前言

本书以“代数系统”为引领，以“演绎”的方式探讨线性代数的理论与方法.第1章介绍“代数系统”概念——定义了若干运算的集合，以及“经典代数系统”，即群、环、域.以此为起点引入“线性代数系统”，即在一个加法交换群上，添加群中元素与数域中数的乘法运算而得的代数系统——加法运算和数乘法运算统称为线性运算.线性代数系统是很多自然系统与人工系统的数学模型.最经典的线性代数系统之一是第2章详尽讨论的“矩阵代数”，其核心是同形矩阵（具有相同行数、列数的矩阵）集合上的加法和数乘法构成的一个线性代数系统.然而，矩阵集合仅作为线性代数系统，在实际应用上是不够的.在引入矩阵的“乘法”运算后，矩阵代数就成为描述各种问题的重要数学模型.矩阵代数最重要的应用领域之一是本书第3章介绍的线性方程组.基于矩阵的各种运算及性质，第3章不仅给出线性方程组的解法，而且给出了确定方程组的有解条件、解集的结构等重要的结论.这些结论为更深入地探讨第4章中的向量代数系统提供了强有力的计算方法.向量空间不仅是二维平面和三维立体的理论拓展，还可用以描述现实问题.例如，对第2章引入的矩阵，我们可更细致地把矩阵拆解成行向量或列向量，矩阵的线性运算平移到了向量上，矩阵的乘法拆解成了行向量与列向量的“内积”；于是，线性方程组的矩阵形式被拆解成了向量形式，进而成了研究向量间线性关系的“利器”.由于引入了同形向量的内积运算，使得高维向量空间与我们看到的二维平面和三维立体一样有了“几何形象”：向量有“长度”——范数、向量间有夹角，这是本书第5章讨论欧几里得空间的有趣内容.总之，本书以发展的观点讨论线性代数：向量（从同构的视角看，矩阵亦可被视为向量）由最核心的交换群增加数乘法后构成线性代数系统、加入内积运算后构成欧几里得空间……这未尝不是我们构建人造系统的一种思想方法：把问题涉及的对象视为集合，从最基本的处理（运算）方法开始，逐步添加所需的处理（运算）方法，使系统日臻完善.

华罗庚先生在《高等数学引论》的序言中写道：“我讲书喜欢埋些伏笔，把有些重要的概念、重要的方法尽可能早地在具体问题中提出，并且不止一次地提出.”先生的意思是学习者能在书中不同地方逐步体会到这些重要概念、方法的精妙之处.笔者在本书的写作过程中也试着仿照先生的做法：将重要的结论拆分成若干个引理、定理和推论；一些重要但较简单的概念在例题和练习题中提出，让读者在稍后阅读到这些内容时发现这些概念的关键作用.在快节奏的现代社会，读者的时间非常宝贵，为此，笔者将一些定理（包括引理、推论）的比较复杂的理论证明以“本章附录”的形式，放在每章（除第1章夕卜）的末尾，待读者空闲时仔细研读.这样的内容安排既可以让读者流畅地阅读，同时又可以帮助读者深入理解、掌握理论的来龙去脉（对于数学书，笔者极力主张弄懂知识的“来龙去脉”的学习方法）.例题和练习题是理工科图书的作者与读者思想交互的重要“桥梁”，本书共提供了 145道例题、107道练习题.每道练习题都由其之前的例题作为引导，读者可参考相关例题，顺利完成练习题的解答.此外，每道计算型的练习题均有参考答案，可供读者快速检验自己的解题结果.

近年来，Python及其数学包“异军突起”，除了因为其开放代码资源，还因为其代码可直接被嵌入智能系统.本书用Python的科学计算的软件包NumPy来求解书中的所有问题；选择Jupyter Notebook作为程序编写和运行平台，Jupyter Notebook的使用界面与 MATLAB十分接近，非常适合用来做科学计算.本书的所有程序都经过精心调试，并有详尽的注释及说明.为方便读者学习，程序以chapterxx.ipynb（xx表示章的序号）的形式命名. 读者可先启动Jupyter Notebook，然后打开对应文件，调试、运行各个程序.所有的.ipynb 文件和自编的通用函数文件utility.py都保存在笔者的Gitee账号https://gitee.com/xu-zishan下的Algebra-with-Python文件夹内，读者可自行下载并使用这些文件.笔者开通了博客（博客网址是https://blog.csdn.net/u012958850），并将持续维护、更新博文，还会在博客中添加新的例题以及本书的勘误信息，欢迎读者通过博客与笔者沟通、交流.

本书在描述线性代数的基本理论与方法时，尽量采用目前国内外大多数教材上的通用表述法，以便读者阅读.为了与程序代码中的常数“0”进行区分，本书将零向量及仅含一列零或一行零的矩阵用粗斜体小写字母“ o ”表示，将一般的 m 行 n 列的零矩阵用粗斜体大写字母“ 0 ”表示，特此说明.

感谢国防科技大学的刘新旺教授在百忙之中担任本书的主审，为全书的审校工作付出了艰辛的劳动.在本书的编写过程中，刘新旺教授课题组的博士生团队参与了讨论并对书稿提出了大量修改意见，其中，梁科、欧琦媛博士负责第1章，刘吉元、杨希洪博士负责第2章，涂文轩、刘悦博士负责第3章，王思为、文艺博士负责第4章，梁伟轩、文艺博士负责第5章，梁伟轩博士负责各章工作小组的联络、沟通.在此，笔者向刘新旺教授及其团队表示衷心的感谢！

本书编辑联系邮箱为：zhangtao@ptpress.com.cn.

徐子珊