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“讲第三节课的时候，我曾经说过，倘若你有了一张图，坐在屋里，看看表，又看看图，随时就可知道你出了门的弟弟离开你有多远。这次我就来讲关于走路这一类的问题。”马先生今天这样开场。
例一： 赵阿毛上午8点由家中动身到城里去，每小时走3里。上午11点，他的儿子赵小毛发现他忘了带应当带到城里去的东西，便拿着东西从后面追去。赵小毛若每小时走5里，什么时候可以追上赵阿毛？
这题只需用第二节课的最后一个作基础便可解答出来。用横线表示路程，每一小段1里；用纵线表示时间，每两小段1小时。——纵横线用作单位1的长度，无妨各异，只要表示得明白，如图5-1所示。
因为赵阿毛是上午8点由家中动身的，所以时间就用上午8点作起点。赵阿毛每小时走3里，他走的行程和时间是“定倍数”的关系，画出来就是 AB 线。
图5-1 例一图解
赵小毛是上午11点动身的，他走的行程和时间对于交在 C 点的纵横线来说，也是“定倍数”的关系，画出来就是 CD 线。
AB 和 CD 交于 E ，赵阿毛和赵小毛父子俩在这儿碰上了。
从 E 点横看，是下午三点半，这就是答案。
“你们仔细看这个，比上次的有趣味。”趣味？今天马先生从走进课堂直到现在，都是板着面孔的，我还以为他有什么不高兴的事，或是身体不适呢！听到这两个字，知道他将要说什么趣话了，精神不禁为之一振。但是仔细看一看图，依然和上次的各个例题一样，只有两条直线和一个交点，真不知道马先生说的趣味在哪里。别人大概也和我一样，没有看出什么特别的趣味，所以整个课堂上，只有静默。打破这静默的，自然只有马先生：
“看不出吗？不是真正的趣味‘横’生吗？”
马先生的这个“横”字说得特别响，同时右手拿着粉笔朝着黑板上的图横着一画。我们还是猜不透这个谜。
“大家横着看！看两条直线间的距离！”马先生这么一提示，大家都去看那两条线间的距离。
“看出了什么？”马先生静了一下问。
“越来越短，最后变成了零。”周学敏回答。
“不错！但这表示什么意思？”
“两人越走越近，到后来便碰在一起了。”王有道回答。
“对的。那么，赵小毛动身的时候，两人相隔几里？”
“9里。”
“走了1小时呢？”
“7里。”
“再走1小时呢？”
“5里。”
“每走1小时，赵小毛赶上赵阿毛几里？”
“2里。”这几次差不多都是齐声回答，课堂显得格外热闹。
“这2里从哪里来？”
“赵小毛每小时走5里，赵阿毛每小时只走3里，5里减去3里，便是2里。”我抢着回答。
“好！两人先相隔9里，赵小毛每小时能够追上2里，那么几小时可以追上？用什么算法计算？”马先生这次向着我问。
“用2去除9得4.5。”我答。
马先生又问：“最初相隔的9里怎样来的呢？”
“赵阿毛每小时走3里，上午8点动身，走到上午11点，一共走了3小时，三三得九。”另一个同学这么回答。
在这以后，马先生就写出了下面的算式：
3里／小时×3小时÷（5里／小时-3里／小时）=9里÷2里／小时=4.5小时——赵小毛走的时间
11时 + 4.5时 - 12时=3.5时——即下午3点半
“从这次起，公式不写了，让你们去如法炮制吧。从图上还可以看出来，赵阿毛和赵小毛相遇的地方，距家22.5里。若是将 AE 、 CE 延长，两线间的距离又越来越长，但 AE 翻到了 CE 的上面。这就表示，若他们父子碰到以后，各自仍继续前进，赵小毛便走在了赵阿毛前面，并且二人越离越远。”
试将这个题改成“甲每时行3里，乙每时行5里，甲动身后3小时，乙去追他，几时能追上？”这就更一般了，画出图来，当然和前面的一样。不过表示时间的数字需换成0, 1, 2, 3…
例二： 甲每小时行3里，动身后3小时，乙去追他，4.5小时追上，乙每小时行几里？
如图5-2所示，对于这个题，表示甲走的行程和时间的线 AB ，自然谁都会画了。而表示乙走的行程和时间的线，经过马先生的指导，大家都知道：因为乙是在甲动身后3小时才动身，故而得 C 点。又因为乙追了4.5小时赶上甲，这时甲正走到 E ，而得 E 点，连结 CE ，就是所求的线。再看每过1小时，横线对应增加5，所以知道乙每小时行5里。这真是马先生说的趣味横生了。
图5-2 例二图解
不但如此，图5-2明明白白地指示出来：甲7.5小时走的路程是22.5里，乙4小时半走的也正是这么多，所以很容易就能想出这题的算法。
3里／小时×（3小时+4.5小时）÷4.5小时=22.5里÷4.5小时=5里／小时——乙每小时走的里数
但是马先生的主要目的不在讨论这题的算法上，当我们得到了答案和算法后，他又写出下面的例题。
例三： 甲每小时行3里，动身后3小时，乙去追他，追到22.5里的地方追上，求乙的速度。
跟着例二来解这个问题，真是十分轻松，不必费心思索，就知道应当这样算：
22.5里÷（22.5里÷3里／小时-3小时）=22.5里÷4.5小时=5里／小时——乙每小时走的里数
图大家都会画了，而且这一连3个例题的图简直就是一样的，只是画的方法或说明不同。甲走了7.5小时，比乙多走3小时，则乙走了4.5小时，路程是22.5里。上面的计算法，由图上看来，真是“了如指掌”啊！我今天才深深地感到对算学有这么浓厚的兴趣！
马先生在大家算完这题以后总结道：
“由这3个例子来看，一个图可以表示几个不同的题，只是着眼点和说明不同。这不是很有趣味吗？原来例二、例三都是从例一转化来的，虽然面孔不同，本质却没有两样。这类问题的根本都是距离、时间、速度的关系。你们应该已经明白：
“速度×时间=距离。
“由此演化出来，便得：
“速度=距离÷时间，时间=距离÷速度。”
我们说：
“赵阿毛的儿子是赵小毛，老婆是赵大嫂子。
“赵大嫂子的老公是赵阿毛，儿子是赵小毛。
“赵小毛的妈妈是赵大嫂子，爸爸是赵阿毛。”
这3句话，表面上看起来自然不一样，立足点也不同，从文学上带给我们的意味、语感也不同，但表示的根本关系却只有一个，如图5-3所示。
图5-3 图解距离、速度、时间之间的关系
照这种情形，将例一先分析一下，我们可以获得下面各元素以及元素间的关系：
1．甲每小时行3里。
2．甲先走3小时。
3．甲共走7.5小时。
4．甲、乙都走了22.5里。
5．乙每小时行5里。
6．乙共走4.5小时。
7．甲每小时所走的里数（速度）乘以所走的时间，得甲走的距离。
8．乙每小时所走的里数（速度）乘以所走的时间，得乙走的距离。
9．甲、乙所走的距离相等。
10．甲、乙每小时所行的里数相差2。
11．甲、乙所走的小时数相差3。
1到6是这题所含的6个元素。一般地说，只要知道其中3个，便可将其余的3个求出来。如例一，知道的是1、5、2，而求得的是6，但由2、6便可得3，由5、6就可得4。例二，知道的是1、2、6，而求得5，由2、6当然可得3，由6、5便得4。例三，知道的是1、2、4，而求得5，由1、4可得3，由5、4可得6。
不过也有例外，如1、3、4，因为4可以由1、3得出来，所以不能成为一个题。2、3、6只有时间，而且由2、3就可得6，也不能成题。再看4、5、6，由4、5可得6，一样不能成题。
从6个元素中取出3个来做题目，照理可成20个。除了上面所说的不能成题的3个，以及前面已举例的3个，还有14个。这14个的算法，当然很容易推知，画出图来和前3个例子完全一样。为了便于比较、研究，逐一写在后面。
例四： 甲每小时行3里，走了3小时乙才动身，他共走了7.5小时被乙赶上，求乙的速度。
3里／小时×7.5小时÷（7.5小时-3小时）=5里／小时——乙每小时所行的里数
例五： 甲每小时行3里，先动身，乙每小时行5里，从后面追他，只知甲共走了7.5小时，被乙追上，求甲先动身几小时？
7.5小时-3里／小时×7.5小时÷5里／小时=3小时——甲先动身3小时
例六： 甲每小时行3里，先动身，乙从后面追他，4.5小时追上，而甲共走了7.5小时，求乙的速度。
3里／小时×7.5小时÷4.5小时=5里／小时——乙每小时所行的里数
例七： 甲每小时行3里，先动身，乙每小时行5里，从后面追他，走了22.5里追上，求甲先走的时间。
22.5里÷3里／小时-22.5里÷5里／小时=7.5小时-4.5小时=3小时——甲先走3小时
例八： 甲每小时行3里，先动身，乙追4.5小时，共走22.5里追上，求甲先走的时间。
22.5里÷3里／小时-4.5小时=7.5小时-4.5小时=3小时——甲先走3小时
例九： 甲每小时行3里，先动身，乙从后面追他，每小时行5里，4.5小时追上，甲共走了几小时？
5里／小时×4.5小时÷3里／小时=22.5里÷3里／小时=7.5小时——甲共走7.5小时
例十： 甲先走3小时，乙从后面追他，在距出发地22.5里的地方追上，甲共走了7.5小时，求乙的速度。
22.5里÷（7.5小时-3小时）=22.5里÷4.5小时=5里／小时——乙每小时所行的里数
例十一： 甲先走3小时，乙从后面追他，每小时行5里，到甲共走7.5小时的时候追上，求甲的速度。
5里／小时×（7.5小时-3小时）÷7.5小时=22.5里÷7.5小时=3里／小时——甲每小时所行的里数
例十二： 乙每小时行5里，在甲走了3小时的时候动身追甲，乙共走22.5里追上，求甲的速度。
22.5里÷（22.5里÷5里／小时+3小时）=22.5里÷7.5小时=3里／小时——甲每小时所行的里数
例十三： 甲先动身3小时，乙用4.5小时，走22.5里路追上甲，求甲的速度。
22.5里÷（3小时+4.5小时）=22.5里÷7.5小时=3里／小时——甲每小时所行的里数
例十四： 甲先动身3小时，乙每小时行5里，从后面追他，走4.5小时追上，求甲的速度。
5里／小时×4.5小时÷（3小时+4.5小时）=22.5里÷7.5小时=3里／小时——甲每小时所行的里数
例十五： 甲7.5小时走22.5里，乙每小时行5里，在甲动身若干小时后动身，正追上甲，求甲先走的时间。
7.5小时-22.5里÷5里／小时=7.5小时-4.5小时=3小时——甲先走3小时
例十六： 甲动身后若干时，乙动身追甲，甲共走7.5小时，乙共走4.5小时，所走的距离为22.5里，求各人的速度。
22.5里÷7.5小时=3里／小时——甲每小时所行的里数
22.5里÷4.5小时=5里／小时——乙每小时所行的里数
例十七： 乙每小时行5里，在甲动身若干时后追他，到追上时，甲共走了7.5小时，乙只走4.5小时，求甲的速度。
5里／小时×4.5小时÷7.5小时=22.5里÷7.5小时=3里／小时——甲每小时所行的里数
在这17个题中，第十六题只是应有的文章，严格地说，已不成一个题了。将这些题对照图来看，比较它们的算法，可以知道：将一个题中的已知元素和所求元素对调而组成一个新题，这两个题的计算法的更改有一定法则。大体说来，新题的算法对于被调的元素来说，正是原题算法的还原，加减互变，乘除也互变。
前面每一题都只求一个元素，若将各未知的三元素作一题，实际就成了48个。还有，甲每小时行3里，先走3小时，就是先走9里，这也可用来代替第二元素，而和其他两个元素组成若干题。这样推究下去，多么有趣！而且，这对于研究学问实在是一种很好的训练。
本来无论什么题，都可以下这么一番功夫探究的，但前几次的例子比较简单，变化也就少一些，所以不曾说到。而举一反三，正好是一个练习的机会，以后也不再这么不怕麻烦地讲了。
这样推究，学会了一个题的计算法，便可悟到许多关系相同、形式各样的题的算法，不止“举一反三”，简直要“闻一以知十”了，这使我觉得无比快乐！我现在才感到算学不是枯燥的学科。
马先生花费许多精力教给我们探索题目的方法，时间已过去不少，但他还要不辞辛苦地继续讲下去。
例十八： 甲、乙两人在东西相隔14里的两地，同时相向动身，甲每小时行2里，乙每小时行1.5里，两人几时在途中相遇？
这差不多算是我们自己做出来的，马先生只告诉我们应当注意两点：第一，甲和乙走的方向相反，所以甲从 C 向 D ，乙就从 A 向 B ， AC 相隔14里；第二，因为题上所给的数都不大，图上的单位应取大一些——都用二小段当一——这样图才好看，做算学也需兼顾好看，如图5-4所示。
图5-4 例十八图解
由 E 点横看得4，自然就是4小时两人在途中相遇了。
“趣味横生”，横向看去，甲、乙两人每走1小时将近3.5里，就是甲、乙速度的和，所以算法也就出来了：
14里÷（2里／小时+1.5里／小时）=14里÷3.5里／小时=4小时——所求的小时数
这算法，没有一个人不对，算学真是人人能领受的啊！
马先生高兴地提出下面的问题，要我们回答算法。当然，这更不是什么难事！
1．两人相遇的地方，距东西各几里？
2里／小时×4小时=8里——距东的里数
1.5里／小时×4小时=6里——距西的里数
2．甲到了西地，乙还距东地几里？
14里-1.5里／小时×（14里÷2里／小时）=14里-10.5里=3.5里——乙距东的里数
下面的推究，是我和王有道、周学敏依照马先生的前例做的。
例十九： 甲、乙两人在东西相隔14里的两地，同时相向动身，甲每小时行2里，走了4小时，两人在途中相遇，求乙的速度。
（14里-2里／小时×4小时）÷4小时=6里÷4小时=1.5里／小时——乙每小时行的里数
例二十： 甲、乙两人在东西相隔14里的两地，同时相向动身，乙每小时行1.5里，走了4小时，两人在途中相遇，求甲的速度。
（14里-1.5里／小时×4小时）÷4小时=8里÷4小时=2里／小时——甲每小时行的里数
例二十一： 甲、乙两人在东西两地，同时相向动身，甲每小时行2里，乙每小时行1.5里，走了4小时，两人在途中相遇，两地相隔几里？
（2里／小时+1.5里／小时）×4小时=3.5里／小时×4小时=14里——两地相隔的里数
这个例题所含的元素只有4个，所以只能组成4个形式不同的题，自然比马先生所讲的前一个例子简单得多。不过，我们能够这样穷追不舍，心中确实感到无比愉快！
下面又是马先生所提示的例子。
例二十二： 从宋庄到毛镇有20里，何畏4小时走到，苏绍武5小时走到，两人同时从宋庄动身，走了3.5小时，相隔几里？走了多长时间，相隔3里？
马先生说，这个题目的要点，在于正确地指明解法所在。他将表示甲和乙所走的行程、时间的关系的线画出以后（如图5-5所示），这样问：
图5-5 例二十二图解
“走了3.5小时，相隔的里数，怎样表示出来？”
“从3.5小时的那一点画条横线，与两直线相交于 FH ， FH 间的距离——3.5里，就是所求的。”
“那么，几时相隔3里呢？”
由图上，很清晰地可以看出来：走了3小时，就相隔3里。但怎样通过画图求解，我们被难住了。
马先生见没人回答，便说：“你们难道没有留意过斜方形吗？”随即在黑板上画了一个 ABCD 四边形（如图5-6所示），接着说：
“你们看图上 AD 、 BC 是平行的， AB 、 DC 以及 AD 、 BC 间的横线也都是平行的，而且还一样长。应用这个道理，图5-5过距 O 点3里的一点，画一条线和 OB 平行，它与 OA 交于 E 。在 E 这点两线间的距离正好指示为3里，而横向看去，是3小时，这便是答案。”
图5-6 画个斜方形
至于这题的算法，不用说，很简单，马先生大概因此不曾提起，我补充在下面：
（20里÷4里／小时-20里÷5里／小时）×3.5小时=3.5里——走了3.5小时相隔的里数
3里÷（20里÷4里／小时-20里÷5里／小时）=3小时——相隔3里所需的时间
跟着，马先生所提出的例题更复杂、有趣了。
例二十三： 甲每10分钟走1里，乙每10分钟走1.5里。甲动身50分钟时，乙从甲出发的地点动身去追甲。乙走到6里的地方想起忘带东西了，马上回到出发处寻找。他花费50分钟找到了东西，加快速度，每10分钟走2里去追甲。若甲在乙动身转回时，休息过30分钟，乙在什么地方追上甲？
“先来讨论表示乙所走的行程和时间的线的画法。”马先生说，“这里有五点需注意：1．出发的时间比甲迟50分钟；2．出发后每10分钟行1.5里；3．走到6里便回头，速度没有变；4．在出发地停了50分钟才第二次动身；5．第二次的速度为每10分钟行2里。
“依第一点，就时间说，应从50分钟的地方画起，因而得 A 。从 A 起依照第二点，每一单位时间——10分钟——1.5里的定倍数，画直线到6里的地方，得 AB 。
“依第三点，从 B 折回，照同样的定倍数画线，正好到130分钟的 C ，得 BC 。
“依第四点，虽然时间一分一秒地过去，乙却没有离开一步，即50分钟都停着不动，所以得 CD 。
“依第五点，从 D 起，每单位时间以2里的定倍数行走，画直线 DF ，如图5-7所示。
“至于表示甲所走的行程和时间的线，却比较简单，始终是一定的速度前进，只有在乙达到6里（ B ）——正是90分钟，甲达到9里时，他休息了（停着不动）30分钟，然后继续前进，因而这条线是 GH 、 IJ 。
图5-7 例二十三图解
“两线相交于 E 点，从 E 点往下看得30里，就是乙在距出发点30里的地点追上甲。”
“从图5-7上能够观察出算法来吗？”马先生问。
“当然可以的。”没有人回答，他自己说，接着就讲了计算法。
老实说，这个题从图上看去，就和乙在 D 所指的时间，用每10分钟2里的速度从后面去追甲一样。但甲这时已走到 K ，所以乙需追上的里数，就是 DK 所指示的。
倘若知道了 GD 所表示的时间，那么除掉甲在 HI 休息的30分钟，便是甲从 G 到 K 所用的时间，用它去乘甲的速度，得出来的即是 DK 所表示的距离。
图上 GA 是甲先走的时间，50分钟。
AM 、 MC 都是乙以每10分钟行1.5里的速度，走了6里所花费的时间，所以都是（6÷1.5）个10分钟。
CD 是乙寻找东西花费的时间——50分钟。
因此， GD 所表示的时间，也就是乙第二次动身追甲时，甲已经在路上花费的时间，应当是：
GD = GA + AM × 2 + CD = 50分 + 10分×（6 ÷ 1.5）× 2 + 50分 = 180分
但甲在这段时间内，休息过30分钟，所以，在路上走的时间只是：
180分 - 30分 = 150分
而甲的速度是每10分钟1里，因而，DK所表示的距离是：
1里/10分钟×（150÷10）=15里
乙追上甲从第二次动身所用的时间是：
15里÷（2里/10分钟-1里/10分钟）=15——15个10分钟
乙所走的距离是：
2里/10分钟×15个10分钟=30里
这题真是曲折，要不是有图对着看，这个算法，我是很难听懂的。
马先生说：“我再用一个例题来作这一课的收场。”
例二十四： 甲、乙两地相隔1万公尺，每隔5分钟同时对开一部电车，电车的速度为每分钟500公尺。冯立人从甲地乘电车到乙地，在电车中和对面开来的车两次相遇，中间隔几分钟？又从开车到乙地之间，和对面开来的车相遇几次？
题目写出后，马先生和我们进行了下面的问答。
“两地相隔1万公尺，电车每分钟行500公尺，几分钟可走一趟？”
“20分钟。”
“倘若冯立人所乘的电车是对面刚开到的，那么这部车是几时从乙地开过来的？”
“前20分钟。”
“这部车从乙地开出，再回到乙地共需多长时间？”
“40分钟。”
“乙地每5分钟开来一部电车，40分钟共开来几部？”
“8部。”
经过这样一番讨论，马先生将图画了出来，还有什么难懂的呢？
由图5-8所示，一眼就可得出，冯立人在电车中，和对面开来的电车相遇两次，中间相隔的是2.5分钟。
图5-8 例二十四图解
而从开车到乙地，中间和对面开来的车相遇7次。
算法是这样：
10000公尺 ÷ 500公尺／分钟 = 20分钟——走一趟的时间
20分钟 × 2 = 40分钟——来回一趟的时间
40分钟 ÷ 5分钟 = 8——一部车自己来回一趟，中间乙所开的车数
20分钟 ÷ 8 = 2.5分钟——和对面开来的车相遇两次，中间相隔的时间
8次 - 1次 = 7次——和对面开来的车相遇的次数
“这课到此为止，但我还得拖个尾巴，留个题给你们自己去做。”说完，马先生写出下面的题，匆匆地退出课堂，他额上的汗珠已滚到颊上了。
今天足足在课堂上坐了两个半小时，回到寝室里，我觉得很疲倦，但对于马先生出的题，不知为什么，还想继续探究一番，于是决心独自试做。总算“有志者事竟成”，费了20分钟，居然成功了。但愿经过这个暑假，我能够找到得心应手的算学学习方法！
例二十五： 甲、乙两地相隔3英里，电车每时行18英里，从上午5时起，每15分钟两地各开车一部。阿土上午5:01从甲地电车站开始顺着电车轨道步行，于6:05到乙地车站。阿土在路上碰到往来的电车共几次？第一次是在什么时间和什么地点？
答案：如图5-9所示。
阿土共碰到往来电车共8次。
图5-9 例二十五图解
第一次约在上午5时8分半多。
第一次离甲地0.36英里。