二　怎样具体地表示数量以及两个数量间的关系

学习一种东西，首先要端正学习态度。现在一般人学习只是用耳朵听先生讲，把讲的牢牢记住，用眼睛看先生写，用手照抄下来，也牢牢记住。这正如拿着口袋到米店去买米，付了钱，让别人将米倒在口袋里，自己背回家就完事一样。把一口袋米放在家里，肚子就不会饿了吗？买米的目的，是把它做成饭，吃到肚子里，将饭消化了，吸收生理上所需要的营养，将不需要的污秽排泄出去。所以饭得煮熟，吃掉，消化了，养料得吸收了，污秽得排出去。就算买的是饭，饭是别人喂到嘴里去的，但进嘴以后的一切工作只有靠自己了。学校的先生所能给予学生的只是生米和煮饭的方法，最多是饭，喂到嘴里的事就要靠学生自己了。所以学习是要把先生所给的米变成饭，自己嚼，自己消化，自己吸收，自己排泄。教科书要成为一本教科书，必须有必不可少的材料，先生给学生讲课也有少不来的话，正如米要成米有必不可少的成分一样，但对于学生不是全有用处，所以读书有些是用不到记的，正如吃饭有些要排出来一样。

上面说的是学习态度的基本——自己消化、吸收、排泄。怎样消化、吸收、排泄呢？学习和研究这两个词，大多数人都在乱用。读一篇小说，就是在研究文学，这是错的。不过，对学习和研究的态度应当一样。研究应当依照科学方法，学习也应当应用科学方法。所谓科学方法，就是从观察和实验中收集材料，加以分析、综合整理。学习也应当如此。要明了“的”字的用法，必须先留心各式各样含有“的”字的句子，然后比较、分析……

算学，就初等范围说，离不开数和量，而数和量都是抽象的，两条板凳和三支笔是具体的，“两条”“三支”以及“两”和“三”全是抽象的。抽象的，按理说是无法观察和实验的，然而为了学习，我们不妨开一个方便法门，将它们具体化。昨天我4岁的小女儿跑来向我要5个铜板，我忽然想要测试她认识数量的能力，便先只给她3个铜板。她说只有3个，我便问她还差几个。于是她把左手的五指伸出来，右手将左手的中指、无名指和小指捏住，看了看，说“差两个”。这就是数量的具体表示的方便法门。这方便法门，不仅是小孩子学习算学的基础，也是人类建立全部算学的基础，我们所用的不是十进数吗？

用指头代替铜板，当然也可以用指头代替人、马、牛，然而指头只有十个，而且分属于两只手，所以第一步就由用两只手进化到用一只手，将指头屈伸着或做出种种形状以表示不同的数。可是如果数大了仍旧不便。好在人是吃饭的动物，这点聪明还有，于是进化到用笔涂点子来代替手指，到这一步自然能表示更多的数了。不过点子太多也难一目了然，而且在表示数和数的关系时更不方便，有必要将它改良。

既然可以用“点”来作具体地表示数的方便法门，当然也可以用线段来代替“点”。严格地说，画在纸上，“点”和线段其实是一样的。用线段来表示数量，第一步很容易想到这两种形式：—， ， ……和|，||，|||……这和“点”一样不方便，应该再加以改良。第二步，何妨将这些线段连结成为一条更长的线段，成为竖的 或横的 呢？本来用多长的线段表示1，这是个人的绝对自由，任何法律也无法禁止。所以只要在纸上画一条长线段，再在这线段上随便作一点算是起点零，再从零开始，依次取等长的线段便得1, 2, 3, 4…

这是数量的具体表示的方便法门。

有了这方便法门，算学上的四个基本法则都可以用画图来计算了。

（1）加法——这用不着说明，如图2-1所示，便是5+3=8。

（2）减法——只要把减数反向画就行了，如图2-2所示，便是8 - 3 = 5。

（3）乘法——本来就是加法的简便方法，所以和加法的画法相似，只需所取被乘数的段数和乘数的相同。不过有小数时，需参照除法的画法才能将小数部分画出来。如图2-3所示，便是5 × 3 = 15。

（4）除法——这要用到几何画法中的等分线段法。如图2-4所示，便是15 ÷ 3 = 5。

图中表示除数的线是任意画的，画好以后，便从0起在上面取等长的任意三段01，12，23，再将3和15连起来，过1画一条线和它平行，这线正好通过5，5就是商数。图中的虚线210是为了看起来更清爽画的，实际没有必要。

看懂四则运算的基础画法了吗？现在再来看两个数的几种关系的具体表示法。

两个不同的数量若是同时画在一条线段上，是要弄得眉目不清的。假如这两个数量根本没有什么瓜葛，那就自立门户，各占一条路线好了。若是它们多少有些牵连，要同居分炊，怎么办呢？正如学地理的时候，我们要明确一个城市在地球上什么地方，得知道它的经度和纬度一样。这两条线一是南北向，一是东西向，自不相同。但若将这城市所在地的经度画一张图，纬度另画一张图，那成什么体统呢？画地球是经、纬度并在一张图上，表示两个不同而有关联的数，现在正可借用这个办法。

用两条十字交叉的线，每条表示一个数量，那交点就算是共同的起点0，这样来源相同，趋向各自的法门，倒也是一件有趣的事。

（1）差一定的两个数量的表示法，如图2-5所示。

例一： 兄13岁，弟10岁，兄比弟大几岁？

用横的线段表示弟的年龄，竖的线段表示兄的年龄，他俩差3岁，就是说兄3岁的时候弟才出生，因而得 A 。但兄13岁的时候弟10岁，所以竖的第十条线和横的第十三条是相交的，因而得 B 。由这图上的各点横竖一看，便可知道：

（Ⅰ）兄几岁（例如5岁）时，弟若干岁（2岁）。

（Ⅱ）兄、弟年龄的差总是3。

（Ⅲ）兄6岁时，是弟年龄的两倍。

……

（2）和一定的两数量的表示法，如图2-6所示。

例二： 张老大、宋阿二分15元，张老大得9元，宋阿二得几元？

用横的线段表示宋阿二得的钱数，竖的线段表示张老大得的钱数。张老大全部拿了去，宋阿二便两手空空，因得 A 点。反过来，宋阿二全部拿了去，张老大便两手空空，因得 B 点。由这线上的各点横竖一看，便知道：

（Ⅰ）张老大得9元的时候，宋阿二得6元。

（Ⅱ）张老大得3元的时候，宋阿二得12元。

……

（3）一数量是另一数量的一定倍数的表示法，如图2-7所示。

例三： 一个小孩子每小时走2里 路，3小时走多少里？

用横的线段表示里数，竖的线段表示时数。第一小时走了2里，因而得 A 点。第二小时走了4里，因而得 B 点。由这线上的各点横竖一看，便可知道：

（Ⅰ）3小时走了6里。

（Ⅱ）4小时走了8里。 01Bc5zddUMjWefT3fJkcJ6nhIl81zPF++IYhi6fBxuS8qyLTOvStrXgXGqya9HzJ