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本节将用球极坐标编码方案解决离散线性时不变系统的稳定性问题，给出球极坐标编码器/解码器的设计方法，并证明系统的渐进稳定性。
定义3.1 [11] 系统是渐进稳定的，如果存在编码器/解码器和控制器满足下列条件：
（1）稳定性：对于任意 ε ＞0，存在 δ （ ε ），使得当|| x 0 || 2 ≤ δ （ ε ）时，|| x t || 2 ≤ ε ，∀ t ≥0。
（2）一致吸引性：对于任意 ε ＞0， δ ＞0，存在 T （ ε，δ ），使得当|| x 0 || 2 ≤ δ 时，|| x t || 2 ≤ ε ，∀ t ≥ T 。
为获得主要结果，我们给出下面引理。
引理3.1 如果 R ∈R d × d 满足 ρ （ R ）＜1，则存在可逆矩阵 P ∈R d × d 使得
δ ( P RP -1 )＜1
其中， ρ （ R ）：=max{| λ |： λ ∈C是 R 的特征值}， δ （ R ）表示矩阵 R 的最大奇异值。
证明：
由
ρ
（
R
）＜1，即
R
稳定，一定存在一个正定对称矩阵
使得
令
。矩阵
的对称正定性保证可逆矩阵
P
的存在性。由式（3-3），有
分别用 P -T 和它的转置左乘和右乘式（3-4），可得到
P -T R T P T P RP -1 ＜ I
这表明
δ ( P RP -1 )＜1
下面我们给出控制器和编码器/解码器的设计方法。
第一步：求 K 和 P ，使得
解的存在性由引理3.1和（ A ， B ）的可控性保证。
第二步：求（ a，M，N ），满足下面的不等式
式中，实数 a ＞0，正整数 M ≥2， N ≥2。解的存在性是显然的。取码书 Σ 使得| Σ |=2（ N -1） M d -1 +1，令码率
第三步：令
满足
由式（3-6），定义
构造码书为 Σ 的量化器（ L t ，N，a，M ）、编码映射 q t 和解码映射 h t ， t =0，1，2，…。
第四步：定义 t 时刻的编码器为
t 时刻的解码器为
定理3.1 如果（ A ， B ）是可控的，则由式（3-5）、式（3-7）、式（3-12）和式（3-13）定义的四元组（ K，R ，{E t ，t ≥0}，{D t ，t ≥0}）可使系统渐进稳定。
证明： 令
Y t = P -1 X t
则闭环系统等价于
由式（3-12）和式（3-13）可得
E t ( P Y t )= q t ( P -1 ( P Y t ))
= q t ( Y t )
和
P -1 D t ( σ t )= P -1 ( P h t ( σ t ))
= h t ( σ t )
所以式（3-14）变为
下面只需要证明系统式（3-15）是渐进稳定的。由式（3-2）和式（3-10），可得到
证明可分成以下三部分。
（1）原点0∈R d 是平衡点。
令 Y 0 =0，由式（3-15）有
Y 1 =( P -1 AP )0+( P -1 BKP ) h 0 ( q 0 (0))
=( P -1 BKP ) h 0 ( q 0 (0))
由于 σ 0 = q 0 （0）代表量化器（ L 0 ， N，a，M ）的量化块
因此由定义2.3有 h 0 （ q 0 （0））=0，这样 Y 1 =0。继续这一过程，则 Y t =0， t =1，2，3，…。
（2）对初始值 Y 0 ，系统轨迹一致收敛到原点。只要证明
t =0，1，2，3，…。由式（3-9）和式（3-11），这蕴含结论成立。用数学归纳法来证明。首先，当 t =0时，式（3-16）蕴含式（3-17）。其次，假设式（3-17）成立，需要证明
如果
，那么由定理2.1有
所以由式（3-15）有
另外，如果
，则由式（3-15）、定义2.2和定义2.3，有
结合式（3-8）、式（3-19）和式（3-20），可得式（3-18）。
（3）平衡点0∈R d 是稳定的。
任给一实数 ϵ ＞0，由式（3-9）和式（3-11），取正整数 T （ ϵ ）使得
设定
取
令
需要证明
首先，对 t =0，式（3-25）显然成立，容易看出反馈控制项
h t ( q t ( Y t ))=0 ,t =0, 1, 2,… ,T ( ϵ )-1
所以有
Y t +1 =( P -1 AP ) t +1 Y 0
再由式（3-21）～式（3-24），进一步有
|| Y t +1 || 2 ≤( δ ( P -1 AP )) t +1 || Y 0 || 2
这表明
|| Y t +1 || 2 ＜ ϵ,t =0,1,2,… ,T ( ϵ )-1
和
最后，式（3-21）和式（3-26）表明
|| Y t +1 || 2 ＜ ϵ,t = T ( ϵ ) ,T ( ϵ )+1 ,T ( ϵ )+2 ,T ( ϵ )+3,…
这样就完成了证明。
注解3.1 由于编码方案的设计可保证系统状态|| Y t || 2 ＜ L t ， t =1，2，3，…，又由式（3-9）和式（3-11）知， L t 可收敛到0，所以系统状态一定趋于原点。这样在式（3-11）中， η 刻画了系统的收敛速率， η 中的变量 M 、 N 、 a （量化器参数）决定信道码率，如式（3-8）和式（3-7）所示。当 M 、 N 取大数值（对应大码率）时，系统的收敛速率变快，反之则变慢，从而式（3-9）体现了系统通信性能与控制性能之间的折中关系。
注解3.2 本章的工作和已有关于动态量化研究的文献不同。在文献[26]中，采用均匀量化器并使用Lyapunov函数方法分析系统的稳定性；在文献[20]中，均匀量化器采用三种工作模式（Zoom-out、Zoom-in/Measurement、Zoom-in/Escape Detection）获得输入—状态稳定。这些量化器没有具体参数化，因此它们不能给出收敛速率与信道码率的约束关系。本章中，基于球极坐标系的量化器是一种参数化的量化器，明确地给出了收敛速率 η 与信道码率 R 的约束关系，该约束关系体现了系统控制性能与通信性能之间的折中。
给定矩阵（ A ， B ），定义下面三个集合
定理3.2 如果（ A ， B ）是可控的，则下列结论成立：
（1）集合 K 、 L 和 M 非空；
（2） K ={ K ：存在 P 使得（ K ， P ）∈ L }；
（3） M ={( KP P T , P P T ):( K , P )∈ L }.
证明： （1）由于（ A ， B ）是可控的，由极点配置定理（见文献[85]）可得，K是非空的。这样由结论（2）和结论（3）可得，L和M是非空的。
（2）由引理3.1可得
K ⊆{ K :∃ P , ( K , P )∈ L }
反之，由于
δ ( P -1 ( A + B K ) P )≥ ρ ( P -1 ( A + B K ) P )
和
ρ ( P -1 ( A + BK ) P )= ρ ( A + BK )
有
K ⊇{ K :∃ P , ( K , P )∈ L }
（3）这可由下面的等价关系得到：
关于（ W ， Q ）的线性矩阵不等式
有可靠的数值解法，因此定理3.2实际上给出第一步中的不等式（3-5）的解法。对于 Q ＞0， Q -1 也有可靠的数值解法，这样所给的设计方法是数值可行的。
注解3.3 Liberzon在文献[26]中指出，只要线性系统是能控的，就可以采用Lyapunov函数方法设计均匀量化器保证系统稳定。而定理3.2表明球极坐标量化器的存在性不依赖控制器的选择，即只要系统能控，则一定存在球极坐标量化器使得系统稳定。因此，采用球极坐标量化器和采用Lyapunov函数方法设计的均匀量化器在保证系统稳定性方面是等价的。也就是说，如果采用球极坐标量化器使系统稳定，则一定可以采用Lyapunov函数方法设计均匀量化器使系统稳定，反之亦然。