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考虑下面的离散线性时不变系统
式中， x （ k ）∈R d 和 u （ k ）∈R m 分别是系统状态和输入， A 和 B 是适当维数的系统矩阵。不失一般性，假设 A 是不稳定的。与文献[11]一样，我们也假设初始状态 x （0）在一个有界区域内，即
对编码器和解码器都是已知的。编码器对状态量
x
（
k
）编码，然后通过擦除信道发送到解码器。擦除信道的擦除概率为
p
。如文献[95]一样，假设解码器可反馈给编码器一个确认信号，以确认信道中擦除是否发生，因此编码器知道解码器收到什么信息。系统结构如图4-1所示。
图4-1 系统结构
用 S Ack （ k ）∈{0，1}表示在 k 时刻的确认信号，它由解码器发送，由编码器接收。进一步，定义随机变量
S Ack （ k ）（ k =0，1，2，3，…）是独立同分布的，其分布为： P r （ S Ack （ k ）=0）=1 -p ， P r （ S Ack （ k ）=1）= p 。
（1）编码器： k 时刻的编码器是一个从（ x （ k ）， S Ack （ k -1））到 V （ k ）∈ Σ 的映射 E k ，即
Σ 是码字的集合（码书）。注意：编码器不能获得控制输入。
（2）擦除信道：编码器在信道发送端发送
V
（
k
），受噪声等影响，在接收端变为
，被解码器接收。擦除信道是无记忆的，并且满足概率条件
V
（
k
））=1
-p
，
。这里
e
是擦除符号，表示擦除发生。
（3）解码器：
k
时刻的解码器是一个从
到
的映射
D
k
。其中
是
x
（
k
）的估计，即
（4）控制器：控制器K是一个从
到
u
（
k
）∈R
m
的映射，即
为简单起见，我们采用状态反馈控制器
，反馈增益矩阵为
K
。
定义4.1 具有噪声信道的系统式（4-1）是平均渐进稳定的，如果存在编码器、解码器和控制器使得对于由式（4-1）、式（4-3）～式（4-5）构成的闭环系统，原点0∈R d 是平衡点，且 E （|| x k || 2 ）→0， k →∞。其中， E （·）表示数学期望。
定义4.2 具有噪声信道的系统式（4-1）是几乎处处渐进稳定的，如果存在编码器、解码器和控制器使得对于由式（4-1）、式（4-3）～式（4-5）构成的闭环系统，原点0∈R d 是平衡点，且当 k →∞，|| x k || 2 几乎处处趋于0。
在编码方案不使用控制信号的条件下，我们考虑的问题如下。
问题4.1 给定具有噪声信道的系统式（4-1），设计状态反馈矩阵 K 、球极坐标编码器{ E k ，k ≥0}和球极坐标解码器{ D k ，k ≥0}使得系统式（4-1）是平均渐进稳定的。
问题4.2 给定具有噪声信道的系统式（4-1），设计状态反馈矩阵 K 、球极坐标编码器{ E k ，k ≥0}和球极坐标解码器{ D k ，k ≥0}使得系统式（4-1）是几乎处处渐进稳定的。