2.1 球极坐标量化器简介

对于笛卡儿坐标系中的向量 X =[ x ₁ x ₂ … x _{d -1} x _d ] ^T ∈R ^d ，利用坐标变换

和

可以将其转换为球极坐标表达形式：

我们先给出球极坐标量化器的抽象定义，然后给出具体解释。

定义2.1 球极坐标量化器是一个四元组（ L，N，a，M ），其中，实数 L ＞0表示支撑球的半径，正整数 N ≥2表示比例同心球的数目，实数 a ＞0表示比例系数，正整数 M ≥2表示将角弧度π平均分割的数目。量化器按如下方法将支撑球

Λ ={ _X ∈R ^d : r＜L }

分割为2（ N -1） M ^{d -1} +1个小的量化块。

（1）量化块集合 ， ， k =1，2，…， d -2， ，由（ i ， ， ，…， ， s ）索引，其中， i =0，1，2，…， N -2； j _k =0，1，2，…， M -1； k =1，2，3，…， d -2。 s =0，1，2，…，2 M -1。量化块的数目为（ N -1）· M ^{d -2} ·2 M =2（ N -1） M ^{d -1} 。

（2）量化块 。

图2-3所示为二维球极坐标量化器。

我们现在解释定义2.1的分割方法，对支撑球 Λ ={ _X ∈R ^d ： r＜L }按下面步骤分割成2（ N -1） M ^{d -1} +1个小的量化块：

（1）先沿半径方向按比例分割支撑球。用 N 个同心球面 S _i （ i =1，2，3，…， N ），沿半径 r 方向分割支撑球，同心球面 S _i 的半径 r _i 满足 r _i / r _{i -1} =1+2 a ，即同心球半径成比例。最大球 S _N 的半径 r _N = L 。

（2）再沿 d -1个角度方向均匀分割支撑球。将角弧度π分割成 M 等份，将角弧度2π分割成2 M 等份。

（3）最里面包含原点的球 不再分割。

注意到0≤ θ ₁ ， θ ₂ ，…， θ _{d -2} ≤π，0≤ θ _{d -1} ≤2π，这样支撑球 Λ 被分割成2（ N -1） M ^{d -1} +1个量化块。球极坐标量化器的参数 a 、 M 和 N 决定系统所需的信道码率，并影响系统稳定性。如何确定这些参数将在以后章节中具体介绍。

为获得球极坐标量化器的一个重要性质，下面我们定义编码映射和解码映射。对于量化器（ L，N，a，M ）， Σ 表示一个元素为2（ N -1） M ^{d -1} +1的集合，每个元素代表一个量化块。 Σ 也被称为码书。

定义2.2 映射

取

所在的量化块 σ

称为编码映射。对位于量化块边界上的点 X ，可按约定好的规则将其映射为码书 Σ 中的一个元素。

定义2.3 满足下面条件的映射

称为解码映射。

如果 σ 表示索引为（ i，j ₁ ， j ₂ ， j ₃ ，…， j _{d -2} ， s ）的量化块，其中， i =0，1，2，…， N -2； j _k =0，1，2，…， M -1； k =1，2，3，…， d -2； s =0，1，2，…，2 M -1，则 h 将 σ 映射为 X ， X 的球极坐标为

如果 σ 表示量化块 ，则 h 将 σ 映射为0∈R ^d 。 hkHxQu3rB6X3L4ckTfusDd6gA7ZIYO5DVncU+E0jUdR1vET9CBARH3vWdXFFiveN