六　时钟的两只针

“这次讲一个许多人碰到后都会有点儿莫名其妙的题目。”说完，马先生在黑板上写出下面的例题：

例一： 时钟的长针和短针，在2时至3时间，什么时候会碰在一起？

我知道，这个题王有道确实是会算的，但奇怪的是马先生写完题目以后，他却一声不吭。下课后我问他，他的回答是：“会算是会算，但听听马先生有什么别的讲法，不是更有益处吗？”我听了他的这番话，不免有些惭愧。对于已经懂得的东西，我往往不喜欢再听先生讲，这着实是个缺点。

“这题的难点在哪里？”马先生问。

“两只针都是在钟面上转，长针转得快，短针转得慢。”我大胆地回答。

“不错！不过，仔细想一想便没有什么困难了。”马先生这样回答，并且接着说：

“无论是跑圆圈，还是跑直路，总是在一定的时间内走过了一定的距离。而且，时钟的这两只针好像受过严格训练一样，在相同的时间内，各自所走的距离总是一定的。——在物理学上，这叫等速运动。一切的运动法则都可用速度、时间和距离这三项的关系表示出来。在等速运动中，它们的关系是：

距离=速度×时间。

现在我们根据这一点来探究一下本题。

“李大成，你说长针转得快，短针转得慢，你是怎么知道的？”马先生向我提出这样的问题，惹得大家都笑了起来。这是看见过时钟走动的人都知道的，还算什么问题吗。不过马先生特地提出来，我倒不免有点儿发呆了。怎样回答好呢？最终我大胆地答道：

“看出来的！”

“当然，不是摸出来的，而是看出来的！不过我的意思是，单说快慢，未免太笼统些，我问你，这快慢是怎样比较出来的？”

“长针1小时转60分钟的位置，短针只转5分钟的位置，长针不是比短针转得快吗？”

“这就对了！但我们现在知道的是长针和短针在60分钟内所走的距离，它们的速度是怎样呢？”马先生望着周学敏。

“用时间去除距离，就得速度。长针每分钟转1分钟的位置，短针每分钟只转1/12分钟的位置。”周学敏道。

“现在，两只针的速度都已知道了，暂且放下。再来看题上的另一个条件，两点钟的时候，长针距短针多远？”

“10分钟的位置。”四五个人一同回答。

“那么，这题目和赵阿毛在赵小毛的前面10里，赵小毛从后面追他，赵小毛每小时走1里，赵阿毛每小时走1/12里，几时可以赶上？——有什么区别？”

“一样！”这次是众口一词。

这样推究，我们不但能够将图画出来，而且算法也非常明了，如图6-1所示。

马先生说，这类题的变化并不多，要我们各自作一张图，表示出：从零时起，到12时止，两只针各次重合的时间。自然，这只要将前图扩充一下就行了。我将图画完（如图6-2所示），仔细玩赏一番后，觉得算学真是有趣味的科目。

马先生提出的第二个例题是：

例二： 时钟的两针在2时至3时间，什么时候成一个直角？

马先生叫我们大家将这题和前一题比较，并提出要点。我们都只知道一个要点：

两针成一直角的时候，它们的距离是15分钟的位置。

后来经过马先生的各种提示，我们又得出第二个要点：

在2时和3时之间，两针要成直角，长针得赶上短针同它相重合，——这是前一题——再超过它15分钟。

这一来，不用说，我们都明白了。作图的方法，只是在例一的图上增加一条和 AB 平行的线 FG ，和 CD 交于 H ，便指示出我们所要的答案了。这理由也很清晰明了， FG 和 AB 平行， AF 相隔15分钟的位置，所以 FG 上的各点垂直画线下来和 AB 相交，则 FG 和 AB 间的各线段都一样长，表示15分钟的位置，所以 FG 便表示距长针15分钟的位置的线，如图6-3所示。

至于这题的算法，那更容易明白了。长针先赶上短针10分钟，再超过15分钟，一共自然是长针需比短针多走25（10+15）分钟，所以：

便是答案。

这些，在马先生问我们的时候，我们都回答出来了。虽然是这样，但对于我——至少我得承认——实在是一个谜。为什么我们平时遇到一个题目不能这样去思索呢？这几天，我心里都怀着这个疑问，得不到答案，不是吗？倘若我们这样寻根究底地推想，还有什么题目做不出来呢？我也曾问过王有道这个问题，但他的回答我很不满意。不，简直使我生气。他只是轻描淡写地说：“这叫作：‘难者不会，会者不难。’”

老实说，要不是我平时和王有道关系很好，知道他并不会“恃才傲物”，我真会生气，说不定还要翻脸骂他一顿。——王有道看到这里，伸伸舌头说，喂！谢谢你！嘴下留情！我没有自居会者，只是羡慕会者的不难罢了！——他的回答，不是等于不回答吗？难道世界上的人生来就有两类：一类是对于算学题目，简直不会思索的“难者”；另一类是对于算学题目，不用费心思索就解答出来的“会者”吗？真是这样，学校里设算学这一科目，对于前者便是白费力气，对于后者便是多此一举！这和马先生的议论就有矛盾了！从前，我也是用性质相近或不相近来解释的，而我自己，当然自居于性质不相近之列。但马先生对于这种说法持否定态度，自从听了马先生这几次讲解以后，我虽不敢成为否定论者，至少也是怀疑论者了。怀疑！……最后总应当有个不容怀疑的结论呀！这结论是什么？我想马先生一定可以给我们一个确切的回答。我怀着这样的期望，屡次想将这个问题提出来，静候他的回答，但最终因为缺乏勇气，不敢提出。今天，到了这个时候，我真的忍无可忍了。题目的解答法，一经道破，真是“会者不难”，为什么别人会这样想，我们不能呢？

我斗胆问马先生：“为什么别人会这样想，我们却不能呢？”

马先生笑容满面地说：“好！你这个问题很有意思！现在我来跑一次野马。”

马先生要跑野马！大家听了哄堂大笑！

“你们知道小孩子走路吗？”这话问得太不着边际了，大家只好沉默不语。他接着说：

“小孩子不是一生下来就会走路的，他开始并不能移动，随后才练习站起来走路。只要不是过分娇养或有残疾的小孩子，两岁总会无所倚傍地直立步行了。但是，你们要知道，直立步行是人类的一大特点，现在的小孩子只要两岁就能够做到，我们的祖先却费了不少力气才实现呀！自然，我们可以解释为古人不如今人，但这并不能使人信服。现在的小孩子能够走得这么早，一半是遗传的因素，另一半是因为有一个学习的环境，一切他所见到的比他大的人的动作，都是他模仿的样品。

“文明的发展，正和小孩学步一样。明白了这个道理，这个疑问就可以解答了。一个题目的解答，就是一个发明。发明这件事，说它难，它真难，一定要发明点儿什么，这是谁也没有把握能够做到的。说它不难，也真不难！有一定的学力和一定的环境，再加上不断努力，总不至于一无所成。

“学算学，以及学别的功课都一样，一面先弄清楚别人已经发明的，并且注意他们研究的经过和方法，一面应用这种态度和方法去解决自己遇到的新问题。你们学了一些题目的解法，自然也就学会了与之类似的一些问题的解法，这也是一种发明，不过这种发明是别人早就得出来的罢了。

“总之，学别人的算法是一件事，学思索这种算法的方法又是一件事，而后一种更重要。”

对于马先生的议论，我还是持怀疑态度，总有些人比较会思索。但是，马先生却说，不可以忘记一切的发展都是历史的产物，都是许多人的劳动的结晶。他的意思是说“会想”并不是凭空得来的能力，要我们去努力学习。这话，虽然我还不免怀疑，但努力学习总是应当的，我的疑问只好暂时放下了。

马先生发表完议论，就转到本题上：“现在你们自己去研究在各小时以后两针成直角的时间，你们要注意，有几小时内是可以有两次成直角的时间的。”

课后，我们聚集在一起研究，画成了图6-4。我们将一只表从正午12点旋转到下一个正午12点来验证，简直是不差分毫。我感到愉快，同时也觉得算学真是一个生动有趣的科目。

关于时钟两针的问题，一般的书上还有“两针成一直线”的类型，马先生说，这也没有什么难处，你们完全可以自己去“发明”。我们真切地感觉到，参照前两个例题，真的一点儿也不难啊！ l669f14ntdjz8Jbm+L330vGg4vLTkSCxI10ZmIw40DHhAGF7Mhn4KyjwJPzR7Dsu