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对于笛卡儿坐标系中的向量 X =[ x 1 x 2 … x d -1 x d ] T ∈R d ，利用坐标变换
和
可以将其转换为球极坐标表达形式：
我们先给出球极坐标量化器的抽象定义，然后给出具体解释。
定义2.1 球极坐标量化器是一个四元组（ L，N，a，M ），其中，实数 L ＞0表示支撑球的半径，正整数 N ≥2表示比例同心球的数目，实数 a ＞0表示比例系数，正整数 M ≥2表示将角弧度π平均分割的数目。量化器按如下方法将支撑球
Λ ={ X ∈R d : r＜L }
分割为2（ N -1） M d -1 +1个小的量化块。
（1）量化块集合
，
，
k
=1，2，…，
d
-2，
，由（
i
，
，
，…，
，
s
）索引，其中，
i
=0，1，2，…，
N
-2；
j
k
=0，1，2，…，
M
-1；
k
=1，2，3，…，
d
-2。
s
=0，1，2，…，2
M
-1。量化块的数目为（
N
-1）·
M
d
-2
·2
M
=2（
N
-1）
M
d
-1
。
（2）量化块
。
图2-3所示为二维球极坐标量化器。
图2-3 二维球极坐标量化器
我们现在解释定义2.1的分割方法，对支撑球 Λ ={ X ∈R d ： r＜L }按下面步骤分割成2（ N -1） M d -1 +1个小的量化块：
（1）先沿半径方向按比例分割支撑球。用 N 个同心球面 S i （ i =1，2，3，…， N ），沿半径 r 方向分割支撑球，同心球面 S i 的半径 r i 满足 r i / r i -1 =1+2 a ，即同心球半径成比例。最大球 S N 的半径 r N = L 。
（2）再沿 d -1个角度方向均匀分割支撑球。将角弧度π分割成 M 等份，将角弧度2π分割成2 M 等份。
（3）最里面包含原点的球
不再分割。
注意到0≤ θ 1 ， θ 2 ，…， θ d -2 ≤π，0≤ θ d -1 ≤2π，这样支撑球 Λ 被分割成2（ N -1） M d -1 +1个量化块。球极坐标量化器的参数 a 、 M 和 N 决定系统所需的信道码率，并影响系统稳定性。如何确定这些参数将在以后章节中具体介绍。
为获得球极坐标量化器的一个重要性质，下面我们定义编码映射和解码映射。对于量化器（ L，N，a，M ）， Σ 表示一个元素为2（ N -1） M d -1 +1的集合，每个元素代表一个量化块。 Σ 也被称为码书。
定义2.2 映射
取
所在的量化块
σ
称为编码映射。对位于量化块边界上的点 X ，可按约定好的规则将其映射为码书 Σ 中的一个元素。
定义2.3 满足下面条件的映射
称为解码映射。
如果 σ 表示索引为（ i，j 1 ， j 2 ， j 3 ，…， j d -2 ， s ）的量化块，其中， i =0，1，2，…， N -2； j k =0，1，2，…， M -1； k =1，2，3，…， d -2； s =0，1，2，…，2 M -1，则 h 将 σ 映射为 X ， X 的球极坐标为
如果
σ
表示量化块
，则
h
将
σ
映射为0∈R
d
。