1.1　可靠性基础

可靠性作为通用质量特性的重要组成部分，主要着眼于减少或消灭故障。而维修性则强调以最短的时间、最低限度的保障资源及最省的费用，使装备保持或迅速恢复到良好状态。所以，可靠性是维修性的基础，维修性是可靠性的重要补充和延续，同时维修性还受可靠性的制约和影响。维修性又依赖于测试性，通过测试进行故障监测和隔离，装备在正常使用、维修、测试过程中又必须依赖于保障性，要求其易于保障。安全性是一种特殊的可靠性，当故障后果导致不安全时，可靠性问题就成了安全性问题。装备的维修性和可靠性是保障性的重要条件，而保障性是可靠性和维修性的归宿。环境适应性主要取决于选用的材料、构件、元器件的耐环境能力及其结构设计、工艺设计时采取的耐环境措施是否完整有效，是以装备是否失效或出现故障为判据的，所以，环境适应性是可靠性的前提和基础，没有较高的环境适应性，可靠性就失去了保证。

由此可见，可靠性与设计、生产、管理和维修保养等诸多因素有关，是装备质量的重要组成部分，也是基本质量目标之一，对装备整体效能的发挥起着至关重要的作用。

1.1.1　可靠性的基本概念

可靠性是产品质量特性，是衡量产品质量的重要指标之一。例如，珠峰的自然环境对通信设备的正常工作是一个极其严峻的考验，珠峰不可能提供常规维护条件，移动基站设备必须达到超常规的稳定性和零故障，以保证通信网络的稳定、可靠运行，从而实现基站设备的“零值守”，不需要现场维护。可见，可靠性也是产品的设计特性。

为了讨论可靠性的关键要素，需要明确可靠性的定义。可靠性是指产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定的功能的能力。可靠性的定义包括以下四个要素。

①规定的条件

产品的可靠性是与“规定的条件”分不开的，规定的条件包括使用环境条件，如温度、振动、湿度、冲击等；工作应力条件；贮存时的贮存条件等。在可靠性工作中，必须强调环境的影响，同一个产品在不同的使用环境条件或工作应力下使用时，其可靠性是不同的。良好环境的失效率与恶劣环境的失效率差别巨大，在进行可靠性设计时应明确产品使用环境和工作应力，以便于在设计时进行这方面的考量。

②规定的时间

产品的可靠性与规定的时间密切相关，因为使用或贮存时间的不同，产品的可靠性也存在较大的差异性，因此应该把对应的环境、工作状态与经历时间联系起来。这里的时间是指广义的时间概念，可以是日历时间、使用时间，也可以是使用次数、里程、循环数等寿命单位。产品的可靠性一般随着时间的推移呈下降趋势。

③规定的功能

产品的可靠性与规定的功能有密切的关系，规定的功能就是产品应具备的技术指标。产品能否完成预定的任务，取决于其各种规定的功能是否正常。对于具有单一功能的简单产品，其无故障工作的定义比较容易；而对于具有多种功能的复杂产品，其无故障工作的定义必须进行细致的分析才能给出，需首先对各组件进行故障模式、影响分析，然后进一步规定各组件性能指标的可接受范围、各组件正常工作的条件，最后给出无故障工作的具体定义。

④具体的度量

可靠性的概率度量称为可靠度，可靠度在数学概率计算上是一个小于或等于1且大于或等于0的值，但对于具体产品其可靠度不可能等于0（即百分之百的不可靠），也不可能等于1（即百分之百的可靠），因此产品的可靠度是一个小于1且大于0的值。

同时，可靠性根据其使用场景又可分为固有可靠性、使用可靠性、基本可靠性和任务可靠性，各可靠性的定义如下。

● 固有可靠性

固有可靠性也可称为设计可靠性，是承制方通过设计和制造赋予产品的，并在理想的使用和保障条件下所呈现的可靠性。固有可靠性用于设计、度量并评价产品的固有能力，只有在规定的条件下和规定的时间内由于设计、制造缺陷导致的故障才在固有可靠性分析考虑的范围内。

● 使用可靠性

使用可靠性是装备在实际使用条件下表现出的可靠性，是对装备在实际使用条件下的使用能力的描述与评价，同时受设计、制造、安装、使用、维修及环境等多方面因素的影响。

● 基本可靠性

基本可靠性是装备在规定的条件下，无故障工作的持续时间或概率。对于一个装备来说，所有的寿命单位和关联故障都在其基本可靠性统计范围内。

● 任务可靠性

任务可靠性是装备在规定的任务剖面中完成规定功能的能力。统计的是规定的任务剖面的任务时间和该任务剖面内出现的故障。

1.1.2　可靠性参数

1.1.2.1　常用的可靠性参数

（1）可靠度

产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率称为产品的可靠度。若以 T 表示产品的寿命，以 t 表示规定的时间，显然，“ T > t ”的事件是一个随机事件。产品的可靠度是用概率来度量的，因此，产品可靠度的数学表达式为

式中： T —产品寿命；

t —规定时间。

显然，当 t= 0时， R (0) = 1；当 t= ∞时， R (∞) = 0

式中： N 0 — t =0时，在规定条件下工作的产品数；

r ( t )—在0～ t 内，累计的故障数。

（2）不可靠度

定义：不可靠度是指在规定的条件下、规定的时间内，产品不能完成规定功能的概率。它也是时间的函数，记作 F ( t )，称为累积失效概率。产品的寿命是一个随机变量，对于给定的时间 t ，概率论中称随机变量 T 不超过规定值 t 的概率为分布函数，因此 F ( t )也是产品的累积失效分布函数，其数学表达式为

显然，产品的可靠度与不可靠度之间，有关系式

（3）失效概率密度函数

若函数 F ( t )是连续可微的，则其导数称为产品的失效概率密度函数。失效概率密度函数 f ( t )表示产品在 t 时刻的单位时间内的失效概率。其数学表达式为

显然，产品的累积失效概率与失效概率密度函数之间有关系式

因而，产品的可靠度可表示为

（4）失效率（也称瞬时失效率）

在 t 时刻，尚未失效的产品，在该时刻后的单位时间内发生失效的概率，称为产品的瞬时失效率，简称失效率。其数学表达式为

由于 ，因而有：

上述两边积分可得到

两边取指数得到

由上式还可以得到

令 ，则称 ψ ( t )为区间[0, t ]上的累积失效概率。

令 ，则称 为区间[0, t ]上的平均失效率。

某些产品的可靠性，特别是电子元器件的可靠性，常用失效率来表示。

1.1.2.2　产品的寿命特征量

（1）平均寿命（MTTF或MTBF）

对于不可修复的产品，平均寿命是指产品发生失效前的工作时间或贮存时间的平均值，通常记作平均失效前时间（Mean Time to Failure，MTTF）；对于可修复的产品，平均寿命是指两次相邻故障间工作时间的平均值，通常记作平均故障间隔时间（Mean Time Between Failure，MTBF）。产品平均寿命的理论值为产品寿命 T 的数学期望，其表达式为：

对于指数分布，有

MTBF是产品平均故障间隔时间或者称为平均无故障工作时间。它用来表征寿命为指数分布的产品的特征寿命。MTBF越大，表明产品的可靠性越高，其故障率就越小。

（2）寿命方差与寿命标准离差 D ( t )

产品寿命 T 的方差称为产品的寿命方差，其理论值为

寿命方差的均方根，称为产品的寿命标准离差。

（3）可靠寿命 ρ r

对于给定可靠度 r ，产品工作至可靠度为 r 的时间，称为可靠度为 r 的可靠寿命。若以 ρ r 表示可靠寿命，则可从方程式 R ( ρ r ) =r 中求出 ρ r 。

（4）中位寿命 ρ 0.5

产品工作到可靠度为50％时的寿命时间，称为产品的中位寿命，显然此时有

（5）特征寿命 ρ e - 1

产品工作到可靠度为e - 1 时的寿命时间，称为产品的特征寿命，显然此时有

1.1.2.3　可靠性参数间的相互关系

由可靠性参数的基本概念可以看出：产品的可靠度与失效分布函数之间为互逆关系，产品失效分布函数与分布密度函数之间为微积分关系，因此可以构成如图1-1所示的关系图。

由图1-1可知，只要知道方框中 R ( t )、 F ( t )、 f ( t )、 λ ( t )这4个函数中的任何一个，就可以顺着箭头方向按相应的方程式，求出所有的可靠性参数。

1.1.3　产品寿命分布

在可靠性工作过程中，常常涉及产品的寿命分布问题。在可靠性实践中，常用指数分布、正态分布、对数正态分布、威布尔分布、超几何分布、伽马分布、贝塔分布来描述产品的失效分布规律。

（1）指数分布

指数分布是可靠性实践中最常见的分布，它的概率密度函数为

式中： λ —失效率。

服从指数分布的产品，在早期失效阶段，失效密度较高，随着时间的推移，失效密度逐渐降低，并趋向恒定。

根据可靠性指标的相互关系，可以得到

当产品寿命服从指数分布时，失效率近似常数。其平均寿命、寿命标准离差和特征寿命都是失效率的倒数。因此，对于寿命服从指数分布的产品而言，只要掌握了产品的失效率就可以知道产品的全部寿命分布特性。

指数分布的一个重要性质是无记忆性。无记忆性是指产品在经过一段时间 t 0 工作之后的剩余寿命仍然具有与原来工作寿命相同的寿命分布，而与 t 0 无关（马尔可夫特性）。这个性质说明，寿命分布为指数分布的产品，过去工作了多久对现在和将来的寿命分布不产生影响。

（2）正态分布

正态分布是一种应用极其广泛的分布，其失效概率密度函数为

我们定义 μ =0， σ =1的正态分布为标准正态分布。对于标准正态分布的分布函数而言，有

对于正态分布函数，统计学和各种数学手册已有专门的数表可查。

若令 ，则有 ， 。利用这种变换可以证明：当产品寿命服从正态分布时，式中参数 μ 就是产品的平均寿命，参数 σ 就是产品的寿命标准离差，而且产品的中位寿命同产品的平均寿命相等。

应用可靠性参数之间的关系图，可以得到产品的累积失效概率 F ( t )、可靠度 R ( t )、失效率 、可靠寿命 、特征寿命 的计算公式为

式中： —标准正态分布的1- r 上侧分位点。

（3）对数正态分布

当正态分布函数的自变量取对数时，就变为对数正态分布函数。它的概率密度函数为

式中： μ —对数均值；

σ 2 —对数方差。

若以 表示标准正态分布的概率密度函数，以 Φ ( x )表示标准正态分布的分布函数，以 K 1 - r 表示标准正态分布函数的1- r 上侧分位点，令 ，则有 ，ln t = xσ + μ 。根据上述关系式，利用可靠性参数之间的关系图，可以证明：累积失效概率 F ( t )、可靠度 R ( t )、失效率函数 、平均寿命 E ( t )、寿命方差 D ( t )、可靠寿命 、中位寿命 、特征寿命 的计算公式为

（4）威布尔分布

瑞典的威布尔构造了一种分布函数。后来人们发现，凡是由于局部失效而导致整体机能失效的串联式模型都能采用这种分布函数来进行描述。这种分布函数具有普遍意义并得到了广泛的应用，尤其适用于机电类产品磨损失效的分布规律描述，并被人们称为威布尔分布函数。威布尔分布函数的形式为

其失效概率密度函数为

式中： m —形状参数；

γ —位置参数；

t 0 —尺度参数。

令 ，则称 为真尺度参数。令 ，则称 Γ ( x )为伽马函数。这种函数在数学手册中有表可查。如果设 ，则有 ， t =( ut 0 ) 1/ m 。根据这些关系式，利用可靠性指标的相互关系图，可以证明：当 γ =0时， 就是产品的特征寿命，而且其可靠度 R ( t )、失效率 λ ( t )、平均寿命 E ( t )、寿命方差 D ( t )、可靠寿命 、中位寿命 的计算公式为

如前所述，威布尔分布能体现产品全寿命期的失效特征，包括早期失效期、偶然失效期和耗损失效期；威布尔分布的一个重要参数是形状参数 m ：

● 当 m <1时，表示产品处于早期失效期。

● 当 m =1时，表示产品处于偶然失效期。

● 当 m >1时，表示产品处于耗损失效期。

威布尔分布的适用范围较广，服从指数分布、正态分布的产品同样可以用威布尔分布来描述：

● 当 m =1， γ =0时，代表指数分布，式中 t 0 即为平均寿命。

● 当 m =3.4时，接近正态分布。

（5）超几何分布

超几何分布的概率计算在抽样方案设计中是计算接收概率的基础，非常重要。

超几何分布常用于连续事件导致系统失效的情况建模。考虑一个具有隐含冗余配置的系统，当两个连续器件发生失效时将导致系统失效，在这种情况下系统的可靠度可用超几何分布来进行建模。假设 N 件产品中有 M 件为次品，从中任取 n ( n≤ M )件产品，设其中次品数为 X ，则称 X 服从超几何分布。若 X 服从超几何分布，则其分布为

期望和方差分别为

由于概率分布的表达式与“超几何函数”的级数展开系数有关，故称为超几何分布。这就说明超几何分布的极限是二项分布。在实际应用时，只要 N≥ 10 n ，就可用二项分布近似计算超几何分布的有关问题。

（6）伽马（ Γ ） 分布

伽马分布可以表示较大范围的失效率函数，包括递减失效率函数、常数失效率函数及递增失效率函数。这种分布模型适用于描述失效分为 n 个阶段发生的情况，或者由于一个系统的 n 个独立的子器件失效导致整体失效的情况。

若随机变量 X 具有概率密度

其中， ，则称 X 服从参数为 的伽马分布，记为 ； 称为形状参数， 称为尺度参数； 称为伽马函数，其表达式为： 。

累积失效分布函数 F ( x )为

其中， 称为不完全伽马函数。

可靠度函数 R ( t )为

当形状参数 α 为整数 n 时，伽马分布即为Erlang分布，这种情况下，累积失效分布函数表示为：

失效率函数为

（7）贝塔分布

当产品或组件的寿命可能被限制在一个时间段时，可以用贝塔分布来描述。贝塔分布最适合描述产品在(0,1)区间内的可靠度。像其他寿命分布的函数都可以描述三种形式（递减、恒定、递增）的失效率一样，贝塔分布的前两个参数也使其可以灵活地描述失效率的特性。贝塔分布的失效概率密度函数的标准形式如下。

x 服从连续分布的失效概率密度函数为

则称随机变量 x 服从带参数 和 β 的贝塔分布（ α >0， β >0）。

由于 ，因此

一般情况下，累积失效分布函数和失效率函数没有解析表达式，但如果 α ， β 是整数，利用二项式展开的方法可以得到 F ( t )，进而得到 h ( t )。 F ( t )是关于 t 的多项式， t 的阶数在一般情况下是介于0和 之间的正实数。

贝塔分布的均值和方差分别为

当参数 时，贝塔分布是（0,1）区间上的均匀分布。 6PSiEqCz+l57hUrf/OvVB/9+S3Ee3sOQ2OQqlUHM7a3PF/gAF0ivNqFvNuPWa6oh