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能用数学语言巧妙而又贴切地表达物理定律是一种绝妙的天赋，而我们既不能明白又不配拥有它。我们应该对此心怀感激，希望它在未来的研究中仍然有效，并且能被发扬光大，无论它是好是坏，也无论它带来的是快乐还是困惑。
——尤金·维格纳，
《数学在自然科学领域的出人意料的效果》
数学有什么用？
在我们的日常生活中，数学究竟为我们做了什么？
在不久之前，这个问题的答案还显而易见。每个市民都会用到基本的算术知识，即使只是在购物时查验账单。木匠需要知道基本的几何知识，测量员和航海人员需要会三角函数，而工程师则需要精通微积分。
但如今的情况不同了。超市的收银机会算好账单，包括所有折扣和销售税。当激光扫描条形码时，我们会听到“哔哔”声，只要这些“哔哔”声和商品匹配，我们就认为这些电子设备知道它们在做什么。许多职业依旧依赖广泛的数学知识，但即使是在这些领域，我们也已经把大部分的数学放进电子设备的内置算法里。
我的学科正是因其自身不被人注意而格外出色。“大象”根本不在房间里。
现在的人们很容易得出这样一个结论：数学已经过时。但这种观点是错误的。没有数学，眼前的世界将会分崩离析。作为证据，我将向你展示它在政治、法律、肾脏移植、超市配送安排、网络安全、电影特效和弹簧制造等方面的应用。我们将会看到数学如何在医疗扫描仪、数码相机、光纤宽带和卫星导航中发挥重要作用。我们还会看到它如何帮助我们预测天气变化，以及如何保护我们免受恐怖分子和网络黑客攻击。
值得注意的是，许多这样的应用都依赖数学，而相关数学的诞生则是出于完全不同的原因，它们通常只是数学家凭感觉而诞生的产物。在创作本书的过程中，意外一直包围着我，因为我发现了一些做梦都不会想到的东西。它们经常会用到一些我从未想过能有实际应用的领域，比如空间填充曲线、四元数和拓扑学。
数学，是一个无边无际、充满创造力的思想和方法体系。它就静静地躺在那些让21世纪焕然一新的变革性技术下面，比如电子游戏、国际航空旅行、卫星通信、计算机、互联网、移动电话。 [1] 你只要滑动一下手机屏幕，就能感受到数学所放出的光芒。
请不要当真。
有一种趋势认为，如今万能的计算机，正在让数学家甚至是数学本身逐渐过时。但事实上计算机永远不会取代数学家，就像显微镜不会取代生物学家一样。计算机改变了我们研究数学的方式，但它主要是把我们从枯燥乏味的工作中解脱出来。它们给予我们思考的时间，帮助我们寻找规律，它们化身为强大的武器帮助我们更快、更高效地推进研究。
事实上，无处不在的物美价廉的计算机正是数学越来越重要的主要原因。它们的出现为将数学应用于现实问题提供了新的机会。那些曾经需要大量计算而无法实现的方法，如今已然成为常规方法。在笔算时代，最伟大的数学家会对需要数十亿次计算的方法感到无助。而如今，我们经常会用这样的方法，因为我们有技术，可以在一瞬间完成所有计算。
我必须补充一点，和无数其他专业一样，数学家长久以来也一直走在计算机革命的前沿。比如乔治·布尔，他开创了符号逻辑，构成了时下计算机架构的基础。又比如艾伦·图灵，他的通用图灵机是一种可以计算任何可计算对象的数学系统。还有穆罕默德·花拉子密，他在820年左右的代数著作中强调了系统化计算过程的作用，如今人们以他的名字Algorithm（直译为“算法”）命名这种过程。
大多数赋予计算机强大能力的算法是基于数学的。许多相关技术用的是现成的数学思想，比如谷歌的页面排序算法（PageRank），它量化了每一个网站的重要性，并以此建立起一个价值数十亿美元的产业。即使是人工智能领域当下最流行的深度学习算法，也使用了经过验证的数学概念，比如矩阵和加权图。即便是一些常见的方法，比如在文档里搜索某串特定字符之类的常规任务，也涉及一种叫作有限状态自动机的数学工具。
数学的作用在这些激动人心的进步中似乎不再那么明显。所以，当下次媒体宣传某些计算机神奇的新能力时，请记住，在科技的翅膀下有许多数学的贡献，当然，也有很多工程、物理、化学和心理学的贡献。倘若没有这些隐秘的帮手，这些数字巨星就无法稳稳地站在聚光灯下。
数学在当今世界的重要性很容易被低估，因为几乎所有的数学都是在幕后进行的。走在城市的街道上，你会被各种各样的标志淹没，它们宣传着银行、果蔬商店、超市、时装店、汽修间、律师、快速餐饮、古董行、慈善机构，以及其他上千种活动和职业的重要性。但你找不到任何一块牌匾上写着“咨询数学家”，你也无法在任何超市买到罐装数学。
然而，只需再深挖一点，数学的重要性很快就会显现。空气动力学的数学方程对设计飞机至关重要。导航依赖三角函数。我们今天运用它的方式与克里斯托弗·哥伦布的方式已然不同，因为我们把数学“装”进了电子设备里，而无须再用笔、墨和航海表，但它们的基本原理是差不多的。新药物的研制依赖统计学来保证药物的安全性和有效性。卫星通信需要深入了解轨道动力学。天气预报需要求解大气运动方程组，它包含了湿度、温度，以及所有这些特征之间的相互作用。这样的例子还有成千上万个，我们之所以没有发现它们和数学有关，因为我们不需要知道这些就能从中获益。
是什么让数学广泛地在人类活动的各个领域这么有用呢？
这不是一个新问题。1959年，物理学家尤金·维格纳在纽约大学做了一个著名的演讲 [2] ，题目是《数学在自然科学领域的出人意料的效果》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）。他主要阐述的是在自然科学领域的情况，但这种出人意料的效果也可以发生在农业、医学、政治、体育等领域中。维格纳希望这些效果能拓展到“广泛的学习领域”，而事实也的确如他所愿。
维格纳的演讲标题里有一个很显眼的关键词：出人意料。通常来说，大部分数学的应用是情理之中的，尤其是当你弄明白解决某个重要问题或者发明某样有用的小工具所涉及的方法时。例如，工程师用空气动力学方程来帮助设计飞机，这就完全是情理之中的，也是创立空气动力学的初衷。许多在天气预报领域使用的数学之诞生也是如此。统计学源于对人类行为数据里的宏观规律的发现。设计变焦眼镜需要用到大量的数学知识，虽然它运用更多的是光学知识。
在维格纳看来，当数学发展的最初动机与最终应用之间没有了这种联系时，数学解决重要问题的能力就会变得出人意料。维格纳在演讲时先说了一个故事，我将大致复述一下。
有两位老同学见面，其中一位是研究人口趋势的统计学家，他给另一位看了一篇他的研究论文。这篇论文从统计学的标准公式入手，即所谓的正态分布（也叫“钟形曲线”）。 [3] 他解释了其中各个符号的意义——这个是人口规模，那个是样本均值，以及公式是如何实现不需要统计每个人就能推算整体规模的。他的同学觉得他在开玩笑，但不太确定，所以就问他论文里的一些其他符号。最终，他问到了符号“π”。
“那是什么？看起来很眼熟。”
“是的，这是π，就是圆的周长和直径的比值。”
“现在我明白你是在逗我了，”朋友说道，“圆怎么可能和人口规模扯上关系呢？”
关于这个故事，第一个有趣的点在于，朋友的怀疑是完全合理的。常识告诉我们，这两个完全不同的概念之间没什么联系。天哪！一个是几何，另一个是人口。第二个有趣的点是，这两者之间还真是有联系的。钟形曲线有一个公式，恰好包含了π这个数。这不是为了方便而选取的近似值，它真的就是我们熟悉的那个π。但它出现在钟形曲线里的原因并不太显而易见，即使对数学家来说也是如此。需要有高阶微积分知识才能明白它为什么会出现，这就是其不够直观的原因。
让我来跟你讲另一个关于π的故事。几年前我们的浴室重新装修，有一位技艺精湛的泥瓦匠来贴瓷砖。他叫斯宾塞，他看到我写了一些畅销数学书籍。“我有一道数学题想请教你，”他说，“我要铺一个圆形的地面，我得知道它的面积来计算我需要多少块瓷砖。这是他们教我的公式……”
“π乘以 r 的平方。”我干脆利落地答道。
“对，就是这个！”于是我教他怎么具体计算。他高兴地离开了，带着他的瓷砖难题、一本我的签名书，还有一个他不再坚持的执念——曾经在学校里学过的数学知识对他现在的工作毫无作用。
这两个故事之间的区别很明显。在第二个故事当中，π的出现本来就是为了解决那类问题。这就是一个关于数学效果的简单而又直接的故事。而在第一个故事中，π也出现并解决了问题，但它的出现令人惊讶。这个故事也说明了出人意料的效果：将一个数学概念应用到另一个与该概念起源毫不相干的领域。
在本书中，我不打算讲太多意料之中的数学应用。它们很有价值，也很有趣，而且是构成数学殿堂的重要部分，它们和其他东西一样都是数学的一部分，它们同等重要；但它们不会让我们惊讶得从座位上跳起来大叫一声“哇！”。它们还会误导掌权者，让他们产生这样的想法：提高数学水平的唯一方法是以问题为导向，所以应该让数学家针对问题去发展所需要的数学领域。这种以目标为导向的研究并没有错，但这样对待数学却无异于自断一臂。历史无数次向我们证明，数学的另一只手臂即人类惊人的想象力的力量。赋予数学如此强大能量的正是这两种方式的结合，二者相辅相成，相得益彰。
举个例子。1736年，伟大的数学家莱昂哈德·欧拉把他的关注点转移到一个人们在桥上散步的小问题上。他知道这很有意思，因为它似乎需要一种全新的几何形式，一种抛弃了常规的长度和角度概念的几何。但他不可能想到，在21世纪，由他的解决方案所产生的学科会帮助很多患者进行肾脏移植手术，从而挽救无数生命。一开始，肾脏移植在当时似乎是个纯粹的幻想，更不用说任何关于肾脏移植会和桥上散步的谜题扯上关系的想法，那简直太荒谬了。
又有谁会想到，空间填充曲线（通过实心方阵内所有点的曲线）的发现，可以帮助外卖平台计划配送路线呢？那些在19世纪90年代研究这些概念的数学家自己肯定想不到这一点——他们只对如何定义诸如“连续性”“维度”这样的深奥概念感兴趣，并且开始意识到之前所珍视的数学信念可能是错的。许多他们的同行开始抨击这种雄心，认为它压根儿就是消极且错误的。但最终每个人都意识到，活在自己的傻瓜天堂里是不对的，天堂被认为一切都是完美的，而事实并非如此。
能被这样用的不仅仅是以前的数学。肾脏移植的方法依赖于欧拉原始发现的众多现代化拓展，其中包括用于组合优化的强大算法。所谓组合优化，就是从大量候选项中挑出最佳选择。电影动画师运用的无数数学技巧中，有许多是在十年前甚至是近期才出现的。比如说“形状空间”，它是一个无限维的曲线空间，如果图形之间仅仅是坐标发生了变化，那么这些图形仍然被认为是相同的。它们使动画序列看起来更流畅、更自然。另一个最近的成果是“持续同调”，它的出现是由于纯数学家希望计算复杂的拓扑不变量，从而确定几何形状中的多维孔洞数量。这个概念也被证实可以为传感器网络实现全面覆盖提供有效的方法，进而保护建筑或军事基地免受恐怖分子或其他罪犯袭击。“超奇异同源图”是源于代数几何的抽象概念，可以使互联网通信不受量子计算机的安全威胁。它们是如此之新，虽然目前仍处于最原始状态，倘若能充分发挥其潜力，它们必将替换今天的密码系统。
数学并不是偶尔才会带来这样的惊喜，这样很好。事实上，在许多数学家看来，这种惊喜恰恰是数学最有趣的地方，也是把它当作一门“学科”的主要理由，它并不是那种五花八门的小把戏，一个问题对应一个花样。
维格纳继续讲道：“数学在自然科学中发挥的巨大作用几近神秘……这种作用没什么合理的解释。”的确，数学在一开始就是由科学问题产生的，但维格纳并没有对这门学科在其原本服务的领域里的效用感到不解，让他感到困惑的是它在那些显然无关的领域里的效用。微积分起源于艾萨克·牛顿对行星运动的研究，所以用它来帮助我们理解行星运动也就不足为奇。然而，令人惊讶的是，它可以被用于统计人口，分析第一次世界大战期间亚得里亚海的捕鱼数量变化 [4] ，管理金融领域的期权定价，帮助工程师设计客机，甚至在电子通信领域它也至关重要。因为微积分本来并不是为了它们而发明的。
维格纳是对的。数学在自然科学和人类活动的大多数领域里不请自来地反复出现的方式很神秘。有人认为，宇宙是由数学“构成”的，而人类只是在发掘其中的基本要素。我不会在这里争论，但如果这个说法是对的，那么原本很神秘的问题就会被另一个更神秘的问题取代——为什么宇宙是由数学构成的？
更确切地说，维格纳认为数学有几个特征，可以帮助其实现这些出人意料的效果。第一，数学与自然科学有着诸多联系，它们在人类世界里化身为充满变革性的技术。这一点我很同意。许多伟大的数学创新都来自科学进步的需要，另一些则来自人类的重视。例如，数源于基本的计数（我有多少只羊？）；几何学源于“测量大地”，它与土地税和古埃及金字塔的建造密切相关；三角函数源于天文、航海和绘制地图。
然而，仅凭这一点并不能令人信服，因为许多其他伟大的数学进步并不是出于科学或某些人类面临的问题。质数、复数、抽象代数、拓扑学——这些发现或发明的原始动机都是人类的好奇心和对模式的追求。这是数学如此有效的第二个原因，即数学家用它寻找模式并梳理其中潜在的结构。他们追求的不是形式上的美，而是逻辑里的美。当牛顿想搞清行星的运动时，他便开始像数学家一样思考并在原始的天文数据里寻找更深层规律，最终找到了结果。紧接着，他便提出万有引力定律。 [5] 类似地，许多伟大的数学思想最初也没有付诸实践的想法。17世纪，以研究数学为乐的律师皮埃尔·德·费马在数论方面取得了重大成果，他发现了常规整数里蕴含的深层规律。但直到三个世纪后，数论领域才取得实际用途，倘若没有它，如今互联网上的商业交易就不可能实现。
自19世纪末以来，数学的另一个特征开始变得越来越明显，那就是普遍性。不同的数学结构具有许多共同特征。初等代数的规则与算术规则一样，各种几何学（欧氏几何、射影几何、非欧几何、拓扑学）彼此都密切相关。这种内在的统一性，可以通过遵循特定规则的一般结构，从一开始就变得很明确。理解了普遍性，所有特例也会变得显而易见，这样可以大大节省精力，否则我们就会因略有不同而重复大量本质上相同的工作。然而，这样也会带来一个缺点——它往往使这门学科变得更加抽象。不仅是熟悉的事物里会有普遍性，拿“数”来打比方的话，普遍性要求任何事物都必须遵循和“数”一样的规律，如“诺特环”“张量范畴”或“拓扑向量空间”。当这种抽象走向极致时，就会很难理解普遍性到底是什么，更不用说运用它了。然而，人类世界的运转如今已经离不开它们。你想用“奈飞”（Netflix）吗？那就得有人用数学来实现。事实就是如此，它并不魔幻。
数学的第四个特征是可移植性，这和我们上面讨论的密切相关。它是普遍性所产生的一个结果，这也是为什么抽象是必要的。它的意思是，不论一个数学概念源于什么问题，其都具有这种普遍性，能够让它在完全不同的问题上发挥作用。所有可以在合适的框架里被重新定义的问题会变容易。要创建具有可移植性的数学，最简单也最有效的方法就是从一开始就有很好的普遍性，使其得以更好地应用可移植性。
在过去的两千年里，数学的灵感主要来自三个方面：大自然、人类活动，以及在人类思维模式中内化的寻找规律的倾向。这三个支柱支撑着整个数学。令人惊奇的是，尽管动机各有不同，但数学始终是一件事。无论这门学科里的各个分支源自何处，它们都与其他分支紧密相连，而且这种联结变得越来越紧密，它们盘根错节，不可分离。
通过这种意想不到的方式，我们引出了数学的第五个特征——统一性。随之而来的还有第六个特征，接下来我会细细讲述，那就是它的多样性。
实在性、美、普遍性、可移植性、统一性、多样性，所有这些共同组成了数学的实用性。
就是这么简单。