1.2　经典代数系统

1.2.1　群

定义1.3 若代数 的二元运算“ ”具有如下性质，则称 为一个 群 .

（1）结合律： .

（2）零元律： 称为 零元 ，

（3）负元律： 称为 的 负元 ，使得 . 元素 的负元常记为 .

若运算 还满足交换律，则 称为 交换群 .

例1.8 在比特集 上定义运算 :

称为 上的 异或 运算. 由上面的运算表可以看到异或运算的一个有趣之处在于： ， （见运算表的第 1 行或第 1 列）， （见运算表的第 2 行或第 2 列）. 下面说明 构成一个交换群.

（1）由运算表关于从左上角到右下角的对角线的对称性得知， 运算具有交换律；

（2）构造真值表

真值表中最后两列的值完全相同，这就验证了 满足结合律 ;

（3）由 的运算表得知 0 是零元；

（4）由 的运算表得知 0 和 1 均为自身的负元.

交换群 在计算机的位运算中扮演着重要角色.

练习1.4 例 1.5 中的字符串代数 是否构成一个群？

（参考答案：否. 提示：无负元）

例1.9 代数系统 中 为全体整数的集合，+ 表示两个整数的加法运算，构成一个交换群，称为 整数群 .

常将群 的运算 称为“加法”运算，根据 的负元律的意义及记号，可得 上的“减法”运算 . 因此，在例 1.9 的整数群 中既可以做加法，也可以做减法.

例1.10 给定正整数 ，考虑集合 . 在 上定义运算

则 构成交换群.

事实上，由运算表定义的 + 运算，就是 中的两个元素之和以 为模的余数，即 为

（1）根据运算表的对称性得知，+ 运算满足交换律

（2） ，即 + 运算满足结合律

（3）观察运算表的首行和首列可知 0 是 + 运算的零元；

（4） 且 的负元为 .

称为模 的 剩余类加群 .

1.2.2　环

定义1.4 若代数 的二元运算 和 具有如下性质，则称 为一个 环 .

（1） 对于运算 构成交换群.

（2）运算 的结合律： .

（3）运算 对 的分配律： 且

例1.11 整数集 对于数的加法和乘法构成的代数 构成一个环，常称为 整数环 . 有理数集 、实数集 以及复数集 对于数的加法和乘法构成的代数也分别构成一个环.

练习1.5 为全体自然数的集合，代数 是否构成一个环？其中 + 和分别表示数的加法和乘法.

（参考答案：否. 提示： 不满足负元律，不能构成一个群）

常将环 的运算 称为“乘法”. 虽然在环 中可以进行“加法”“减法”（“加法”的逆运算）和“乘法”，但未必能进行“除法”——“乘法”的逆运算.

1.2.3　域

定义1.5 若代数 的二元运算 和 具有如下性质，则称 为一个 域 .

（1） 对于 和 构成一个环.

（2） 的交换律： .

（3） 的幺元律： 称为 幺元 ，使得 .

（4） 的逆元律： 且 称为 的 逆元 ，使得 . 非零元素 的逆元常记为 .

例1.12 在例 1.8 的交换群 的基础上添加 上的与运算 （参见例 1.6），即在 上有两个二元运算：

由例 1.8 得知， 构成一个交换群.

由例 1.6 得知， 上的与运算 满足交换律和结合律，且 1 是其幺元. 根据运算表可知， 中唯一的非零元素 1 的逆元是其本身. 最后构造真值表

根据观察，最后两列数据完全一致，可知与运算 对异或运算 具有分配律.

综上所述， 构成一个域.

例1.13 根据域的定义，不难验证代数 和 都构成域，分别称为 有理数域 、 实数域 和 复数域 . 但是，在整数环 中，任何非零元素对乘法运算没有逆元，故不能构成域.

由域 中“乘法” 的逆元律得知，对 中的任一元素 及非零元素 ，可进行“除法”运算 . 也就是说，在域 中可以进行“加”减”“除”除”“除？四则运算. 这完全符合我们对有理数域 、实数域 及复数域 的认知.

1.2.4　线性代数

定义1.6 设 为一个交换群，运算“+”称为加法. 为一个数域，若 ， ，对应唯一的元素 ，记为 ，即

常称“.”为数与 中元素的乘法，简称 数乘法 ^[1] . 数乘运算满足下列性质.

（1）交换律： .

（2）结合律： .

（3）对数的加法 + 的分配律： .

（4）对元素的加法 + 的分配律： . ^[2]

中元素的加法运算“+”连同数乘运算“.”统称为 线性运算 . 定义了线性运算的集合 称为数域 上的一个 线性代数 或 线性空间 ，记为 .

例1.14 设 为一数域， ，由符号 和常数 构成的表达式

称为数域 上 的 一元多项式 ，简称为多项式. 其中，符号 称为 变元 ， 称为 次 项 ， 为 次项的 系数 ， . 非零系数的最大下标 ，称为多项式的 次数 . 时，0 次多项式为一常数 . 定义常数 0 为特殊的零多项式， 零多项式 是唯一没有次数的多项式. 本书规定零多项式的次数为-1 . 常用 表示多项式. 数域 上所有次数小于 的一元多项式构成的集合记为 . 两个多项式 ， ，当且仅当两者同次项的系数相等，即 .

设 ，定义加法

例如， ，则 . 由于多项式的系数来自数域 ，所以满足加法的结合律和交换律；零多项式 为加法的零元；对任一非零多项式 的所有系数取相反数，构成的同次多项式记为 ，为 的负元. 所以 构成一个交换群.

对任意实数 及 ，定义数乘法

例如， ，则 . 由于 和多项式的系数均来自数域 ，故对于 与多项式系数的乘法满足交换律和结合律，且数乘法对加法满足分配律. 所以 构成一个线性空间.

例1.15 区间 上的实值可积函数全体记为 . 根据高等数学 知， . ，函数的和 ，数乘运算为 . 由于 中的任一 为实值可积函数，即函数值均为实数，而 为一个域，故有以下结论.

（1）对于函数的加法，满足交换律、结合律. 零值函数 （0 为零元）， ，且 ，即 有负元. 所以 构成一个交换群.

（2）对于数与函数的乘法， ，满足 综上所述， 构成一个线性代数（线性空间）.

1.2.5　子代数与代数的同构

定义1.7 设 为定义在非空集合 上的运算， 为一代数系统. 且非空，若 也构成一个代数系统，且运算 保持在 中的所有性质，称 为 的一个子 代数系统 ，简称为 子代数 .

例1.16 是 的子群， 是 的子域， 是 的子域. 但 是 的子环而不是 的子域，因为数乘法“.”在 中不具有在 中的逆元律. 由于集合的包含关系 具有传递性，因此子代数的关系也有传递性. 如 也是 的子域.

由定义1.7 及例 1.15 可知， 且非空，要判断 是否为代数系统 的子代数，需同时考察两个条件

（1）运算 对子集 是封闭的；

（2）在子集 中，运算 保持在 中的所有性质. 然而，对线性代数（线性空间）而言，有如下定理.

定理1.1 设 为数域 上的一个线性代数， 且非空， 为 的一个子线性代数（子线性空间）的充分必要条件是加法“+”和数乘法“.”对 是封闭的.

证明 条件的必要性不证自明，下面证明充分性. 由运算的封闭性可知，加法“+”的交换律、结合律，数乘法“.”的结合律及对加法的分配律在 中都是保持的. 由于 是数域，因此 . 又由于数乘法“.”对 是封闭的，因此 ，即 含有零元. 另外， ，必有 ，有 使得 ，即 在 中有负元. 如此， 构成交换群，加之数乘法所满足的所有性质可知 是一个线性代数（线性空间），故它为 的一个子线性代数（子线性空间）.

例1.17 由例 1.15 知，区间 上的实值可积函数全体 对函数的加法“+”和实数与函数的数乘法“.”构成线性代数（线性空间）（ . 记区间 上的实值连续函数全体为 ，则 且非空 . 根据高等数学知识 ，实值连续函数对函数的加法和实数与函数的数乘法是封闭的. 根据定理1.1， 是 的一个子线性代数（子线性空间）.

定义1.8 设两个代数系统 和 均具有 个 元运算 和 . 若存在 到 的“1-1 ”映射 ，使得对每一对运算 和 ，有

即 下 中原像的运算结果对应 中像的运算结果. 称 与 同构 . 称为 与 之间的 同构映射 .

例1.18 考虑例 1.7 中模 4 的剩余类加群 以及代数系统 ，其中 . 两者的加法运算表为

不难验证 也是一个交换群. 建立 与 的“1-1 ”映射 为

则 的加法运算表等价于

即 下 中原像的运算结果对应 中像的运算结果. 所以， 与 同构.

以代数学的观点，同构的代数系统被视为等同的，只需研究其中之一，研究结果适用于所有与之同构的代数系统.

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[1] 准确地说，数乘运算“.”是 到 的一个二元映射.

[2] 此处因 为数域，故自身具有加法（运算符仍用“+”）和乘法（连写，不用运算符）运算，注意在上下文中与 中元素的加法和数乘运算加以区别. ILQRQZCFE9IApc4z366j6dhvMvZRrZAEcxF4A+mtlj1fRMvkwQrrDLjdfCjAop9d