3.2　天线相位中心的数学模型及求解

3.2.1　天线相位中心的数学模型

天线的远场相位方向图和基准坐标系间的空间几何关系如图3-3所示，在该图中， O 为天线参考点（ARP），被定义为天线基准坐标系原点，与基准坐标系原点 O 相距 的那一点代表了天线PCO。该图中给出了天线PCO和基准坐标系间的空间几何关系。设天线的辐射相位中心在 上 ，天线的辐射方向图可以表示如下：

式中，| f ( θ , φ )|为天线的幅值方向图； 为相位方向图；｜ R - r '｜是GPS/GNSS导航卫星发射天线相位中心到待测天线（接收机天线）平均相位中心的距离； R 表示GNSS卫星发射天线相位中心到接收机天线几何基准点（ARP）的矢径，并被认定为测量的空间几何距离。

如果天线的相位中心固定， r '=常数，则相位方向图为常相位，不是空间角的函数，表明导航信号无论从哪个方向过来，接收天线的相位响应是一样的，不会因为接收天线特性带来附加的相位变化。

实际上，GNSS卫星发射天线相位中心到接收天线PCO的距离是 为接收天线平均相位中心的矢径，由于天线相位中心的变化，载波相位观测量误差随空间位置变化而变化。采用球坐标远场近似，有：

| R - r ' |= R -Δ x sin θ cos φ -Δ y sin θ sin φ -Δ z cos θ

（3-5）

式中，（ θ , φ ）为接收天线平均相位中心的空间角，分别为球坐标系的极角（与 z 轴的夹角）和方位角（与 x 轴夹角）。

假设在测量中以测量参考坐标系原点为基准计算，由式（3-4）可得到对应的伪距误差，可表示如下：

A _P ( ω , θ , φ )=∆ _PCO +∆ _PCV

（3-6）

式中，Δ _PCO 、Δ _PCV 分别为相位中心偏移和相位中心变化带来的伪距误差。考虑到待测接收天线的相心变化量PCV，则接收天线的相位测量量 Ф 可表示如下：

式中， p 是波长的整数倍数， Ф （ θ , φ ）是待测接收天线在观测方向上观测到的相位，单位为“°”；d Ф （ θ , φ ）是观测到的待测天线相对于平均相心的相位偏移量， r ' =（∆ x ,∆ y ,∆ z ）为天线平均相位中心相对于基准点（ARP）的偏移量PCO。用线性尺度表示，式（3-7）可改写如下：

D ( θ , φ )-( R - pλ )+(Δ x sin θ cos φ +Δ y sin θ sin φ +Δ z cos θ )=d Ф ( θ , φ )

（3-8）

式中，左边第一项 ，代表转换成距离的相位测量值；第二项 R - pλ 为一常数， R = ，表示坐标基准点（ARP）到GNSS卫星发射天线相位中心的距离；第三项与待测天线PCO矢径有关，它是空间角的函数。等式右边与待测天线PCV有关，式（3-8）将天线的PCO和PCV与相位测量量用数学表达式关联起来，我们称该式为天线相位中心特性的解算数学模型。

3.2.2　天线相位中心特性的解算模型

前面我们已经提到天线的相位中心特性是从天线远场相位方向图得来的。无论是采用传统的远场测量还是近场扫描测量都可得到天线远场相位方向图。为了完成解算，我们把天线的远场相位方向图测量数据展开成球面空间角 θ 和 φ 的二维数组，假设在每一个仰角下，对方位角测 m 组数据；在每个方位角下，在仰角范围内测 n 组数据，由这些测量数据可得出以下方程：

H _ij =[sin θ _i cos φ _j sin θ _i sin φ _j cos θ _i 1]

D _ij =[ D ( θ _i , φ _j )]

（3-9）

d Ф _ij =[d Ф ( θ _i φ _j )]

i =1,2,…, n ; j =1,…, m

式中， D 是测量值； H 为状态矩阵；d Ф _ij 为相位中心偏移量，可称为误差量。这就是相位中心测量与数据处理数学模型。

3.2.3　天线相位中心特性的求解

在测绘中广泛使用的测量平差法，是基于最小二乘原理的测量数据处理方法。

对于式（3-9），采用最小二乘法使估计的误差平方和（∑d ² Ф （ θ , φ ）），即[ D + H [Δ x ,Δ y ,Δ z ,- Q ] ^T ] ² 达到最小。

最小二乘（或最小方差）法是我们从大量的远场相位方向图样本中提取PCO和PCV的一种有效方法。实现最小二乘法拟合通常采用两种途径：一种是利用常用的矩阵除法的最小二乘拟合；另一种是利用多项式拟合。

1．矩阵除法的最小二乘拟合

利用线性最小二乘准则，在式（3-9）中，矩阵 H 的各列线性无关，可得到的[Δ x ,Δ y ,Δ z ,- Q ] ^T 的唯一解，有

[Δ x ,Δ y ,Δ z ,- Q ] ^T =-[ H ^T H ] ^-1 H ^T D

（3-10）

由此求出（Δ x ,Δ y ,Δ z ），这就是待测天线PCO相对参考点（在基准坐标系）的空间坐标。将计算得到的（Δ x ,Δ y ,Δ z ,- Q ）代入式（3-10）可得到不同空间角下的观测方程，有

d Ф = D + H [Δ x ,Δ y ,Δ z ,- Q ] ^T

（3-11）

式（3-11）表示天线瞬时相位中心相对于PCO随空间角（仰角和方位角）的变化关系，这就是天线PCV的表示式，它可以表示成以（ θ , φ ）为变数的二维曲面，这就是人们常说的相心离散度的空间分布，也可称为改正值。对于式（3-10），仍可采用最小二乘法，从测量数据 D 中标定出测量角域内的PCV。同样，也可采取对PCO求标准差（即均方根误差）的方法获得PCV（1σ）的数值。

2．一次线性的最小二乘拟合

假设：

x ₁ =sin θ _i cos φ _j ； x ₂ =sin θ _i sin φ _j ； x ₃ =cos θ _i ；y= D _ij =[ D ( θ _i , φ _j )]；

i =1,2,…, n ; j =1,…, m

其中， x ₁ 、 x ₂ 、 x ₃ 为输入变量，令

线性拟合关系有：

y = β ₀ x ₁ + β ₁ x ₂ + β ₂ x ₃ + β ₃

（3-13）

如果数据用矩阵表示， β _k 的估计值用 表示，其中， k =0,1,2,3，应用最小二乘法可以求得回归系数矩阵：

求得回归系数矩阵后，代入式（3-12），可以求得 y _{i , j} 的估计值 ，如下：

求得回归系数后，进一步计算残差，有

对应前面， e 即为d Ф ，因此

其中，

这样就可以根据式（3-18）求得待测天线PCO，根据式（3-17）求得待测天线PCV。

3．二次多项式拟合

假设：

x ₁ =sin θ _i cos φ _j ; x ₂ =sin θ _i sin φ _j ; x ₃ =cos θ _i ; x ₄ =(sin θ _i cos φ _j ) ² ;

x ₅ =(sin θ _i sin φ _j ) ² ; x ₆ =(cos θ _i ) ² ; y = D _ij =[ D ( θ _i , φ _j )];

i =1,2,…, n ; j =1,…, m

式中， x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ , x ₆ 为输入变量， y 为输出变量，则可得到线性拟合关系如下：

y = β ₀ x ₁ + β ₁ x ₂ + β ₂ x ₃ + β ₃ x ₄ + β ₄ x ₅ + β ₅ x ₆ + β ₆

（3-19）

如果数据用矩阵表示，则

X = H

β _k 的估计值用 表示，其中， k =0,1,2,3,4,5,6，应用最小二乘法可以求得回归系数矩阵：

求得回归系数矩阵后可以求得 y _{i , j} 估计值 ，如下：

i =1,2,…, n ; j =1,2, …, m

求得回归系数后，进一步计算残差，如下：

对应 e 即为d φ ，有

这样就可以根据式（3-23）求得待测天线PCV。同样，也可以采用多元函数求极值法导出PCO和PCV。 XKmk+diYUi4aP8wjijbdrHmelCts1yzV3D/517lXg6grBFeSCpgBWmdYlTJMtkKA