三　解答如何产生
——交叉法原理

“昨天讲的3个例子，你们总没有忘掉吧！——若是这样健忘，那就连吃饭、走路都学不会了。”马先生一走进门，还没立定，就笑嘻嘻地这样开场了。大家自然只是报以微笑。马先生于是口若悬河地开始这一课的讲解。

昨天的3个例子，图上都是一条直线，各条直线都表示了两个量所保有的一定关系。从直线上的任意一点，往左看往下看，马上就知道符合某种条件的甲量在不同的状况下，乙量是怎样的情形。如图2-7，每小时走2里，4小时便走8里，5小时便走10里。

这种图，对于我们当然很有用。比如说，你有个弟弟，每小时可走6里路，他离开你出门去了。你若照样画一张图，他离开你后，你坐在屋里，只要看看表，他走了多久，再看看图，就可以知道他离你有多远了。倘若你还清楚这条路沿途的地名，你当然可以知道他已到了什么地方，还要多长时间才能到达目的地。倘若他走后，你突然想起什么事，需要叮嘱他，正好有长途电话可用，只要沿途有地点可以和他通电话，你岂不是很容易就能找到打电话的时间和通话的地点吗？

这是一件很巧妙的事，已落了中国古代小说无巧不成书的老套。古往今来，有几个人碰巧会遇见这样的事？这有什么用场呢？你也许要这样找茬儿。然而这只是一个用来打比方的例子，照这样推想，我们一定能够绘制出一幅地球和月亮运行的图吧。从这上面，岂不是在屋里就可以看出任何时候地球和月亮的相互位置吗？这岂不是有了孟子所说的“天之高也，星辰之远也，苟求其故，千岁之日至，可坐而致也”那副神气吗？算学的野心，就是想把宇宙间的一切法则统括在几个式子或几张图上。

按现在说，这似乎是有些夸大了，姑且丢开，转到本题。算术上计算一道题，除了混合比例那一类以外，总只有一个答案，这个答案靠昨天所讲过的那种图，可以得出来吗？

当然可以，我们不是能够由图上看出来，张老大得9元钱的时候，宋阿二得的是6元钱吗？

不过，这种办法对于这样简单的题目虽是可以得出来，遇见较复杂的题目，就不那么方便了。比如，将题目改成这样：

张老大、宋阿二分15元，怎样分，张老大比宋阿二多得3元？

当然我们可以这样老老实实地去把解法找出来：张老大拿15元的时候，宋阿二1元都拿不到，相差的是15。张老大拿14元的时候，宋阿二可得1元，相差的是13……这样直到张老大拿9元，宋阿二得6元，相差正好是3，这便是答案。

这样的做法，就是对于这个很简单的题目，也需6次才能得出答案。遇到较复杂的题目，或是数目较大的，那就不胜其烦了。

而且，这样的做法，实在和买彩票差不多。从张老大拿15元，宋阿二得不着，相差15，不对题；马上就跳到张老大拿14元，宋阿二得1元，相差13，实在太胆大。为什么不看一看，张老大拿14.9元，14.8元……乃至于14.99元……的时候怎样呢？

喔！若是这样，那还了得！从15到9中间有无限的数，要依次看去，人寿几何？而且比15稍稍小一点儿的数，谁看见过它的面孔是圆的还是方的？

老老实实的办法，就不是办法！人是有理性的动物，变戏法要变得省力气、有把握，才会得到看客的赞赏呀！你们读过《伊索寓言》吧？书中不是说人学的猪叫比真的猪叫更符合人们的期待吗？

所以算术上的解法必须更巧妙一些。

下面，我就来讲交叉法原理。

照昨天的说法，我们无妨假设，两个量间有一定的关系，可以用一条线表示出来。——这里说假设，是虚心的说法，因为我们只讲过3个例子，不能冒冒失失地概括一切。其实，两个量的关系，用图线（不一定是直线）表示，只要这两个量是实量，总是可能的。——那么像刚刚举的这个例子，即包含两种关系：第一，两个人所得的钱的总和是15；第二，两个人所得的钱的差是3，每种关系都可画一条线来表示。

所谓一条线表示两个数量的一种关系，精确地说，就是无论从那条线上的哪一点，横看和竖看所得的两个数量都有同一的关系。

假如，表示两个数量的两种关系的两条直线是交叉的，那么，相交的地方当然是一个点，这个点便是一子双挑了，它继承这一房的产业，同时也继承另一房的产业。所以，由这一点横看竖看所得出的两个数量，既保有第一条线所表示的关系，同时也保有第二条线所表示的关系。换句话说，便是这两个数量同时具有题上的两个关系。

这样的两个数量，不用说，当然是题上所要的答案。

试将前面的例题画出图来看，那就非常明了了，如图3-1所示。

第一个条件，“张老大、宋阿二分15元”，这是两人所得的钱的和一定，用线表示出来，便是 AB 。

第二个条件，“张老大比宋阿二多得3元”，这是两人所得的钱的差一定，用线表示出来，便是 CD 。

AB 和 CD 相交于 E ，就是 E 点既在 AB 上，同时也在 CD 上，两条线所表示的条件它都包含。

由 E 横看过去，张老大得的是9元；竖看下来，宋阿二得的是6元。

正好，9元加6元等于15元，就是 AB 线所表示的关系。

而9元比6元多3元，就是 CD 线所表示的关系。

E 点正是本题的答案。

“两线的交点同时包含着两线所表示的关系。”这就是交差原理。

下面，就这个原理再补充几句。

两线不止一个交点怎么办？

那就是这题不止一个答案。不过，此话是后话，暂且不讨论，以后连续的若干次讲课中都不会遇见这种情形。

两线没有交点又怎样？

那就是这题没有答案。

没有答案还成题吗？

不客气地说，你就可以说这题不通；客气一点儿说，你就说这题不可能。所谓不可能，就是照题上所给的条件，它的答案是不存在的。

比如，前面的例题，第二个条件，换成“张老大比宋阿二多得16元”，画出来，如图3-2所示，两直线便没有交点。事实上，这非常清晰，两个人分15元，无论怎样都不会有一个人比别一个人多得16元的。只有两人暂时将它放着生利息，连本带利到了16元以上再来分。然而，这已超出题目的范围了。

教科书上的题目，是著书的人为了学习的人方便练习编造出来的，所以，只要不是排错，都会有答案。至于到了实际生活中，那就不一定有这样的运气。因此，注意题目是否可能，假如不可能，解释不可能的理由，这也是学习算学的人应当做的工作。 zjfXg0hadE1/VsV8QLx5tcDMlHV4e8+kM+fWsd0Wkc2aMvts7OJlwbVZbYEKyLKj