十九　韩信点兵

昨天马先生结束了四则问题以后，叫我们复习关于质数、最大公约数和最小公倍数的知识。晚风习习，我取了一本《开明算术教本》上册，阅读关于这些事项的第七章。从前学习它的时候是否感到困难，印象已模糊了。现在要说“一点儿困难没有”，我不敢这样自信。不过，再也不像从前遇见四则问题那样摸不着头脑了。也许其中的难点我不曾发觉吧！怀着这样的心情，今天到课堂上去听马先生的讲解。

“我叫你们复习的，都复习过了吗？”马先生一走上讲台就问。

“复习过了！”两三个人齐声回答。

“那么，有什么问题？”

每个人都瞪大双眼望着马先生，没有一个问题提出来。马先生在这静默中看了全体一遍：

“学算学的人，大半在这一部分不会感到有什么困难，你们大概也不会有什么问题了。”

我不曾发觉什么困难，照这样说，自然是由于这部分问题比较容易。心里这么想，期待着马先生的下文。

“既然大家都没有问题，我且提出一个来问你们：这部分问题，我们也用画图来处理它吗？”

“那似乎可以不必了！”周学敏回答。

“似乎？可以就可以，不必就不必，何必‘似乎’！”马先生笑着说。

“不必！”周学敏斩钉截铁地说。

“问题不在‘必’和‘不必’。既然有了这样一种法门，正可拿它来试试，看变得出什么花招来，不是也很有趣吗？”说完，马先生停了一停，再问，“这一部分所处理的材料是些什么？”

当然，这是我们都能答得上来的，于是大家抢着说：

“找质数。”

“分解质因数。”

“求最大公约数和最小公倍数。”

“归根结底，不过是判定质数和计算倍数与约数，——这只是一种关系的两面。12是6，4，3，2的倍数，反过来看，6，4，3，2便是12的约数了。”马先生这样结束了大家的话，然后掉转话头：

“闲言少叙，言归正传。你们将横线每一大段当1表示倍数，纵线每一小段当1表示数目，画表示2的倍数和3的倍数的两条线。”

这只是“定倍数”的问题，没有一个人不会画。马先生在黑板上也画了一个，如图19-1所示。

“从这图上，可以看出些什么来？”马先生问。

“2的倍数是2，4，6，8，10，12。”我答。

“3的倍数是3，6，9，12，15，18。”周学敏答。

“还有呢？”

“5，7，11，13，17都是质数。”王有道答。

“怎么看出来的？”

这几个数都是质数，我本是知道的，但从图上怎么看出来的，我却茫然了。马先生这么一追问，真是“实获我心”了。

“ OA 和 OB 两条线都没有经过它们，所以它们既不是2的倍数，也不是3的倍数……”说到这里，王有道突然停住了。

“怎样？”马先生问道。

“它们总是质数呀！”王有道很不自然地说。这一来大家都已发现这里面有漏洞，王有道大概已明白了。大家一齐笑了起来，我也跟着笑了，不过我并未发现这漏洞。

“这没有什么可笑的。”马先生很郑重地说，“王有道，你回答的时候也有点儿迟疑了，为什么呢？”

“由图19-1看，它们都不是2和3的倍数，而且我知道它们都是质数，所以我那样说。但突然想到，25既不是2和3的倍数，也不是质数，便疑惑起来。”王有道这么一解释，我才恍然大悟，漏洞原来在这里。

马先生露出很满意的神情，接着说：“其实这个判定法本是对的，不过欠一点儿精密，你是上了图的当。假如图还可以画得详细些，你就不会这样说了。”

马先生叫我们另画一个较详细的图，如图19-2所示，将表示2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47各倍数的线都画出来（下面的图将右边截去了一部分）。不用说，这些数都是质数。图上50以内的合数可以很清楚地看出来。不过，我有点儿怀疑——马先生原来是要我们从图上找质数，既然把表示质数的倍数的线都画出来了，还用找什么质数呢？

马先生又叫我们画一条表示6的倍数的线—— OP 。他说：“看了这张图，再不会说不是2和3的倍数的数便是质数了。你们再用表示6的倍数的一条线 OP 作标准，仔细看一看。”

经过10多分钟的观察，我发现了：

“质数都比6的倍数少1。”

“不错。”马先生说，“但是应该补充一句——除了2和3。”这确实是我不曾注意到的。

“为什么5以上的质数都比6的倍数少1呢？”周学敏提出了这样一个问题。

马先生叫我们回答，见没有人答得上来，他开始自问自答：

“这只是事实问题，不是为什么的问题。换句话说，便是整数的性质本来如此，没有原因。”对于这个解释，大家好像都有点儿莫名其妙，没有一个人说话。

“一点儿也不稀罕！你们想一想，随便一个数，用6去除，结果怎样呢？”马先生接着说。

“有的除得尽，有的除不尽。”周学敏回答。

“除得尽的就是6的倍数，当然不是质数。除不尽的呢？”

没有人回答，我也想得到有的是质数，如23；有的不是质数，如25。马先生见没人回答，便这样说：

“你们想想看，一个数用6去除，若除不尽，它的余数是什么？”

“1，例如7。”周学敏答。

“5，例如17。”另一个同学答。

“2，例如14。”又是一个同学接着答。

“4，例如10。”其他两个同学同时说。

“3，例如21。”我也想到了。

“没有了。”王有道来了一句结束语。

“很好！”马先生说，“用6除剩2的数，有什么数可把它除尽吗？”

“2。”我想它用6除剩2，当然是个偶数，可用2除得尽。

“那么，除了剩4的呢？”

“一样！”我高兴地说。

“除了剩3的呢？”

“3！”周学敏快速地说。

“用6除了剩1或5的呢？”

这下我也明白了。5以上的质数既然不能用2和3除得尽，当然也不能用6除得尽。用6去除不是剩1便是剩5，都和6的倍数差1。

马先生又提出一个问题：“5以上的质数都比6的倍数差1，掉转头来，可不可以这样说：比6的倍数差1的都是质数？”

“不可以！”王有道说，“例如25是6的4倍多1，35是6的6倍少1，都不是质数。”

“这就对了！”马先生说，“所以你刚才用不是2和3的倍数来判定一个数是质数，是不精密的。”

“马先生！”我的疑问始终不能得到解释，趁他还没有继续说下去，我便问：“由作图的方法怎样可以判定一个数是不是质数呢？”

“刚才画的线都是表示质数的倍数的，你们会想到，这不能用来判定质数。但是，如果从画图的过程看，就可明白了。首先画的是表示2的倍数的线0 A ，由它，你们可以看出哪些数不是质数？”

“4, 6, 8……一切偶数。”我答道。

“接着画表示3的倍数的线0 B 呢？”

“6, 9, 12……”一个同学说。

“4不是质数，那就画表示5的倍数的线0 C 。”这一来又得出它的倍数10, 15……再依此类推，6已是合数，所以只好画表示7的倍数的线0 D 。接着，8, 9, 10都是合数，只好画表示11的倍数的线0 E 。照这样做下去，把合数渐渐地淘汰了，所画的线表示的不都是质数的倍数了吗？——这个图，我们不妨叫它质数图。”

“我还是不明白，用这张质数图，怎样判定一个数是否为质数。”我跟着发问。

“这真叫百尺竿头，只差一步了！”马先生很诚恳地说，“你试举一个合数与一个质数出来。”

“15与37。”

“从15横着看过去，有些什么数的倍数？”

“3的和5的。”

“从37横着看过去呢？”

“没有！”我懂了。在质数图上，由一个数横看过去，若有别的数的倍数，它自然是合数；如果一个也没有，它就是质数。不只这样，例如15，还可知道它的质因数是3和5。最简单的，6含的质因数是2和3。马先生还说，用这个质数图把一个合数分成质因数也是容易的。其法则是这样的：

例一： 将35分成质因数的积。

由35横看到 D 得它的质因数，有一个是7，往下看是5，它已是质数，所以

35=7×5

本来，若是这图的右边没有被截去，7和5都可由图上直接看出来。

例二： 将12分成质因数的积。

由12横看得 Q ，表示3的4倍。4还是合数，由4横看得 R ，表示2的2倍，2已是质数，所以

12=3×2×2=3×2 ²

关于质数图的作法，以及用它来判定一个数是否质数，用它将一个合数拆成质因数的积，我们都已明白了。马先生提出求最大公约数的问题，前面说过的既然已明了，这自然是迎刃而解的问题了。

例三： 求12，18和24的最大公约数。

从质数图上（如图19-3所示）我们可以看出，24，18和12都有约数2，3和6，它们都是24，18，12的公约数，而6就是所求的最大公约数。

“假如不用质数图，怎样由画图法找出这3个数的最大公约数呢？”马先生问王有道。王有道一边思索，一边用手指在桌上画来画去，后来他这样回答：

“把最小一个数以下的质数找出来，再画出表示这些质数的倍数的线，从这些线上就可看出各数所含的公共质因数，而它们的乘积就是所求的最大公约数。”

例四： 求6，10和15的最小公倍数。

依照前面各题的解法，本题再容易不过了。 OA ， OB ， OC 相应地表示6，10，15的倍数。 A 、 B 和 C 同在30的一条横线上，30便是所求的最小公倍数，如图19-4所示。

例五： 某数，3个3个地数，剩1个；5个5个地数，剩2个；7个7个地数，也剩1个，求某数。

马先生写好了这个题，叫我们讨论画图的方法。自然，这不是很难，经过一番讨论，我们就画出图19-5来。1 A ，2 B ，1 C 各线分别表示3的倍数多1，5的倍数多2，7的倍数多1。而这3条线都经过22的线，22即是所求的那个数。——马先生说，这是最小的一个，加上3，5，7的公倍数，都合题。——不是吗？22正是3的7倍多1，5的4倍多2，7的3倍多1。

“你们用画图的方法找到了答案，但算法是什么呢？”马先生这一问把我们难住了。有人说是求它们的最小公倍数，这当然不对，3，5，7的最小公倍数是105呀！又有人说，从它们的最小公倍数中减去3，除所余的1。也有人说减去5，除所余的2，自然都不是。从图上仔细看去，也毫无结果。最终只好去求教马先生了。他见大家都束手无策，便开口道：

“这本来是咱们中国的一个老题目，它还有一个别致的名称——韩信点兵。关于它的算法，有诗一首：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，除百零五便得知。

你们懂得这诗的意思吗？”

“不懂！不懂！”许多人都说。

于是马先生解释道：

“这也和‘无边落木萧萧下’的谜一样。三人同行七十稀，是说3除所得的余数用70去乘它。五树梅花廿一枝，是说5除所得的余数，用21去乘。七子团圆月正半，是说7除所得的余数用15去乘。除百零五便得知，是说把上面所得的三个数相加，加得的和若大于105，便把105的倍数减去。因此得出来的，就是最小的一个数。好！你们依照这个方法将本题计算一下。”

下面就是计算的式子：

1×70+2×21+1×15=70+42+15=127

127−105=22

奇怪！对是对了，但为什么呢？周学敏还遗漏了一个题，“三三数剩二，五五剩三，七七数剩四”来试，式子如下：

2×70+3×21+4×15=140+63+60=263

263−105×2=263−210=53

53正是3的17倍多2，5的10倍多3，7的7倍多4。真奇怪！但是为什么？

对于这个疑问，马先生说，把上面的式子改成下面的形式，就明白了。

“这3个式子，可以说是同一个数的3种解释：①表明它是3的倍数多2。②表明它是5的倍数多3。③表明它是7的倍数多4。这不正和题目所给的条件相合吗？”马先生说完，王有道似乎已经懂得，但又有点儿怀疑的样子。他犹豫了一阵，向马先生提出这么一个问题：

“用70去乘3除所得的余数，是因为70是5和7的公倍数，又是3的倍数多1。用21去乘5除所得的余数，是因为21是3和7的公倍数，又是5的倍数多1。用15去乘7除所得的余数，是因为15是5和3的倍数，又是7的倍数多1。这些我都明白了。但，这70，21和15是怎么找出来的呢？”

“这个问题，提得很好！”马先生说，“这类题的要点，就在这里。但，这些数的求法说来话长，你们可以去看开明书店出版的《数学趣味》，里面就有一篇专讲《韩信点兵》的——不过，像本题，3个除数都很简单，70，21，15都容易推出来。5和7的最小公倍数是什么？”

“35。”一个同学回答。

“3除35，剩多少？”

“2——”另一个同学回答。

“注意！我们所要的是5和7的公倍数，同时又是3的倍数多1的一个数。35当然不是，用2去乘它，得70，既是5和7的公倍数，又是3的倍数多1。至于21和15情形也相同。不过21已是3和7的公倍数，又是5的倍数多1；15已是5和3的公倍数，又是7的倍数多1，所以用不着再拿什么数去乘它了。”

最后，他还补充了一句：

“我提出这个题的原意，是要你们知道，它的形式虽和求最小公倍数的题相同，实质却是两回事，必须要加以注意。” Pk4RegKX8CliV5yD+B3ncmkhm67N04dX7FMIvj6i3MSqhqwzXBQlWJlXGpmULS+C