是e，那么在同样的空间或同一空间A中产生的作用也是e；因此，在空间2A中作用就是2e，在空间3A将是3e，也就是说这些作用是与空间成正比的。
因此，他的证明建立在这样的假设上：如果物体穿过同一个空间，那么，它也就施加了同样的未受损失的作用。这就是真正的误导和失误之点，后来扩展到他的整部作品。如果由同一物体在空间中所施加的作用应当是同一作用的话，那么，仅仅空间是同一空间是不够的；这里还必须考虑到物体用以穿过这一空间的速度。如果这一速度不同样是相同的，那么，无论空间如何相等，未受损失的作用还将是不同的。要理解这一点，我们必须像在第17节中已经做过的那样，把物体所穿过的空间不是设想为完全虚空的，而是设想为充满了物质的，只不过是充满了非常稀薄的、因而阻力非常小的物质。这种情况之发生，只是为了我们有一种真正的作用和这种作用的某个主体；因为在其他情况下，正如沃尔夫的论证中的情形一样，依然是一种未受损失的作用。因此，如果物体像另一个与它相等的物体一样穿过了一个同样大小的空间，那么二者都使同样多的物质产生了位移，但因此却并没有总是产生同样的作用。因为如果一个物体以2倍的速度穿过它的空间，那么他的空间的所有微粒都由于他的作用而从它那里获得的速度，就2倍于另一物体以1倍的速度穿过的空间的微粒，因此，第一个物体施加了更大的作用，尽管质量和穿过的空间在二者那里是相等的。
这样，沃尔夫先生所有推论的原理显然是错误的，并且与人们从作用和运动的概念出发能够最清晰最确定地证明的东西相矛盾。人们一旦犯了错误，后果无非就是一个错误的链条。沃尔夫先生从他的基本原理中得出另外一个原理，这一原理为他的体系真正提供了所有令读者出乎意料地惊奇并感到奇怪的重大推论。这就是：由于在相同的运动中，空间处于速度和时间的复合关系中，所以未受损失的作用就与质量、时间和速度的总和成正比。在此之上他建立起这样一个定理：Actiones,quibus idem effectus producitur,sunt ut celeritates［产生同一结果的那些活动与它们的速度成正比］。
在这一原理的证明中存在着一个错误的推论，它也许比我们几乎没有发现过的错误推论还要严重。他证明，如果两个同样的物体在不同的时间中产生同样的作用，而它们的速度则与产生这同样的作用的时间成反比，这就意味着：在一半时间中就完成其作用的物体拥有2个单位的速度，而另一个为此必须使用全部时间的物体则相反，只拥有1个单位的速度。他由此推论说：由于每一个人都承认，在以另一个运动的1/2时间完成其作用的活动是2倍大，所以，这一事例中两个活动与时间成反比，即与速度成正比。之后他继续前进，思考了两个不同的物体在同样的时间中产生同样的作用的事例。他指出，在这一事例中速度与质量成反比，并进一步推论道：Quoniam hic eadem est ratio massarum,quae in casu priori erat temporum,ratio vero celeritatum eodem modo sese habet:perinde est,sive massae sint eaedam et tempus diversum,sive massae diversae et tempus idem etc
［由于这里质量的比例就是上一事例中时间的比例，而速度的比例则保持老样子；所以是质量相同而时间不同，还是质量不同而时间相同，这都是一回事，等等］。这个推论是一个怪物，但却不是一个人们在数学论文中应当看到的论证。人们记得，在前面的事例中，之所以说两个在不同的时间中完成同样作用的相同物体，其活动与时间成反比，乃是因为在较短时间内产生这一作用的活动正因为如此并且在同等程度上大于为此用去较多时间的另一个活动。因此，这一推论之所以成立，乃是出自这一理由，即由于完成一个作用的时间之短，任何时候都是由一个更大的活动产生的。然而，如果我像在这里第二个事例中那样，用质量的不相等来替换时间的不相同，而使时间成为相等的，那么人们就很容易看出，质量不相等的结果并不是时间不相等的结果。因为在第一个事例中，在较短时间内完成其作用的物体，正因为时间较短，而产生一种较大的活动；然而在这里，质量较小并以这一质量在与另一物体相同的时间里完成同样多的作用的物体，就不是因为其质量小就具有了更大的活动性。这样说是荒唐无稽的；因为质量的小毋宁说是活动性的小由以建立的真正的、本质性的根据，而如果一个物体尽管质量如此小却依然还像另一个物体一样在相同的时间里产生同样多的作用，那么人们就只能推论说：它的活动由于质量小而缺少的东西，通过一个较大的速度得到补偿，并由此而与另一个物体的活动相匹敌。因此，如果质量不相等，时间与作用却相等，那就不能说：两个物体的活动与其质量成反比，即使在时间与质量相等的事例中就时间和活动来说这一比例成立。因此，是质量不同而时间相同，还是时间不同而质量相同，并不是一回事。
这样，沃尔夫论文中的一个主要定理建立于其上的证明就是无效的、无用的；因此，活力在这里将找不到能够滋养它的土地。
在一部作品中，偶尔会有某些可以容忍的错误，这些错误扩展得并不广泛、并不完全损害主体部分的有效性。然而在我们谈的这篇论文中，这些依靠方法的定理就命悬一线；因而一两个错误就使得整个体系应予拒斥、毫无用处。
沃尔夫先生在他的论文中本打算为我们提供一门动力学的最初基础。他的努力不幸失败了。这样，我们到现在还没有动力学的基本原理，使我们能够有理由在它们上面进行建设。我们这篇允诺要说明活力的真正测算的论文应当弥补这一缺憾。第三章应当从事这方面的尝试；然而，人们可以期望击中目标吗？因为各种尝试中的一个毕竟以这种考察方式未能达到目标。
刚才，当我正在用前面的事例结束对极为著名的莱布尼茨学派由以建立自己力的测算的理由进行反驳的时候，我收到了由戈特谢德教授先生翻译的、彼得·冯·穆森布罗克
先生的《自然科学的基本学说》，它是在这个1747年的复活节书展上面世的。这位伟大的人物是当代自然研究者中间最伟大的一位，他的意见中成见和学派热情的成分要少于其他任何一个人的学说；这位如此著名的哲学家率先使莱布尼茨先生的测算经受他的数学研究，之后又经受他如此巧妙地进行的试验，并认为它在二者中都得到了证实。他所采用的后一种方法，并不属于当前这一章的内容，但第一种方法却是与此相关的。本文的目的要求我思考这位著名的作者在这里给笛卡尔的测算制造的困难，而且可能的话使它们避开我们应当维护的对象。但是，这几页书的狭小篇幅，或者坦率地说，这里表现出来的惊人的不平等，难道不会给我设置无法逾越的障碍吗？
让我们看一看，他认为在数学思考中证明了莱布尼茨规律的，究竟是一些什么样的理由。
假定
有某个与被施压的物体一起运动的外部原因，例如一根固定在立柱AS上、并弹开物体F的弹簧BC，那么，如果物体F是处在静止中的，弹簧BC将给予该物体1个单位的速度。但是，一旦该物体已经拥有了这个单位的速度，那么，要给它第2个单位的速度，就要求有2倍的弹簧。因为如果一根弹簧再次独自伸展，那么，已经在以弹簧展开的那个单位的速度现实运动的物体，就会避开弹簧、不接受它的压力。因此，必须再加上第二根弹簧DB
，它使得支撑弹簧BC的点B以物体逃逸的速度追击物体，以这种方式物体F就像开始一样相对于弹簧BC是静止的，以便它在弹簧BC伸展时获得单位为1的速度。同样
，要使已经拥有2个单位速度的物体F获得第3个单位的速度，就要求有3根弹簧ED、DB、BC。一个已经拥有100个单位的物体，要给予它一个新的单位，就要求101根弹簧，余者依此类推。因此，给予一个物体某个单位的速度所需要弹簧的数目等于物体的全部速度所分解成的单位的数目，也就是说，给一个物体传递1个单位速度的所有弹簧全部的力，等于该物体在拥有这个单位的情况下所拥有的全部速度。现在，在三角形ABC中
，它的直角边AB被等分为各个部分，线段DE、FG、HI等等分别等于线段AD、AF、AH，因此，人们可以利用线段DE表示给予物体第1个单位速度AD的弹簧；利用2倍长的线段FG表示产生第2个单位速度DF的2倍的弹簧；利用线段HI表示唤起第3个单位速度FH的3倍的弹簧；等等。如果人们设想这些线段DE、FG等等无限接近，那么，按照卡瓦列里
引入测量术的无限小方法，它们就构成了三角形ABC的全部面积。因此，在一个物体中产生速度AB的所有弹簧的总和就等于平面ABC，即速度AB的平方。但是，这些弹簧表示一起在物体中产生所说的速度的那些力，而对一个物体起作用的各种力的数目怎么样，在它里面产生的力也就是怎么样；因此，一个物体的力与他所拥有的速度的平方成正比。
我相信，一个笛卡尔的追随者将对这一证明提出以下的异议：
如果要根据某些弹簧的总和测算传递到一个物体中的力，那就必须仅仅计算现实地把自己的力量带入物体的那些弹簧；然而，那些根本没有对物体起作用的力，人们也不可为了在物体中设定一个与它们相等的力就加以利用。这一定理是力学最清晰的定理之一，没有一个莱布尼茨学派的人对它提出过质疑。穆森布罗克先生本人在他的证明的结尾也承认这一定理；因为这就是他的原话
：对一个物体起作用的各种力的数目怎么样，在它里面产生的力也就是怎么样。但是，如果一个已经以1个单位的速度运动的物体F通过两根弹簧DB、BC的伸展获得了第2个单位，那么，在这两根弹簧中只有BC才对它发生了作用，DB没有把自己的张力中的任何东西带入它。因为弹簧DB是以1个单位的速度伸展的；而物体F也已经现实地以1个单位在运动；因此，F避开了这根弹簧的压力，这根弹簧在自己的伸张中够不着它，无法把自己的张力传递给它。它所做的无非是使支撑弹簧BC的立柱B以物体F运动的同样速度追赶物体F，以便立柱相对于该物体来说是静止的，而弹簧BC把它等于1的全部力带入该物体。因此，它不是以这种方式在F中附加给前一种力的力的作用因，而仅仅是一种偶因；而惟有弹簧BC才是这种力的作用因。此外，如果这个物体已经拥有2个单位，那么，在3根同样的弹簧ED、DB、BC中，惟有弹簧BC才把自己的力以及速度的第3个单位给予它，余者依此类推，以至无穷。因此，如果DE
是第一根把自己的力带入物体F并在它里面唤起第1个单位的速度AD的弹簧，那么，与它相等的弹簧fG则给予该物体第2个单位的速度并把自己的力传递给它，弹簧hI给它第3个单位，等等；所以，弹簧的总和DE+fG+hI+kM+lN+rO+bC=BC构成了从其静止状态开始运用于物体F、并在它里面唤起速度AB的力的全部大小。但是，BC与AB成正比，而BC是力，AB却是速度；因此，力与速度成正比，而不是与速度的平方成正比。
从现在起，我们已经越过了在维护笛卡尔规律的时候能够与我们对立的所有困难。但我们还不想满足于此。对于一种曾经拥有声望、甚至拥有成见的意见，人们必须穷打猛追，把它从所有的避难所里赶出来。这样一种意见就如同那个多头怪兽，每砍一次它都长出新头来。
Vulneribus foecunda suis erat ille:nec ullum
De centum numero caput est impune recisum,
Quin gemino cervix haerede valentior esset.
Ovid.Metam.
［它因自己的伤口而是能生产的，但在数以百计的头颅中，
不会平安无事地被砍掉哪一个，
毋宁说，他的头颈因双倍的后来者而更强大。
奥维德：《变形记》］
如果有人指责这部作品，说它多余地、使用比需要更多的理由来反驳莱布尼茨力的测算，我认为这对我来说是非常光彩的；但是，如果我让它缺乏这些理由，我会感到羞愧的。
假定一个倾角台秤ACB
的一个秤臂是另一个秤臂的4倍，而对4倍的秤臂终端施压的物体B是另一个物体A的1/4。这些东西将在我们设定它们所处的状态中静止，并相互完全处于平衡中。如果给物体A再附加上一个小重量e，那么，物体B就会被抬高通过弧Bb，与此相反，物体A则通过弧Aa下落，但物体B将在这一运动中获得4倍于A的速度。如果去掉重量e，与此相反把一个1/4的重量d加给秤臂Cb终端的物体b，那么，b被下压通过弧bB，而a则被抬高通过弧aA；但与B是一回事的b由此获得了与第一种场合中同样多的速度，同样，与A是一回事的a也同样获得了在第一种场合中带入它里面的速度；区别只是运动的方向颠倒了。由于添加的重量e所施加的作用存在于物体A和B一起具有的力中，而1/4的d所完成的作用同样被设定在b=B和a=A由此一起获得的力中，所以很清楚，这两个重量e和d施加了同样大的作用，因而必须使用、从而也曾经具有过同样多的力。但是，这两个重量e和d起作用所用的速度（也就是说，既包括其初始速度，也包括它们通过所有这些压力的积累所获得的有限速度）与它们的质量是成反比的，因而两个速度与其质量成反比的物体具有同样的力；这驳倒了按照平方进行的测算。
在尤林
先生发现一种事例，通过它人们简单明了地认识到速度的倍增在任何时候都只是设定力的倍增之前，笛卡尔学派从未能以如此多的自信来对抗力的新尺度的辩护者们。莱布尼茨先生拒绝这一点，特别是在他发表于《年鉴》
的动力学论文
中的试验里。人们只是听到他如下的说法：Cum igitur comparare vellem corpora diversa aut diversis celeritatibus praedita,equidem facile vidi:si corpus A sit simplum,et B sit duplum,utriusque autem celeritas aequalis,illius quoque vim esse simplam,huius duplam,cum praecise,quicquid in illo ponitur semel,in hoc ponatur bis.Nam in B est bis corpus ipsi A aequale et aequivelox nec quicquam ultra.Sed si corpora A et C sint aequalia,celeritas autem in A sit simpla et in C dupla,videbam non praecise,quod in A est,duplari in C,etc［因此，当我想把不同的物体、确切地说是具有不同速度的物体进行比较的时候，我确实很容易看出：如果物体A为1，物体B为2，二者的速度却是相同的，那么前者的力同样为1，后者的力为2，因为非常明确，无论在前者中设定什么，在后者中都要设定2倍。原因在于，在B中有双倍的自身相等、速度相等的物体A，除此之外没有别的。但是，如果物体A和C相等，而速度在A中为1，在C中为2，我就不能明确地看出，在A中的东西在C中就加倍，等等］。尤林先生借助世界上最简易的事例解开了这个死结。
他假定了一个运动的平面，例如
一条驳船AB，该船沿BC方向以速度1运动，并以同样的运动携带着球体E。因此，这个球体通过平面的运动具有为1的速度，也具有为1的力。此外，他假定在这个平面上有一根弹簧R，该弹簧在立柱D上弹开，给予上述球体自身再加1个单位的速度，从而也给予1个单位的力。因此，这个球体一共获得了2个单位的速度，并与这2个单位的速度同时获得2个单位的力。因此，速度的倍增并没有造成比力的倍增更多的东西，并没有像莱布尼茨学派错误地劝说的那样，造成力的4倍。
这一证明是非常清晰的，并且根本不容许逃避；因为平面的运动除了给予物体一个与它相同的速度、即给予它一个为1的速度并从而给予它一个为1的力之外，什么也不能做。而弹簧R由于与平面和球体同时有一个共同的运动，除了自己的张力之外也不能以别的任何东西起作用。如今，这张力恰如它给予一个物体——例如我们这里的物体——的那么多，即不多于1个单位的速度、从而也仅仅1个单位的力。因此，在进入这个问题的设计的所有东西中，无论人们向何处求助，都只能发现2个单位的力的原因，在物体中现实地存在着2个单位的速度。
查泰勒侯爵夫人反对尤林先生的论证，但却是以这样的方式，要是对一种曾经选择的意见的爱好不会给予一件糟糕的事情以最美好的色彩的话，她的洞察力是足以发现这种方式的弱点的。
她提出了以下的异议。驳船AB并不是一个不动的平面；因此，既然弹簧R是由立柱D支撑的，那么，它将给驳船带入某些力，因此，人们将在驳船的质量中又发现2个单位的力，这是人们按照莱布尼茨的测算在物体E中没有找到的。
在这一逃避中，存在着人们称为fallaciam ignorationis elenchi［盲目论证错误］的那种谬见的错误。她并没有真正在自己敌手的证明要害之处攻击其论证，而是关心一个看起来对自己的意见有利、但并不必然附属尤林证明的偶然附带情况。我们很容易就可以把这块绊脚石从道路上清除出去。没有任何东西阻碍我们设想驳船是由一种不允许它借助弹簧向D使劲而沿方向AF稍稍后退的力推动的。为此目的只能设想它具有无限大的质量。在这种情况下，驳船由于弹簧R的有限力量只是无限少地后退，即根本没有后退；因此，物体从弹簧获得的力，与弹簧朝一个完全不动的立柱伸展时弹开所获得的力同样多，即它将获得全部的力。
在为树立力的新尺度而作出自己贡献的人们的名册中没有丝毫地位的李希特
先生，却对尤林的论证提出了一种更有点徒有其表的异议。
他认为，恰恰这种力在与不同事物的关系中非常不同。虽然就与驳船同时以一个方向和速度运动的事物而言，弹簧R给予球体E一个为1的力，但是，就在驳船之外现实地静止的对象而言，弹簧给予球体的就不是1个单位的力，而是3个单位的力。
我很想知道，按照李希特先生的意见物体E在与静止对象的关系中获得的2个单位的力究竟是从哪里来的；因为它不可能由于一种空洞的抽象或者一种休闲的思想就能够从它产生，而是必须绝对有活动的原因和力，应当由它们来产生它。但是，如果一切都对外在的事物处在绝对的静止中，而驳船开始以1个单位的速度运动，那么，在物体E中就由此产生出1个单位的绝对的力。由此开始，驳船已经不再对物体起作用了；因为它相对于物体是静止的，而弹簧的张力开始释放其活动。这种活动所拥有的，也恰恰只有产生1个单位的力所要求的那么多；再在它里面寻找更多的，那是白费力气。因此，除了归入2个单位的力的这么多之外，在物体中并没有施加更多的绝对作用。如果在与静止事物的关系中，即在绝对的理解中，据说在物体中产生了4个单位的力，但尽管如此在物体中所施加的绝对作用却不多于2个单位，那么，就必然有2个单位是偶然地、没有原因地产生的，或者是从无中生出的。
既然在一件如此清晰的事情中还出现了一些疑虑，那么，为了完全避免一切疑虑，我们可以这样安排尤林先生的事例：如果一切都处在绝对静止中，那么，物体E首先从弹簧获得1个单位的速度，此时驳船还处在静止中，这样，物体E的这个获得的力就毫无争议地是一个绝对的力。现在，如果驳船在这种情况下也开始以1个单位运动，那么，这又是一个绝对的运动，因为它之前对一切事物都是静止的。因此，它传递给所有属于它的质量的东西1个单位的力，从而也给物体E又传递1个单位的力，而由于产生这个单位的原因是在绝对运动中起作用的，所以物体从这个原因得到的力不会多于1个单位。因此，即便是以这种方式，在一切中为物体E产生的也不多于2个单位的力。
李希特先生还试图用另一个从弹性物体的碰撞得出的借口来逃避。然而，他的辩护是建立在莱布尼茨学派的共同假设之上的，即人们在弹性物体的碰撞后必然发现恰恰如同碰撞前的力。我们反驳过这一假定；因此，这里特别与李希特先生进行纠缠是不必要的。
由于这一节的定理是我们当前的考察最重要的基础，所以我们想再以一种更为清晰些的形态阐述它。
一种现实的运动的标志是运动有限的持续期。但这个持续期或者从运动的开端所流逝的时间是不确定的，因而是可以任意地假定的。据此，如果线段AB
表示运动期间流逝掉的时间，那么，物体在B有一种现实的运动，此外在作为半程的C、在作为1/4点的D、在此后这段时间的所有更小部分上、哪怕人们无限地使它任意小，物体都有一种现实的运动；因为是它大小不确定的概念允许这样的。因此，我可以设想这段时间无限小，而不会由此使运动现实性的概念损失什么。但是，如果这段持续期的时间是无限小，那么，它就可以被计算为无，而物体就仅仅处在初始点，即处在单纯的运动努力中。因此，物体的力在任何现实的运动中都以平方为尺度，如果这一点不用其他的限制——例如莱布尼茨规律所要求的——就是正确的，那么，它即使在单纯的运动努力中也就已经如此了；而这必然自己否定自己。
乍一看，似乎莱布尼茨规律通过附属于它的有限流逝时间的限制得到了充分的保障，以致不可能被引导到其持续期无限小的运动上来；因为有限的时间是一个表示与无限小的时间完全不同的类的概念，因此看起来，由于这一限制，仅仅在有限时间的条件下允许的东西，根本不可能被引导到无限小的时间上来。即使人们如此谈论有限的时间，即人们假定，如果把它作为条件，从它引申出这种或者那种属性，它就必须是确定的，它的大小必须被规定，这一点也依然有其正确性。但是，如果要求一个有限的时间，同时却允许人们可以任意地假定其大小，那么，在这种情况下，无限小的时间就也被包括进它的类了。对于莱布尼茨学派来说，这一点并不是不为人知的。因为他们必然知道，他们的祖师就是把连续律建立在这个基础之上的，也就是说，如果假定A比B大，但究竟大多少却是不确定的，那么，人们不用损害在这一条件下正确的规律，就可以说，A与B相等，或者如果人们让A撞击B，并且假定B也在运动，那么，假如它的这种运动的单位是不确定的，人们就也可以假定，B是静止的，而不会由此取消在那个条件下确定的东西；在其他事例中还可以举出很多。
最后，如果有人还想说，莱布尼茨的测算虽然不能在有限时间的条件下、但却依然能在有限速度的前提下是正确的（尽管这显然是违背他们的学说的），就会发现，无论是有限的速度，还是有限的时间，人们都可以用线段AB来表现，在这种情况下，同样将证明，如果他们的规律在速度有限的情况下完全有效，那么，它也必须在速度无限小的情况下有效，而这是他们自己不能不否认的。
一个物体压迫所有的弹簧，直到它的全部运动都被夺去，而这些弹簧被压迫的时间则可以是随意的；这样，该物体正好拥有所有这些弹簧的力；我们的敌手把这列入人们仅能够拥有的最清晰的概念。关于那些不仅仅满足于被压迫的弹簧的数量，而且还总是追问压迫的时间的人，约翰·贝努利
先生说，这就和一个人想测量一个杯中的水，但却不满足于他眼前拥有的现实尺度，即杯子的容量，而是认为还必须知道该杯子被装满所用的时间一样荒唐。他满怀信心又不满地补充说：Desine igitur quaerere nodum in scirpo
［不要在鸡蛋里面挑骨头了］
。查泰勒侯爵夫人也准备好一种同样幽默的想法了；不过，他们两个都错了，而且恕我直言，都受声名所累，与他们在这一错误中让人看到的信心一样大。
如果弹簧A、B、C、D、E中的每一个都具有这样的性质，即它只对抗物体M的惟一压力，同时由此失去自己的全部活动，所以在此之后就不再在物体M中起作用了，而不管物体M承受它随意多长时间，那么我自己就承认，无论物体压迫弹簧是1个单位的时间还是4个单位的时间，它所施加的都是同一种力；因为在它压迫弹簧之后，它就在弹簧那里无所事事地浪费时间了。如果与此相反，物体在克服弹簧的压力时，它的力并没有同时取消弹簧的活动，那么，每一时刻都在从弹簧向反作用的物体中传递着新的单位的力；因为这根弹簧在第一时刻就是逐渐消失在物体中的单位的力的原因，它的作用在第二时刻、此外在第三时刻以及在此后无限的所有时刻中都依然存在，而且同样强。在这些条件下，克服这些弹簧压力的物体是在较短的时间里还是较长的时间里做到这一点的，就不是一回事了；因为在较长的时间里，它要比在较短的时间里承受更多的压力。但如今，重量的压力就是这种类型。它的每一根弹簧都在所有的时刻里以同样的活动起作用，而在第一时刻克服它们压力的物体却因此而尚未在随后的所有时刻里都做到这一点。它将为第二个时刻需要同样多的力，依此类推。因此，一个物体用来对抗造成重力的物质惟一一个部分的压力的力，不仅与重量压力的强度成正比，而且与它同时间的乘积成正比。
为并非弹簧的数量而是时间才是施加的作用的尺度这一定理的多余证明，人们还可以再附加上这一点。一个斜着抛出的物体的运动是抛物线状的，该物体必然不仅由于下落而快得多地通过某个高度，而且也在下落的终点获得一种比从同样高度垂直下落能够给予它的大得多的速度和力。因为当它划出曲线的时候，它直到下落的终点比它垂直下落经过了一个更大的空间。但在那个更大的空间中，它必须承受比它在短的直线中能够碰到的更多的重力弹簧；因为造成重力的物质是向所有方向同等地扩散的；因此，根据莱布尼茨的定理，它必须在前者中比在后者中获得更多的力和速度；这是荒唐无稽的。
马兰先生考虑按照未被克服的障碍、未被压迫的弹簧、未被位移的物质来测算一个物体的力，或者像查泰勒夫人所说的那样，按照它不曾作过的事情来测算它的力。这位女敌手认为在这一思想中发现了某种奇怪的东西，她认为自己可以引证它来寻开心。尽管这位著名的人物给他的思想附加了一个本来是一切的关键的限制，即：即使人们借助一个假说假定它保持或者一再接受自己的力，这些弹簧也依然受到压迫，但他的女敌手依然在这一假说中发现了某种未被允许、未被授权的东西，以致她因此而对他提出一个更为严厉得多的责难。我将简明扼要地指出，这位杰出人物的思想是多么确定无疑、多么可靠，除了我们已经援引过的尤林先生的思想之外，在这一事情上不是那么容易就能够想出某种更为重要的、更为缜密的东西的。
如果人们接受在某些障碍被一个物体的力克服的时候该物体的力所损失的部分，如果人们——用我的话说——测算这种损失，那么，人们就会最确定无疑地知道，被克服的阻抗的全部力量究竟有多大；因为物体如果不用掉一个与这种阻抗或者障碍相等的单位的力，就不能克服它们，而这个在物体中被抵消、被消耗的力究竟有多大，夺走该物体这个力的障碍也就有多大，以这种方式施加的作用也就有多大。
假定有一个物体以5个单位的速度自地平线垂直升空，并且像通常那样用三角形ABC的面积表示它所达到的空间或者高度
；在这个三角形中，线段AB表示流逝的时间，BC则表示它升到这个高度所用的速度。相等的线段AD、DF、FH等等应当表示整个时间AB的元素，从而复合构成大三角形平面的各小三角形都与ADE一样大，就是整个空间的各元素或者物体在时间AB里所压迫的弹簧的数目。据此，我们的物体在开始升空的第一个时间段BK里压迫了它在空间KLBC中遇到的9根弹簧。但是，如果这些弹簧的收缩在它里面没有消耗力，或者这种损失总是从别的地方得到补偿，那么，它就还会压迫弹簧LlC，它现在未能压迫它，乃是因为它在压迫其他弹簧时所支出的力恰好等于它为此必须拥有的那么多。因此，弹簧LlC就是被压迫的9根弹簧的阻抗在我们的物体中所消耗的那种力的尺度。在它完成这一步之后，它以上述损失之后还给它留下的残余力量继续升空，在第二个时间段里压迫在空间HIKL中遇到的7根弹簧。这里又一次清楚易见的是，如果我们的物体能够压迫这7根弹簧并且还完全给它留下它的力量，那么，它在这同一时刻还要压迫并克服弹簧IiL；然而，由于它并没有这样做，所以可以得出，它通过压迫其余的7根弹簧失去的那个单位，其补充将使它能够还克服IiL；因此，这根弹簧就表示出7根弹簧的阻抗给它的力带来的损失的大小。以同样的方法，弹簧GgI将表示第三个时间段由于压抑重力而造成的力的损失，依此类推。这样，自由升空的物体由于克服重力的障碍所蒙受的损失就是未被压迫的弹簧LlC、IiL、GgI、EeG、AaE的总和，从而也就是它所克服的障碍自身的平方，因而它的力也就处在这个比例之中。由于未受压迫的弹簧与时间或者速度成比例关系，所以物体的力也等于这些比例关系。如例所示。
此外，由此可以看出，马兰先生为什么有权利通过一个假说假定物体克服了障碍却完全保持住自己的力，这最初显得是违背运动的第一基本原理的。因为障碍当然夺走了它一部分与它们相等的力；但尽管如此，还是可以总是在思想中从别处补充这一损耗，保持物体不受损失，以便看一看它在以这种方式不减少力的情况下，比障碍消耗的部分丧失掉的情况下将多做多少事情。在这种情况下，这就提供了阻抗现实地从物体夺走的那种力的整个尺度，因为可以认识到，要使物体不损失任何东西，就必须添加一个怎样的单位。
我不得不在这里对侯爵夫人攻击其敌手的定理所用的方式再加以说明。我觉得，她未能选择比她忙于给他的推论一种奇怪和荒唐的特征更好的办法来触及他的最痛之处。一种严肃的介绍将吸引读者作出相关的注意和研究，并使灵魂对所有可能从这一面或者那一面进入它的所有理由开放。但是，她让自己的敌手的意见出现所用的那种奇怪的形态，却立刻抓住了读者弱的一面，在读者心中毁掉了更详尽思考的兴趣。统治判断和反思的那种灵魂力量具有一种懒散和清静的本性；它乐于找到自己的退隐之处，愿意在使它免除一种费力的反思的东西那里流连忘返；因此，它很容易被那些把两种意见中的一种突然置于可能性之下、并宣布进一步研究的辛劳没有必要的观念所俘获。因此，如果我们的女哲学家的敌手不能拥有严肃的理由的话，她本来能够以更多的合理性或者还以更好的成果来运用她的ridendo dicere verum
［笑谈真理］或者笑对她的敌手谈真理的念头，而人们也想让他感到自己的可笑。我在这里所作的说明，会对她那个性别的其他任何人来说都具有一种不合礼仪的品行和某种人们称为学究气的举止的样子；然而，在我所说的这个人物身上表现出的知性和科学的优势，使她超越了她那个性别其他所有人，也超越了另一个性别的大多数人，同时使她失去了人类更美的一半的真正特权，即奉承和以奉承为基础的赞美。
马兰先生的选择之所以杰出，还由于在他的方法中作为被用掉的力的尺度的弹簧不仅是相等的，而且还在同样的时间里受到压迫；因此，无论是莱布尼茨学派还是笛卡尔学派都感到高兴；要是莱布尼茨学派承认力是相等的，他们就坚决要求空间是相等的；而笛卡尔学派则在时间方面要求这一点。
我觉得，除了一根弹簧如果不以与它在另一面用张力撞击物体同样大的力量支撑在一个立柱上并且同样强劲地顶住它，就不可能撞开一个物体之外，我不能讲出任何更确定无疑、更无矛盾的东西了；因此，由于在贝努利先生的事例中除了物体B之外并没有别的立柱，它必须对物体B使用与它对A使用的力量同样大的力量；因为如果B不在阻抗弹簧的伸张时在张力中获得那种力，弹簧就根本不能弹开物体A；因此，由于物体B不是不动的立柱，所以它同样接受了弹簧带给A的所有力。尽管整个世界都是以同样的方式思考的，但约翰·贝努利先生却在对立中找到了一种我也不知道什么样的亮光，他就在此之上建立起一种不可战胜的信心。他说道：Non capio,quid pertinacissimus adversarius,si vel scepticus esset,huic evidentissimae demonstrationi opponere queat
［我不理解，即便最固执的敌手是怀疑论者，他又究竟能用什么来反对这个最清晰的证明］；接着他又说道：Certe in nostra potestate non est,aliquem eo adigere,ut fateatur,discere,quando videt solem horizontem ascendere
［我们肯定没有能力如此逼迫某个人让他承认，一看到太阳升上地平线就学习］。让我们不要冷漠地看待人类理性在一位如此伟大的人物人格中发生的这种巧合，而是要从中学会也给我们最大的信念植入一种明智的怀疑，并且总是猜想即便在这种情况下我们也没有摆脱欺骗我们自己的危险，以便知性至少能够如此长久地保持自己的平衡，直到它获得时间在充分的检验中认识事态、证明和对立面。
正是在我们所说的这篇论文中，贝努利先生指出，人们怎样能够在较短的时间里借助同样多的弹簧的压力给予一个物体同样多的力。我已经在它与我们的事情相关的程度上对它给予了充分的回答。但在这里，我还想再附加一个考察；这个考察虽然与我们的计划无关，但尽管如此却可能有其独特的用处。他在那里说道：无论4根弹簧a、b、c、d是像图23那样排成一条线，还是像图24那样排成相邻的两部分，还是像图25那样排成这样的4份，球体F都通过它们获得同样多的力。
在这里，请注意以下保留条件。只有在前后连贯的弹簧a、b、c、d
还没有给予物体比这些弹簧中的一个单独弹开所用的速度更大的一个速度的情况下，贝努利先生的思想才是正确的；因为一旦是这种情况，人们想按照贝努利先生的估算借助彼此相邻地结合起来的弹簧
给予物体与它们按照先后顺序所能够给予它的同样大的速度，就会落空。也就是说，在图23中一列弹簧直到它们完全伸展开所给予物体的速度是10，而这些弹簧中的一个，例如a，独自伸展开，即是说，不弹开一个物体，所用的速度是8，这样就很清楚，在图25的方法中，这4根弹簧将只能给予物体8个单位的速度。因为一旦物体获得这8个单位的速度，它就拥有与应当弹开它的弹簧在自由弹开时自己所拥有的相同的速度；因此，它们在这种情况下将再也不能带入物体任何东西。然而无可争议的是，如果这个物体F应当通过碰撞又压迫图25中的4根弹簧，那么，它为此与在图23中和图24中一样，需要10个单位的力。但是，由于恰恰这个图25可以是每一个物体的弹性力的写照，所以由此说明，一个完全弹性的物体能够以某个速度撞击一个不动的立柱，尽管如此它弹回所用的速度会比它撞击所用的速度小得多，这是可能的。但是，如果人们乐意让这4根弹簧把自己全部的力都传递给它们撞击的物体，那么，人们就必须给质量F再加上2/10；因为在这种情况下，这4根弹簧将就物质的量而言补偿它们用速度不能带入的东西。
当我在第116页想指出沃尔夫男爵先生的论证中非同一般的错误时，我并没有作出足够清晰的阐述。乍一看，这就好像其中的推论在数学上，即依照aequales rationes sibi substitui invicem possunt［相同的比例可以互相替代］的规则，还足以得出似的；然而，它事实上与这一规则毫无共同之处。前面的事例是：Tempora,quibus duo mobilia,si sunt aequalia,eosdem effectus patrant,sunt reciproce ut celeritates
［两个运动物如果相等，则产生同一种结果所用的时间与其速度成反比］。紧随其后证明的第二点是：Massa corporum inaequllium,quae eosdem effectus patrant,sunt reciproce ut celeritates［产生同一种结果的不相等物体的质量也与其速度成反比］。沃尔夫先生由此得出（因为如果人们对它的论证作出适当的分解的话，它就是这样的）：由于在两个事例中时间和质量的比例等于速度的比例，所以，它们彼此相等。这可以得到赞同，但只是不要忽视它们彼此相等所依的规定，即产生同一结果的不相等物体的质量，其比例完全等于（请注意！）同样的物体施加同样的作用所用的时间；因为这如人们所看到的那样，是与这些比例相联系的限制。然而，沃尔夫先生的结论却是：因此，物体质量的比例等于这些不同的物体施加其相同的作用所用的时间；这是对既定比例关系的明显歪曲。
如果我们的作者只是想到把他想彼此引导出的两个定理相互加以比较，那么，他就必定清楚地看到，它们不仅不能相互引导出，而且甚至还是正好互相矛盾的。也就是说，第一个定理是：Actiones,quibus corpora aequalia eosdem effectus patrant,sunt ut celeritates［相同的物体产生同一种结果所用的活动与其速度成正比］。他想从中引导出证明第二点的结果，即Actiones,quibus corpora inaequalia eosdem effectus patrant,sunt etiam ut ipsorum celeritates;celeritates autem eorum sunt reciproce ut masse［不相同的物体产生同一种结果所用的活动，也与它们的速度成正比；但它们的速度却与其质量成反比］。
如果我们按照第一个定理的尺度假定两个相同的物体A与B，使B的速度2倍于A，那么，按照这一规则，B产生与A相同的结果所用的活动就2倍于物体A的活动，因为前者由于其更大的速度就以1/2的时间完成这一结果。然而，按照第二个规则，我就能使B变成1/2，而尽管速度仍与先前一样大，所说的活动却也与先前一样大。但显而易见的是，如果B是先前的1/2，它的速度仍是同样的速度，它就不可能以与它的质量2倍大的时候同样的时间里作出既定的结果，而是为此需要更多的时间；因此，由于为同样的结果所使用的时间越大，活动就越小，所以在这种情况下，活动就必然比B的质量以同样的速度2倍大的时候更小；而这与第二点相矛盾。
但是，即便人们免除沃尔夫引以为基础的那个定理，即活动可以不相等其结果却相等，所有这些矛盾也依然可以在他计划的证明中发现。一个有死的人从来不会让自己想起予以维护的这一定理，是一个具有人们能够想得出的最佳形式的矛盾。因为活动这个词是一个相对的词，就另一个事物包含着它的理由而言，它表示一个事物中的作用或者结果。因此，结果与活动是同一种东西，含义上的区别仅仅在于，我时而是与那个作为理由的事物相联系考察它，时而在那个事物之外考察它。因此，这无非就是说：一个活动可以与它自身不相等。此外，它之所以有活动的名称，乃是因为一个结果取决于活动，如果在这一活动中能够有一个部分并没有一个与它相等的结果取决于它，则这个部分就不能还有活动的名称。即使产生这些结果的时间是不相等的，被用于它们的活动却可以是相等的，这只能从中得出，在时间相等的情况下，结果以及与结果对应的活动将是不相等的。
简单地说：显而易见的是，在这篇与作者尽人皆知的、备受赞颂的、在作者的财富中最突出抢眼的洞察力根本不一致的论文中出现如此不正常的错误，必定有极其特殊的原因。不难判断，莱布尼茨的荣誉当时被视为整个德国的荣誉，挽救这一荣誉的光荣要求引起了这一努力，并使得证明以比它们在其首创者的光照之外显现出来更为有利得多的形态被阐述。事情本身具有如此可疑的性质，以致为它作的辩护不可能没有错误；但是，对它的巩固却是如此诱人，以致它就没有给冷静的研究留下位置。诸如赫尔曼先生、贝努利先生等等这些著名人物的作为，我要么是已经指出过，要么是将要指出，在这一主题之外人们几乎是根本不可能在他们身上遇到诸如此类的东西的；关于它们，我要说的也正是这些。因此，我谈到的这位人物的荣誉依然是有保障的。我冒昧地如此对待他的防护性文章，如同对待一件不属于他所有的事情似的。此时，他可能会大声告诉我一位年长的哲学家即便在一件事情更准确地涉及他的时候也会叫出的话：你只是击中了阿那克萨库斯的外壳。
[1]
《教育者年鉴》，1690。
*
*论文在228~239页：《戈·威·莱布尼茨：论重力的原因：暨针对笛卡尔学派捍卫自己关于力的自然法则》。——科学院版编者注
[2]
图14
**
。
**康德的图与莱布尼茨［上注引文：235页］所给出的图完全一致，只不过在莱布尼茨那里，杠杆旋转中心处是字母C，康德以F取代之。在康德那里是C的位置，莱布尼茨并没有标注。——科学院版编者注