2.3　GNSS终端接收天线最小增益瓣宽和精度因子

2.3.1　天线最小增益瓣宽和最低截止角

本节讨论的天线最小增益瓣宽和最低截止角是GNSS终端半球波束接收天线特有的概念。为了同时捕获和跟踪4颗以上的卫星，要求GNSS终端接收天线在上半空间有尽可能宽的波瓣。为了抑制多径和杂散影响，又希望天线有高的滚降和前后比，一般称此波束为半球波束。具有半球波束的GNSS接收天线，其峰值增益和最好的极化特性一般都在天顶方向，当高度角向水平方向移动时，增益会迅速跌落，极化也会变差。如果是高增益的窄波束天线，其增益跌落会更大，以致当仰角较低时增益过低而无法捕获和锁定卫星。综合考虑，人们提出了最小增益瓣宽的概念，它是指捕获和跟踪GNSS卫星所要求的天线最小增益对应的空间角域。最小增益瓣宽和天线增益在俯仰面内的变化率决定了天线和接收机能捕获卫星的数目。往往由最低截止角定义GNSS终端接收天线的右旋圆极化增益的最佳辐射方向图。在理想情况下，该最佳辐射方向图在截止角以下空域的增益趋近于零，使其对多径干扰等不敏感。

首先考虑一个无耗且各向同性的理想右旋圆极化天线，其功率密度 ，对应的增益 G =0dBic。如果用一个无限大的金属平板隔离下半空间，则功率密度 ，对应的增益 G =3dBic。假如一根GNSS终端接收天线的辐射限制在以最低截止角 θ _m 为界的上半空间内，对应的覆盖面积减至2π R ² （1-sin θ _m )，对应的RHCP方向性增益=3dB-10lg(1-sin θ _m 。）半球波束天线理想的最小增益瓣宽和极化方向如图2-8所示，当 θ _m =5°时，对应增益=3.396 dBic。对于有24颗卫星的GPS星座，具有5°截止角可观测的卫星数目一般在6到10颗之间变化，即至少有5颗卫星一直在天线的视场中。若抬高最低截止角，则波束宽度减小，进而会使接收天线在捕获和跟踪卫星时可能看到的卫星数目减少，这将影响其精度因子（Dilution Of Precision，DOP，又称精度衰减因子）。

接收机捕获和跟踪GNSS卫星所要求的天线最小增益可以通过计算最小载波噪声密度（ C / N _o ）确定。 C / N _o 与SNR类似， C / N _o 是1 Hz带内的信号功率与噪声功率比，常用dB表示。在无干扰条件和洁净环境中，有下式：

式中， G _RS ( θ _S , φ _S ) _dB 是在（ θ _S , φ _S ）方向上，从卫星接收的功率（dBW），对于GPS-L1 C/A码，大致是-158.5 dBW； G _S （ θ _S , φ _S ）是接收天线对准卫星在该工作频段上的增益； L _dB 是接收机损耗，包括A/D转换损耗（约为-1.9 dB）； k 是玻尔兹曼常数（ k =1.380622×10 ^-23 J/K）； T _eff 是接收机前端的有效噪声温度。

2.3.2　观测卫星的几何精度因子

几何精度因子（Geometric Dilution Of Precision，GDOP，又称几何精度衰减因子）是一个数值，它是从接收机天线捕获卫星的空间几何关系出发，确定对其定位精度影响的一个因素。精度因子（DOP）是用户测距误差转变为定位误差时的扩大倍数。研究表明，对于4颗卫星，最好的GDOP是当1颗卫星在天顶（比如说高度角=90°，方位角=0°），其他3颗卫星以方位角分别为0°、120°、240°等间距地分布在5°截止角面内。较低的截止角能给出更好的精度因子（DOP）和更好的卫星可用性。实际中既没有理想辐射方向图，也没有理想右旋圆极化天线，会有各种损耗存在，但最大增益与理想瓣宽之间总存在关联。

导航学中用精度因子（DOP）这个概念表示对误差的放大倍数。在GNSS导航定位测量中，几何精度因子（GDOP）是观测卫星的空间几何分布对最终定位精度影响的一个重要因素，用此衡量观测卫星的空间几何分布对定位精度的影响。从接收机天线捕获卫星的空间几何布局出发，GDOP的大小与GNSS定位误差成正比。一般针对不同的应用，有以下6种不同的表述类型。

（1）GDOP

GDOP对应于所有参数，包括几何位置（经度、纬度、高程）和钟差引起的等效定位误差（或不确定性）。

式中， σ 是伪距的均方根误差； σ _n 、 σ _e 和 σ _u 分别表示对应北、东、高的位置均方根误差， σ _clock 是由钟差引起的等效定位误差，简称钟差，表示时钟的均方根误差。

（2）PDOP

PDOP是三维位置精度因子，对应于几何位置（经度、纬度、高程）误差。

（3）HTDOP

HTDOP是水平分量和时间精度因子，对应于二维平面（经度、纬度）和时间误差，对海事接收机很重要。

（4）VDOP

VDOP是高程精度因子，用于表示高程误差，对飞机精确着陆系统很重要。

（5）HDOP

HDOP是水平分量精度因子，仅用于表示二维平面（经度、纬度）的误差（不确定性），对航空机载接收机很重要。

（6）TDOP

TDOP是时间精度因子，仅用于表示钟差（不确定性），对需要用GNSS授时的系统很重要。

前面已经提到，用户与卫星空间几何布局有关的各种误差对测量精度的影响可归并到DOP中，DOP可用于表示用户测距误差转变为用户定位误差时的扩大倍数。因此，定位解的标准均方根误差 σ _s 可表示为用户伪距测量均方根误差与几何精度因子之积，有下式：

式中， σ _e 、 σ _n 和 σ _u 分别代表位置东、北、高的位置均方根误差，被称空间精度因子； σ _clock 代表时钟的均方根误差，被称为钟差精度因子（简称钟差）；UERE代表用户伪距测量均方根误差。定位解的标准均方根误差 σ _s 是用户伪距测量均方根误差和几何精度因子的乘积，几何精度因子（GDOP）的值越小，表明定位解与伪距测量值越接近，精度越高。定位解的标准均方根误差是UERE与GDOP之积，因此GDOP对定位精度的影响大。比如，UERE=5 m，PDOP=3，总位置误差可达15 m。该关系也适合于对多普勒（Doppler）频移的导航解。

为简化计算，假设误差都是独立不相关的，且平均值=0，并假设所有测量有相同的均方根误差 σ _r ，数据变量 x 和 y 的协方差如下：

cov( x , y )= E [( x - E ( x ))∙( y - E ( y )) ^* ]

（2-76）

位置协方差可由下式计算得出：

式中， G 是用户与卫星连线的方向余弦矩阵，在东、北、高坐标系中定义卫星位置，从北向东顺时针夹角为方位角，从北向高方向向上为高度角（仰角）。卫星与终端天线的空间几何关系如图2-9所示，在该图中，ARP为天线参考点，即坐标原点； 分别代表卫星与用户连线的仰角和与北向的方位角；d n 、d e 、 d u 分别为北、东、高三个方向的偏移量，有：

d n = r cos ε cos α ；d e = r cos ε sin α ；d u = r sin ε

（2-78）

当用4颗卫星定位时，这4颗卫星构成一个四面体，该四面体体积越大，4颗卫星定位得到的结果就越好。从几何关系看，当4颗卫星构成等边四面体时，其体积最大，这种卫星分布可认为是一种理想的选择。1颗卫星处于用户头顶正上方，其他3颗卫星处于接近地平线位置并且互相之间呈120°夹角的位置，这样的卫星分布可得到较好的定位结果。其方向余弦矩阵如下：

式中，对角线的EDOP、NDOP、UDOP、TDOP分别代表东向精度因子、北向精度因子、高程精度因子和时间精度因子。几何精度因子（标量GDOP）定义为位置协方差矩阵对角线项平方和的方根。

水平精度因子（HDOP）：

几何精度因子（GDOP）：

位置精度因子（PDOP）：

当坐标轴和卫星信号来波方向交角最小时，沿该轴的位置精度是最高的；当天线捕获低仰角卫星信号来波矢量基本均匀分布于近方位面内时，在水平方向GNSS的定位精度HDOP是最佳的。同样，当天线从高仰角卫星捕获到信号时，垂直轴方向UDOP的定位精度是最佳的。

分析表明，对于GPS-24卫星星座，以5°截止角，能观测到的卫星数大致为6～10颗；当1颗卫星在天顶，其余3颗卫星在方位面内并按0°、120°、240°均布，且当截止角被定义为5°时，将方位和高度角值代入 G 矩阵，可得：HDOP=1.16；VDOP=1.26；PDOP=1.83；TDOP=0.64；GDOP=1.72。

截止角=0°的半球覆盖：GDOP=1.63；PDOP=1.73；HDOP=1.13；VDOP=1.15；TDOP=0.57。这些值都是DOP最理想的值。由于天线性能限制、地面遮挡、多径效应和大气损耗等因素的影响，实际上是很难达到的。如果天线捕获到的卫星能使PDOP < 3，HDOP < 2，就可认为卫星的几何布局处于较好状态。在较差的情况下，GDOP在6左右。

几何精度因子也可以从几何关系中导出，可以不用行列式矩阵求解，具体方法如图2-10所示，该图展示了终端天线捕获卫星的PDOP的几何关系。在该图中，用户接收机与4颗卫星连线的4个单位矢量构成四面体，分析表明，PDOP的值为该四面体4个面积之和的平方根除以3倍四面体体积，有

式中， V 是由四个单位矢量连成的四面体的体积，它等于1/3底面积乘以高度（注意：这4颗卫星连成的面，不一定是一个平面）。 b _i ² 是该四面体的4个侧面的面积。当四面体体积最大时，PDOP的值最小。通过增加四面体的底面或增加它的高度都可以使其体积增大。当在方位面选择3颗均匀分布卫星（间隔120°），第4颗卫星选在接近天顶处时，这种卫星布局最佳，可提供最小的PDOP。