1.2　卫星定位的基本原理

1.2.1　三球交会定位原理

1957年苏联发射了第一颗人造地球卫星，通过在地球上设置的多台确知位置的无线电接收机，可精确地测定卫星运行的轨道。美国科学家敏锐地意识到，如果卫星位置已知，反过来也就能精确地确定地面接收站的地理位置，这就是卫星导航最早的理论基础。卫星导航定位主要采用三球交会定位原理，如图1-4所示。在空间中，如果以卫星的已知位置为球心、以卫星到用户接收机之间距离为半径画出一个球，则用户接收机在这个球面上；以第二颗卫星到用户接收机之间距离为半径也画出一个球，两球相交得到一个圆，则用户接收机在这个圆上；以第三颗卫星与用户接收机之间距离为半径再画一个球，这三个球相交点就是用户接收机的位置。

1.2.2　伪距测量方程

根据三球交会原理，GPS、Galileo、GLONASS、BDS导航系统都采用多星高轨伪随机码的单程测距体制定位，每颗卫星发射准确的定时信号和卫星位置的编码信号，在已知卫星精确空间位置的情况下，接收机通过测量从多个辐射源到达用户的传播时间来确定其位置。理论上，只要接收3颗卫星的信号，就可确定自身的3D空间位置。

GPS卫星依据自己的时钟发出某一结构的测距码，该测距码经过时间 传播到达接收机，接收机在自己的时钟控制下产生一组结构完全相同的测距码——复制码，采用码相关技术，在自相关系数达到最大时使二者完全对齐，从而确定信号传播时延 τ ，对应的卫星到接收机距离= τ × c （参见图1-1）。由于各种误差影响，经过相关处理得到的距离被称为伪距。仅考虑到钟差，设卫星钟差=δ t _j ，由主控站测定，通过导航电文提供给用户；接收机钟差=δ t _R ，电磁波以光速传播，微小的时差将会使距离信息发生大的失真，如果已知4颗卫星到接收机的距离，可建立如下伪距测量方程组：

式中，（ x _i , y _i , z _i ）为观测卫星的空间坐标， i =1,2,3,4；（ x , y , z ）为接收机空间坐标；δ t _R 为接收机钟差；（ d ₁ , d ₂ , d ₃ , d ₄ ）为卫星到接收机天线空间距离的观测值（伪距）。

在式（1-7）中，δ t _R 是用户接收机钟差，是未知量；而卫星位置（ x _i , y _i , z _i ）和δ t _i 可以通过卫星发播的导航电文解算得到。由上述4个方程联立可解出4个未知量（ x , y , z ）和δ t _R ，由此接收机位置被确定。

1.2.3　伪距测量方程求解

如果不计传输过程误差，伪距测量方程可写成：

式中，（ ρ ₁ , ρ ₂ , ρ ₃ , ρ ₄ ）为卫星到接收机天线空间距离的观测值（伪距）。对于上述非线性方程，基于线性化迭代方法，设真位置为（ x , y , z ），设近似位置为 ，令它们之间的差为（ ），用泰勒级数展开，未知的用户位置和接收机钟差由近似分量和增量分量组成，对于单一伪距表示有：

至此，完成了相对于未知数 的线性化。为简化表示，引入新变量，令

式中， 分别表示由用户近似位置指向第 j 颗卫星的单位矢量的方向余弦值，第 j 颗卫星的单位矢量定义如下：

上述方程共有4个未知数，接收机必须至少测定4颗卫星的距离才可解算出接收机的三维坐标。

对于4颗观测卫星，有4个伪距测量方程形成方程组，有：

矩阵形式有：

最后得到：

其解为

一旦算出了未知量，便可计算出用户坐标（ x , y , z ）和接收机的钟差δ t _R 了。

实际上，用户到卫星距离的测量值受多种因素影响，这些误差会转换为矢量 各分量的误差。如果我们通过多于4个伪距测量方程，利用冗余测量方法来减少误差影响，这时可采用最小二乘估计值的方法处理。考虑到传播误差，则伪距测量方程可改写如下：

式中， ρ 为卫星到接收机的几何距离， ρ' 为伪距测量值，δ ρ ₁ 和δ ρ ₂ 分别为电离层和对流层传播时延误差，δ t _R 和δ t ^j 分别为接收机钟差和卫星钟差。

卫星 j 坐标（ x ^j _s , y ^j _s , z ^j _s ）和卫星钟差δ t ^j 可从卫星导航电文中获得。这时伪距测量方程组有：

式中， j 为卫星数， j= 1,2,3,4。上式为考虑了传播误差的伪距测量方程组。

1.2.4　载波相位测量方程及其求解

GPS卫星通过调相技术将测距码和数据码调制到载波L1和L2上。其中，L1上调制有C/A码、P码和数据码（D码）；L2上调制有P码和数据码（D码）。可将卫星信号写为

式中， A _P 、 A _C 为调制到1575.42 MHz载波L1上的振幅； B _P 为调制到1227 MHz载波L2上的振幅； P _K （ t ）为第 K 颗GPS卫星的P码信号； C _K （ t ）为第 K 颗GPS卫星的C/A码信号； D _K （ t ）为第 K 颗GPS卫星的D码信号，即卫星导航电文； ω _L1 为载波L1的角频率， ω _L2 为载波L2的角频率； φ _L1 和 φ _L2 分别为L1和L2的初始相位。

由于测距码码元长度较大，对于高精度应用，将载波相位作为测量量。目前，GNSS载波相位测量已经成为高精度定位的主要方法。在GPS信号中，载波上已调制了测距码和数据码，在进行载波相位测量之前，首先需进行解调，将调制于载波上的测距码和卫星导航电文去掉，重新获得载波（这叫载波重建）。终端接收机接收到的GPS信号可以表达如下：

式中， A _P 、 A _C 为调制到1575.42 MHz载波L1上的振幅； B _P 为调制到1227 MHz载波L2上的振幅； P ^j （ t - t _d ）为第 j 颗GPS卫星的P码信号； C ^j （ t - t _d ）为第 j 颗GPS卫星的C/A码信号； D ^j （ t - t _d ）为第 j 颗GPS卫星的D码信号，即卫星导航电文； t _d 为GPS信号从第 j 颗GPS卫星到达GPS接收机天线的传播时间（也叫传播时延）； ω ₁ 为载波L1的角频率， ω ₂ 为载波L2的角频率； 分别为L1和L2的初始相位； 分别为第 j 颗GPS卫星载波L1和L2的多普勒（Doppler）角频率。从上式可知，第 j 颗GPS卫星发送导航定位信号，既可以用其伪噪声码测量站星距离，又可通过测量载波在用户和GPS卫星处的滞后相位而间接测得同一站星距离，依次解算出用户的实时位置。

GPS卫星环绕地球飞行，GPS用户与GPS卫星之间有相对运动，从而导致GPS接收天线所接收的信号频率与GPS卫星发射频率不同，其中加上了多普勒（Doppler）频移，如图1-5所示。

由图1-5可知：

式中， f _s 为GPS卫星发射载频， f _R 为到达GPS接收天线接收的GPS卫星载频， v _s 为GPS卫星顺轨（切向）速度， α 为用户至卫星矢径与其切向速度之间的夹角。 c >> v _s ，矢径的变化率为

Doppler频移：

测定某一时间间隔（ t ₁ - t ₂ ）内Doppler频移累计值，称为Doppler计数。

式中， f _R 为GPS接收机接收到的载频， f _G 为GPS接收机产生的载波频率。

Doppler计数：

式中， φ _R 为GPS接收机接收到的载波相位； φ _G 为GPS接收机产生的载波相位。由上式可知，通过测量载波相位的变化率可测定GPS信号的Doppler频移。对于一个静态用户，GPS的Doppler频移的最大值约为±4.5kHz。载波相位测量值是其基准载波相位和被测载波相位之差：

φ ^j ( t _R )= φ ^j ( t _S )- φ ( t _R )

（1-26）

式中， φ ^j （ t _S ）为第 j 颗GPS卫星在时元 t _S 的发射载波相位； φ （ t _R ）是GPS接收机在时元 t _R 所产生的基准载波相位。将发射时元 t _S 表述为接收时元 t _R 的函数，有

式中， ρ ^j （ t _S , t _R ）表示第 j 颗GPS卫星在时元 t _S 发射的载波信号于时元 t _R 到达GPS接收机天线所历经距离，又称站星距离。

式中， 是第 j 颗卫星载波频率（ f ），考虑到Δ t = ρ ^j ( t _S , t _R )/ c ，由式（1-28）可得到以周为单位的载波相位测量值。

通过式（1-29）可得到GPS信号接收机的载波相位测量值。由于数据处理都采用GPS时间系统，将其归于GPS时有

式中， N ^j 为第 j 颗GPS卫星发射载波至接收机的滞后相位波数（整周模糊度）； d ^j t 为第 j 颗卫星时钟相对GPS时的偏差； dT 是GPS接收机时钟相对于GPS时的偏差；Δ T _R 为站星距离变化率。整周模糊度的解算是载波相位测量数据处理的一个特殊而又极其重要的问题。

GPS载波相位测量单点定位测量方程，在暂不顾及电离层效应等引起的距离偏差条件下，有

对上式进行线性化有

式中，

用户在时元 t 的三维位置为

如果按伪距测量的单点定位法，也观测4颗GPS卫星，由上式可得如下观测矩阵：

式中，

用户位置改正值为

N ^j 基于下述事实而成立：从初始时元 t ₀ 到观测时元 t 计数始终连续不断，在[ t ₀ , t ]内只有一个波数 N ^j 。由于外界因素锁相跟踪环路失锁，Doppler计数中断（简称周跳）无法保证 N ^j 维持不变，需要进行周跳探测和修复，这是确保高精度定位连续稳定的关键问题。

1.2.5　消除系统误差的差分方法

1．差分方法消除系统误差的基本原理

以双差为例说明差分方法消除系统误差的原理。假设测站r在第 t 历元观测卫星s，则伪距测量方程如下：

式中， 为伪距观测值， 卫星s与站点r的几何距离， 为卫星钟差， 为接收站钟差， 为随机误差， 和 分别为对流层和电离层传输时延误差。

同时，测站k在第 t 历元观测s号卫星，伪距测量方程如下：

测站k和测站r同时观测同一颗卫星s，其单差观测方程为式（1-37）和式（1-36）相减，有

同理，测站k和测站r在第 t 历元，观测卫星l的单差观测方程如下：

由式（1-39）减式（1-38）可得：

当基线很短时，两测站对流层和电离层传输时延误差基本相同，可忽略不计。伪距双差在单差基础上对观测值再进行星间差分，这样可进一步消除传输残差，更重要的是消除接收机钟差影响。式（1-40）是经过双差处理后的伪距测量方程，该方程中仅含3个坐标参数，可以通过伪距测量数据进行解算获得。采用差分方法可消除传输过程中卫星钟差和接收机钟差等系统因素造成的误差，这就是经过多次、双接收机测量，采用差分方法提高测量精度的原理。

由于导航卫星信息传输在一个开放区间进行，在该过程中会受各种影响，产生各种误差，因此码伪距测量方程和载波相位伪距测量方程的观测误差可通过差分GNSS（不同卫星的单差、不同卫星和不同测站的双差，以及不同卫星、不同测站和不同历元间的三差）消除系统误差。两台或多台接收机，其中一台被称为基准（参考）接收机，其位置是经过测绘标校、精确已知的。差分消除误差的方法有两种：一种方法是，在离散的时间内取出基准接收机的测绘位置和其导出位置之间的差值，该差值代表测量时的误差，被记为差分校正量，该校正量可以通过数据链广播到用户接收设备，这样用户接收机可以从其解中去掉这些误差。另一种方法是，在非实时应用中，将差分校正量和用户的位置数据一起存储起来进行后处理。这种非实时的情况多用于测绘行业。

2．局域差分GPS和广域差分GPS

局域差分GPS（LADGPS）是在位置精确已知的地方放置一台GPS参考接收机，通过接收GPS导航卫星信号可计算出其测量位置，将此位置与已知位置的经度、纬度和高程进行差分。GPS参考接收机是一台可进行GPS载波跟踪、自身位置精度可达到毫米级的测量型接收机，对于实时局域差分来说，这些差分量可通过无线电通信链路送达当地本地接收机，本地接收机利用这些数据校正自身的定位结果。这要求所有接收机观测相同卫星的伪距，以确保误差是相同的，通过差分可以消除。在没有必要进行实时定位的情况下，本地接收机可以记录所有的测量位置、确切的时间和卫星数据等，之后加入参考接收机的数据进行后处理，也可得到所需的精确位置。在这两种情况下，测量误差（包括传输时延、接收机噪声、钟差、轨道误差等）都可以被消除。基准站与用户在视距之内的差分被称为局域差分。随着用户与基准站距离增加，有些距离误差变得不相关了。为解决这种问题，可在一个大的地理区域内安装一个基准站网，用地球静止通信卫星广播差分校正量，核对卫星信号的完好性，中央处理站将校正量和完好性数据送至卫星地球站，以便用上行链路送至地球静止卫星，该技术被称为广域差分，相应的系统称为广域差分GPS（WADGPS），有时又称星基增强系统（SBAS）。 H/nG3lTOXCijHdnTZJKNfmLHBQwR0fj5teCqwVQUYhyP/mfJMUQZs5ob77dNUrV0