大家所提到的,只剩下面3个题目了。
例一: 有人自日出至午前10时行19里125丈,自日落至午后9时行7里140丈,求昼长多少?
素来不皱眉头的马先生,听到这题却皱了眉头。——这题真难吗?
似乎真是“眉头一皱,计上心来”一样,马先生对于他的皱眉头这样加以解释:
“这题的数目太啰唆,什么里、丈,‘纸上谈兵’,真是有点儿摆布不开。我来把题目改一下吧!——有人自日出至午前10时行10里,自日落至午后9时行4里,求昼长多少?
“这个题的要点是‘从日出到正午,和自正午到日落,时间相等’。因此,用纵线表时间,我们不妨画18小时,从午前3时到午后9时,那么,正午前后都是9小时。既然从正午到日出、日落的时间一样,就可以假设这人是从午前3时走到午前10时,共走14里,所以得表示行程的 OA 线。”
这自然很明白了,将 OA 延长到 B ,所表示的就是,假如这人从午前3时一直走到午后9时,便是18小时共走了36里。他的速度,由 AB 线所表示的“定倍数”的关系,就可知是每小时2里了。(这是题外的文章)
“午后9时走到36里,从日落到午后9时走的是4里,回到32里的地方,往上看,得 C 点。横看,是午后7时,可知日落是在午后7时,距离正午7小时,所以昼长是14小时,如图18-1所示。”
图18-1 例一图解
由此也就得出了计算法:
4里÷2里/小时=2小时——日落到午后9时的小时数
(10里+4里)÷(9-2)小时=2里/小时——速度
依样“照葫芦画瓢”,例一的计算如下:
9 - 2——从午前3时到10时的小时数
(19里125丈 + 7里140丈)÷(9 - 2)小时=3里145丈/小时——速度
7里140丈 ÷ 3里145丈/小时 = 2小时——从日落到午后9时的小时数
(9-2)小时 × 2 = 14小时——昼长
例二: 有甲、乙两旅人,乘三等火车,所带行李共200斤,除二人三等车行李无运费的重量外,甲应付超重费1.8元,乙应付1元。若把行李分给一人,则超重费为3.4元,三等车每人所带行李不超重的重量是多少?
我居然也找到了这题的要点,从3.4元中减去1.8元,再减去1元,加上3.4元便是超重的行李应当支付的超重费。但图18-2还是由王有道画出来的,马先生对于这题没有发表意见。
用横线表示钱数,3.4元( OC )减去1.8元( OA ),再减去1元( AB ),只剩六角( BC ),将这剩下的钱加到3.4元上去便得4元( OD )。
图18-2 例二图解
这就表明若200斤行李都要支付超重费,便要支付4元,因此得 OE 线。从六角的一点向上看得 F ,再横看得30斤,就是所求的重量。
(34角 - 18角 - 10角)÷[(34角+ 34角 - 18角 - 10角)÷200斤]= 30斤——所求的斤数
例三: 有一个两位数,其十位数字与个位数字交换位置后与原数的和为143,而原数减其倒转数 为27,求原数。
“用这个题来结束所谓四则问题,倒很好!”马先生在疲惫中显得兴奋,“我们暂且丢开本题,来观察一下两位数的性质。这也可以勉强算是一个科学方法的小演习,同时也是寻求解决问题——算学的问题自然也在内的门槛。”说完,他就列出了下面的数据:
“现在我们来观察,或者说是实验也无妨。”马先生说。
“原数和倒转数的和是多少?”
“33, 55, 77, 121, 121。”
“这几个数有什么规律吗?”
“都是11的倍数。”
“我们可以说,所有两位数同它的倒转数的和都是11的倍数吗?”
“……”没有人回答。
“再来看各是11的几倍?”
“3倍,5倍,7倍,11倍,11倍。”
“倍数和原数有什么关系吗?”
我们静静地看了一阵,四五个人一同回答:
“原数数字的和是3, 5, 7, 11, 11。”
“你们能找出其中的理由来吗?”我们被问住了,集体沉默。
“12是由几个1、几个2合成的?”马先生引导我们。
“十个1,一个2。”王有道回答。
“它的倒转数呢?”
“一个1,十个2。”周学敏回答。
“那么,它俩的和中有几个1和几个2?”
“11个1和11个2。”我也明白了。
“11个1和11个2,共有几个11?”
“3个。”许多人回答。
“我们可以说,凡是两位数与它的倒转数的和,都是11的倍数吗?”
“可——以——”我们真是快活极了。
“我们可以说,凡是两位数与它的倒转数的和,都是它的数字和的11倍吗?”
“当然可以!”大家一齐回答。
“这是此类问题的一个要点。还有一个要点,是从差的方面看出来的。你们去‘发明’吧!”
当然,我们很快就得到了答案!
“凡是两位数与它的倒转数的差,都是它的两数字差的9倍。”
有了这两个要点,本题自然迎刃而解了!
因为题上说的是原数减其倒转数,原数中的十位数字应当大一些,所以原数是85。
85加58得143,而85减去58正是27,真巧!