十　鸟兽同笼问题

一听到马先生说“这次来讲鸟兽同笼问题”，我便知道是鸡兔同笼这一类了。

例一： 鸡、兔同一笼共19个头，52只脚，求鸡、兔各有几只？

不用说，这题目包含一个事实条件——鸡是2只脚，而兔是4只脚。

“依头数说，这是‘和一定’的关系。”马先生一边说，一边画 AB 线。

“但若依脚来说，两只鸡的脚才等于一只兔的脚，这又是‘定倍数’的关系。假设全是兔，兔应当有13只；假设全是鸡，鸡应当有26只。由此得 CD 线，两线交于 E ，如图10-1所示。竖看得7只兔，横看得12只鸡，这就对了。”

7只兔，28只脚，12只鸡，24只脚，一共正好52只脚。

马先生说：“这个想法和通常的算法正好相反，平常都是假设头数全是兔或鸡，是这样算的：

（4 × 19−52）÷（4−2）=12——鸡的数量

（52−2 × 19）÷（4−2）=7——兔的数量

“这里却假设脚数全是兔或鸡而得 CD 线，但试从下面的数据对应关系一看，便没有什么想不通了。图中 E 点所示的一对数，正是数据中所共有的。

“就头说，总数是19，则 AB 线上的各点所表示的数据如下。

“就脚说，总数是52， CD 线上各点所表示的数据如下。

“用一般的算法，自然不能由这图上推想出来，但中国的一种老算法却从这图上看得清清楚楚，那算法是这样的：

“将脚数折半（ OC 所表示的），减去头数（ OA 所表示的），便得兔的数目（ AC 所表示的）。”

这类题，马先生说还可归到混合比例去算，以后拿这两种算法来比较更有趣味，这里不多讲。

例二： 鸡、兔共21只，脚的总数相等，求各有几只？

照前例用 AB 线表示“和一定”总头数21的关系。

因为鸡和兔脚的总数相等，不用说，鸡的数量是兔的2倍了。依“定倍数”的表示法作 OC 线，如图10-2所示。

由 OC 和 AB 的交点 D 得知兔是7只，鸡是14只。

例三： 小三子替别人买邮票，要买4分和2分的各若干张，他将数目说反了，2.8元钱找回0.2元，原来要买的数目是多少？

“对比例一来看，这道题怎样？”马先生问。

“只有脚，没有头。”王有道很滑稽地说。

“不错！”马先生笑着说，“只能根据脚数表示两种张数的倍数关系。第一次的线怎么画？”

“全买4分的，共70张；全买2分的，共140张，得 AB 线。”王有道回答。

“第二次的呢？”

“全买4分的，共65张；全买2分的，共130张，得 CD 线。”周学敏回答。但是 AB 、 CD 没有交点，大家都呆望着马先生。

马先生说：“照几何上的讲法，两条线平行，它们的交点在无穷远，这次真是‘差之毫厘，失之千里’了。小三子把别人的数弄反了，你们却把小三子的数放错了位置。”他将 CD 线画成 EF ，得交点 G ，如图10-3所示。横看，4分的50张，竖看，2分的40张，总共恰好2.8元。

马先生要我们离开了图来想算法，给我们这样提示：“假如别人另外给2.6元钱要小三子重新去买，这次他总算没有弄反。那么，各买到邮票多少张？”

不用说，前一次的差是1和2，这一次的便是2和1；前次的差是3和5，这次的便是5和3。两种邮票的张数便一样了。

但是总共用了（2.8+2.6）元钱，这是周学敏想到的。

每种一张共值（4+2）分，我提出这个意见。

跟着，算法就明白了。

（2.8元 + 2.6元）× 100分／元÷（4分／张 + 2分／张）=90张——总张数

（4 × 90 - 280）分÷（4 - 2）分／张 = 40张——2分的张数

90张 - 40张 = 50张——4分的张数 KlImLPwuHTXzkP1qEpsaKq+c3YxBuSEzOpYCaCqSAXdux5VTn8agtFG+rtUxrOoc