序

数学家就是一台把咖啡转化为定理的机器。

——奥尔弗雷德·雷尼（保罗·埃尔德什多次引用）

大四那年春天，我跟一个熟人说我即将从秋天开始攻读数学博士学位。他问我：“你在研究生阶段要干什么呢？研究非常大的数？还是计算出圆周率的小数点后更多位？”

这段亲身经历告诉我，一般大众对于数学是什么知之甚少，对于数学家所研究的内容也没什么概念。他们为新的数学还在被创造而震惊。他们认为数学只是数的科学，或者是一系列以微积分为尽头的课程。

然而，我其实从未沉迷于数本身。心算不是我的强项。我可以不用计算器就算出每个人该分摊多少晚餐钱或者该付多少小费，但是花的时间和其他人一样长。微积分也是我最不喜欢的大学数学课。

我享受寻找模式——越可视的越好——和拆解错综复杂的逻辑论证的过程。我办公室的书架上摆满了解谜类和脑筋急转弯类的书籍，书页的边缘有很多我童年时用铅笔做的记号。这些题目包括移动三根火柴棍来构造另一种形式，在满足某些规则的条件下找到一条网格通道，切开某个图形把它重新拼成正方形，在某张图中添加三条线从而把它分成九个三角形，以及其他类似的智力题。对我来说，这就是数学。

正因为喜欢空间的、可视的和逻辑的谜题，我总是被几何学吸引。但在大四时，我发现了拓扑学这个迷人的领域。它通常被理解为对非刚性形状的研究。它把优美的抽象理论和具体的空间变换结合在一起，完美契合了我的数学偏好。拓扑学宽松而灵活的观念让人感觉舒适。相比之下，几何学就显得有些刻板和保守了。如果说几何学是西装革履，那么拓扑学就是牛仔裤配T恤衫。

这本书既讲拓扑学的历史，又是拓扑学的赞歌。故事从拓扑学的萌芽时期开始——古希腊人的几何学、文艺复兴时期的数学家和他们对多面体的研究。随后，它讲到了十八、十九世纪的学者们对形状的仔细思考，以及他们是如何对那些不满足几何学的刚性限制的形状进行分类的。最后，故事结束于二十世纪早期发展起来的现代拓扑学。

学生时代，我们是从课本中学习数学的。课本所呈现的数学严密而有逻辑：定义、定理、证明、例子。但数学并不是这样被发现的。人们要经历许多年才能充分理解一个数学主题，然后写出一本结构紧凑的教材。纵观数学被创造的过程，有缓慢的小进展，有大飞跃，有错误，有改正，也有不同领域间建立起的联系。本书便展示了激动人心的数学发现过程——众多聪明的头脑思考、怀疑、提炼、推动，并且改变了前人的成果。

我没有直接简述拓扑学的历史，而是选择用欧拉多面体公式（简称欧拉公式）来当导游。1750年，欧拉公式被发现，标志着几何学开始向拓扑学转型。本书将以欧拉公式为线索，看它是怎样从一个新奇的结果“进化”为一个深刻而实用的定理的。

欧拉公式是一个理想的导游，因为它能带你游览那些一般人无法进入的奇妙场所。追随欧拉公式的脚步，我们可以看见数学中最有趣的一些领域——几何学、组合数学、图论、纽结理论、微分几何、动力系统和拓扑学。这些美妙的主题是一名典型的学生——甚至数学专业的本科生——未必会接触到的东西。

在这趟旅程中，我也能愉快地向读者介绍一些历史上最伟大的数学家：毕达哥拉斯、欧几里得、开普勒、笛卡儿、欧拉、柯西、高斯、黎曼、庞加莱和其他很多人——他们都对拓扑学乃至整个数学做出了重要贡献。

阅读本书不需要什么正式的预备知识，一名学生能在一般的高中数学课里学到的东西——代数学、三角学、几何学——就够了，但其实它们大都跟书中讨论的内容无关。本书在理论上是自给自足的，但在少数情况下需要用到高中数学知识，讲到时我会提醒读者。

不过，可别被我的话给误导了——书中提到的有些想法是相当复杂的，既抽象又难以可视化。读者必须乐于仔细阅读逻辑论证，并调动抽象思维。读数学书和读小说不同，读者应该准备好时不时地停下来，思索每一句话，重读证明过程，努力想出其他例子，认真查看文本间的插图，寻找整体框架。

当然，本书的结尾没有作业和期末考试题。跳过困难的部分没什么好感到羞耻的。如果某个麻烦的证明太难以理解，翻看下一个话题就好。这并不会使本书的剩余部分变得无法阅读。读者也许想要把疑难页的页角折起来，以便日后回顾，这也是可行的。

我认为，本书的读者自主地选择了这本书。任何一个想阅读它的人都应该能读到它。它的受众不是所有人，因为那些不能理解和欣赏数学之美的人根本就不会拿起它。

我的宝贵优势在于，我不是在写一本教材。我竭尽全力用诚实而严密的方式讲解数学，但我也省略了一些恼人的细节，因为它们给人带来的困惑比它们所阐释的东西要多得多。通过这种方式，我就可以在维持理论高度的同时更着墨于思想、直觉和整体框架。对于本书中很多迷人的数学思想，我不得不只粗浅地谈及。但任何一个对缺失的细节感兴趣的读者都可以去查询附录B中的推荐阅读材料。

尽管这本书的读者范围很广，但本书也是为数学家而写的。它的部分内容和其他书有重合，但那些书中没有哪一本能完全涵盖本书的内容。本书的末尾列出了很多结果的原始出处。它应该可以帮助学者们更深入地挖掘相关主题。

本书的结构如下。第二章到第六章讲述了欧拉之前的时代看待多面体的方式。这几章的重点是一类最著名的多面体，也就是正多面体。第七章、第九章、第十章、第十二章和第十五章介绍了欧拉公式及其在其他刚性多面形状上的推广形式。这段讨论会一直把我们带到十九世纪中期。第十六章、第十七章、第二十二章和第二十三章重点介绍了人们从十九世纪末起是怎样从拓扑学角度理解欧拉公式的。这些章会探讨曲面和更高维的拓扑对象。

本书也涉及欧拉公式的多种应用。第八章谈到了欧拉公式的一些简单应用。第十一章、第十三章和第十四章的重点是图论。第十八章到第二十一章主要讲述曲面、曲面和欧拉公式的关系，以及它们在纽结理论、动力系统和几何学方面的应用。

我希望读者们能享受阅读本书的过程，就像我享受写作的过程一样。它对我来说是一个巨大的解谜游戏——一个学术版的寻宝游戏。找到散落的碎片，再把它们拼成一个统一的故事，这在我眼中既是挑战也是乐趣。我热爱我的工作。

大卫·里奇森
迪金森学院
2007年7月6日