下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
“分数是什么？”这是马先生今天的第一句话。
“是许多个小单位聚合成的数。”周学敏回答。
“你还可以说得明白点儿吗？”马先生鼓励道。
“例如
，就是3个
聚合成的，
对于1作单位说，是一个小单位。”周学敏解释道。
“好！这也是一种说法，而且是比较实用的。照这种说法，怎样用线段表示分数呢？”马先生问。
“和表示整数一样，不过用表示1的线段的若干分之一做单位罢了。”王有道这样回答以后，马先生叫他在黑板上作出图20-1来。其实，这是以前他们都用过的。
“分数是什么？还有另外的说法没有？”马先生等王有道回到座位坐好以后问。一阵静默，没有人回答。他又问：
“
是多少？”
“2！”这谁都知道。
图20-1 分数的表示法图解
“
呢？”
“6。”大家一同回答，心里都认为这是不成问题的问题。
“
呢？”
“0.5。”周学敏回答。
“
呢？”
“0.25。”还是他回答。
“你们回答的这些数，分数的值，怎么来的？”
“自然是除得来的。”依然是周学敏回答。
“自然！自然！”马先生说，“就顺了这个自然，我说，分数是表示两个数相除而未除所成的数，可不可以？”
“……”想着，当然是可以的，但没有一个人回答。大概他们和我一样，觉得有点儿拿不稳吧，只好由马先生自己回答了。
“自然可以，而且在理论上，更合适。——分子是被除数，分母便是除数。本来，也就是因为两个整数相除，不一定除得干净，在除不尽的场合，如13÷5=2……3，不但说起来啰唆，用起来更是大大地不方便，急中生智，才造出这个
来。”
这样一来，变成用两个数合起来表示一个数了。马先生说，就因为这样，分数又有一种用线段表示的方法。他说用横线表示分母，用纵线表示分子，叫我们找
、
、
各点。我们得出了
A
1
、
A
2
和
A
3
，连起来就得直线
OA
。他又叫我们找
、
两点，连起来得直线
OB
。如图20-2所示。
图20-2 用线段表示分数的方法
“
、
和
的值是一样的吗？”马先生问。
“一样的！”我们回答。
“表
、
、
的各点
A
1
、
A
2
、
A
3
，都在一条直线上，由这线上，还能找出其他分数吗？”大家争着，你一句我一句地回答道：
“
。”
“
。”
“
。”
“
。”
“这些分数的值怎样？”
“都和
的相等。”周学敏很快回答，我也是明白的。
“再就 OB 线看，有几个同值的分数？”
“3个——
、
、
。”几乎是异口同声。
“不错！这样看来，表同值分数的点，都在一条直线上。反过来，一条直线上的各点所指示的分数是不是都是同值的呢？”
“……”我想回答一个“是”字，但找不出理由来，最终没有回答。别人也只是低着头想。
“你们试在线上随便指出一点来试试看。”
“ A 8 。”我说。
“ B 4 。”周学敏说。
“ A 8 指示的分数是什么？”
“
。”王有道回答。马先生说这是一个繁分数，叫我们将它化简来看。
B 4 所指示的分数，依样“照葫芦画瓢”，我们得出：
“由这样看来，对于前面的问题，我们可不可以回答一个‘是’字呢？”马先生郑重地问。就因为他问得很郑重，所以没有人回答。
“我来一个自问自答吧！”马先生，“可以，也不可以。”惹得大家哄堂大笑。
“不要笑，真是这样。实际上，本是如此，所以你回答一个‘是’字，别人绝不能提出反证来。不过，在理论上，你现在没有给它一个充分的证明，所以你回答一个‘不可以’，也体现了你虚心求稳的品质。——我补充一句，再过一年，你们学完了平面几何，就会给它一个证明了。”
接着，马先生又提醒我们，将这图从左看到右，又从右看到左。先是：
变成
、
、
、
、
、
；而
变成
、
，它们正好表示扩分的变化，即用同数乘分子和分母。后来，正相反，
、
、
、
、
都变成
；而
、
都变成
。它们恰好表示约分的变化，即用同数除分子和分母。——多么简单、明了且有趣啊！谁说算学是呆板、枯燥、没生趣的呀？
用这种方法表示分数，它的效用就此可叹为观止了吗？不！还有更有趣的呢。
第一，是通分，马先生提出下面的例题。
例一：
化
、
和
为同分母的分数。
解决这个问题真是再轻松不过了。我们只依照马先生的吩咐，画出表示这3个分数
、
和
的3条线——
OA
、
OB
和
OC
，马上就看出来
扩分可成
，
可成
，而
可成
，正好分母都是24，真是简单极了。
第二，是比较分数的大小。
就用上面的例子和图，便可说明白。把3个分数化成同分母的，因为
所以知道
这个结果，图20-3显示得非常清楚， OB 线高于 OA 线， OA 线高于 OC 线，无论这3个分数的分母是否相同，这个事实绝不改变，还用得着通分吗？
图20-3 例一图解
照分数的性质说，分子相同的分数，分母越大的值越小。这一点，图上显示得更清楚了。
第三，这是普通算术书上不常见到的，就是求两个分数间，有一定分母的分数。
例二：
求
和
中间，分母为14的分数。
先画表示
和
的两条直线
OA
和
OB
，由分母14这一点往上看，处在
OA
和
OB
间的，分子的数是6（
C
1
）、7（
C
2
）和8（
C
3
），如图20-4所示。这3点所表示的分数是
、
、
，这便是所求的。
图20-4 例二图解
不是吗？这多么直截了当啊！马先生叫我们用算术的计算法来解这个问题，以作比较。我们共同讨论了一下，得出一个要点：先通分。通分的结果，8、14和18的最小公倍数是504，
变成
，
变成
，所求的分数就在
和
中间，分母是504，分子比196大，比315小。
“这还不够。”王有道说，“因为题上所要求的，限于14作分母。公分母504是14的36倍，分子必须是36的倍数，才约得成14作分母的分数。”这个意见当然正确，而且也是本题要点之一。依照这个意见，我们找出了196和315中间，36的倍数——只有216（6倍）、252（7倍）和288（8倍）这3个。则可得：
与前面所得的结果完全相同，但步骤却烦琐得多。
马先生还提出一个计算起来比这更烦琐的题目，但由作图法解决，真不过是“举手之劳”。
例三： 求分母是10和15中间各整数的分数，分数的值限于0.6和0.7中间。
图20-5中
OA
和
OB
两条直线，分别表示
和
。因此所求的各分数，就在它们中间，分母限于11、12、13和14这4个数。由图上一眼就可以看出来，所求的分数只有下面5个：
图20-5 例三图解
第四，分数怎样相加减？
例四：
求
和
的和与差。
总是要画图的，马先生写完题以后，我就将表示
和
的两条直线
OA
和
OB
画好了，如图20-6所示。
“异分母分数的加减法，你们都已知道了吧？”马先生问。
“先通分！”周学敏答。
“为什么要通分呢？”
“因为把分数看成许多小单位集合成的，单位不同的数，不能相加减。”周学敏加以说明。
“对的！那么，现在我们怎样在图上将这两个分数相加减呢？”
图20-6 例四图解
“两个分数的最小公分母是12，通分以后，
变成
，
A
2
所表示的；
还是
，
B
1
所表示的。在12这条纵线上，从
A
2
起加上5，得
C
1
（
A
2
C
1
等于12
B
1
），
OC
1
这条线就表示所求的和
。”王有道回答。
与求“和”的做法相反，求“差”的做法我也明白了。从
A
2
起向下截去5，得
D
1
，
OD
1
这条线就表示所求的差
。
“ OC 1 和 OD 1 这两条线所表示的分数，最左的一个各是什么？”马先生问。
一个是
，
C
2
所表示的。一个是
，
D
2
所表示的。这个说明了什么呢？马先生指示我们，就是在算术中加得的和，如
，同着减得的差，如
，可约分的时候都要约分。而在这里，只要看最左的一个分数就行了，真便当！