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本章考虑在反馈回路包括有限码率的噪声信道条件下离散线性时不变系统的稳定性问题。噪声信道位于传感器和控制器之间。本章的任务是在此条件下设计球极坐标编码器、解码器和控制器分别使得系统平均渐进稳定和几乎处处渐进稳定。
近年来，量化反馈控制领域已取得很大进展，如文献[11-12，47，51，73，86]考虑系统可稳性问题和可观性问题，文献[44，63，87-91]考虑系统控制性能与通信性能之间的折中，文献[5，19-20，23，25-26，28，55，65，67，92]考虑保证性能的编码方案设计。在确定信道条件下，保证量化反馈控制系统的可稳性和可观性条件已被广泛研究
[11-12，47，73]
。在噪声信道条件下，相应的条件也已经被研究。例如，采用香农信道容量的概念，文献[51]给出了噪声信道条件下几乎处处渐进稳定性和可观性的必要条件：
C
cap
≥∑
λ
（A）
max{0，log|
λ
（
A
）|}。这里
λ
（
A
）表示系统矩阵
A
的特征值，
C
cap
定义为
是时长为
T
的香农容量。为保证有界矩意义下的稳定性，文献[86]引入任意时间容量（Anytime Capacity）的概念，并给出矩稳定性的充分必要条件。有关噪声信道的其他方面的工作，参见文献[33，55，91，93-96]。
这些条件都基于一个假设：编码器可以使用系统状态和控制输入的过去和当前信息。在实际应用中，编码器获得控制输入信号将导致成本太高且使用不方便。因此，我们更需要编码器不使用控制输入的编码方案。然而，文献[11]指出在编码器不使用控制输入的条件下，获得可稳性和可观性的最小信道码率是很困难的，因为对这种编码器来说，控制输入对系统状态的影响不能从观测值中分离出来，文献[11]称为第二类编码器（Encoder Class Two）。结果就是，所需的信道码率将依赖由被控对象和控制器构成的闭环系统的动态，而不仅仅依赖被控对象的动态。这样，在寻找保证具有噪声信道的系统稳定的最小信道码率之前，需要研究不使用控制输入的编码方案。
本章利用球极坐标量化器设计编码方案保证具有噪声信道的离散线性时不变系统平均渐进稳定和几乎处处渐进稳定。球极坐标量化器利用从直角坐标系到球极坐标系的非线性变换，对系统状态的球极坐标进行量化。编码器/解码器基于系统状态的球极坐标系。