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教娜迪娅学数学

这个故事要从一个学生和一个老师说起。它以一个家庭故事为开端，所以先让我讲述一些我的家庭背景。

我出生在美国路易斯安那州新奥尔良一个叫梅泰里的地方。我的父亲是一名儿科医生，他因为在路易斯安那州立大学担任住院实习医师而从孟加拉国搬到这里，随后进入一家慈善医院工作。1972年，他短暂地回到孟加拉国，与我出生于印度的母亲完婚，然后他们又一起回到了这里。这段婚姻是非常传统的包办婚姻，以至于在婚礼仪式上，我母亲曾试图偷看新郎，以确保她嫁的是她心仪的那位兄长。在接下来的几年里，我母亲的五个兄弟和一个堂兄来我家做客，随后他们纷纷爱上了新奥尔良。我认为他们爱上新奥尔良的原因是，路易斯安那州是美国本土环境最接近南亚的州，而且那里还有辛辣的食物、潮湿的气候、巨大的蟑螂和腐败的政府。我们是一个亲密的大家庭，虽然在很多时候，我家的亲戚之间相互都不怎么说话。

尽管如此，家庭婚礼仍然是一件大事，所以当我在2004年结婚时，40多位亲戚长途跋涉来到我妻子家所在的新泽西州，其中就有我的表妹娜迪娅。

如今（2012年），娜迪娅已经是莎拉劳伦斯学院医学预科的大三学生了。但在2004年那会儿，她还只是一个非常严肃认真的12岁女孩，刚刚经历了人生中第一次学业挫折。在六年级期末的数学等级考试中，她的成绩很糟糕。但她是个优等生，上进心很强，做事情总是做好各种准备。这次考试的拙劣表现让她感到困惑，同时也伤害了她的自信心和自尊心。

从婚礼后我与她的交谈来看，娜迪娅已经接受了那次测验的结果。她认为她不擅长数学。但对此我却有不同的看法。因为我从她身上看到了她真正的潜力——逻辑能力、创造力和顽强的毅力，我甚至已经将她视为未来的计算机科学家或数学家。但让我百思不得其解的是，她竟然和所有人一样，觉得六年级的东西很难学。

在经历了传统的教育体系之后，我很清楚地意识到，把她安排在数学慢班很可能对她在数学方面未来的发展产生致命的影响。由于上次测验是“分班考试”（我们将有机会回到这个话题），其结果将对娜迪娅的学业产生巨大影响。如果她不能进入快班，她将不能在八年级学习代数，那么她在十二年级就不能学习微积分。这样下去，她的潜力将会被埋没。

既然考试成绩糟糕已成为既定事实，那要不要采取些什么措施予以补救呢？娜迪娅的母亲可不这么认为。在参加完我的婚礼之后，他们去了波士顿，也就是我生活和工作的地方。娜迪娅显得十分沮丧。所以，我提出了略显草率的建议。那就是如果娜迪娅的学校允许她重考一次，那么等她回到新奥尔良后，我愿意远程辅导她。至于我将如何辅导她……好吧，当时我还在思考之中。

首先请让我澄清一下，因为我认为这对接下来的一切都是至关重要的。一开始这只是一个试验，一个即兴尝试。我没有接受过教师培训，对于什么是最有效的教学方式也没有任何概念。我只是觉得我是凭自觉理解数学的，而且对数学的把握是很系统全面的，但这并不能保证我作为老师也是有效的。我遇到过很多教授，他们对自己的学科非常了解，但就是不善于向学生分享他们的知识。我一直认为，教学是一种独立的技能——事实上，它是一门兼具创造性、直观性和高度个性化的艺术。

但教学不应仅仅是一门艺术，它也有或者应该有一些科学的严谨性。我觉得我可以尝试各种不同的技术，看看哪些技术对教学有用，哪些对教学作用不大。随着时间的推移，我就可以把自己培养成对娜迪娅有用的导师。当然这个过程本身就是一项智力挑战。这一挑战虽然与我在投资或技术领域所面临的没有太大不同，但它却总能给予我所关心的人鼓舞。

我对人们如何学习没有先入为主的概念，同样也没有被所谓“正确”做事的传统观念所束缚。我始终在摸索如何最好地去传达信息并充分利用现有技术。简而言之，我是从零开始，没有受到任何已有习惯或假设的羁绊。这不是因为我跳出了思维定式，而是我压根儿就没有任何固有模式。我一直在不断尝试，从中发现有效的方法，并对那些不奏效的方法进行盘点总结。

事实上，我确实在教娜迪娅的过程中融入了我个人的一些做法，尽管这些做法源自个人经验而非教学理论。在我上学的时候，我觉得有些老师更喜欢炫耀他们的知识，而不是与学生有效交流。他们缺少耐心，偶尔还带有傲慢甚至居高临下的意味。有些老师则是照本宣科，让人感觉他们根本没有经过思考。我希望我对娜迪娅的辅导是一次安全、个性化、舒适、具有启发性的体验。我想以对话的方式分享思考过程，就仿佛是在和与我一样聪明的人对话，而对方只是还没完全理解已有的学习内容罢了。

我坚信包括娜迪娅在内的绝大部分人都可以学好数学。我不想让娜迪娅死记硬背，抑或机械地、割裂地去学习数学。我深信，如果她能理解数学的基础性概念以及概念之间的逻辑关系，那么后续学习数学将会变得容易。

无论如何，辅导娜迪娅的第一步是确定这次数学考试中让她感到困惑的方面。让我大为吃惊的是原来她在单位换算的概念上存在困难。单位换算其实是一个相对简单的概念，就是计算诸如6英里等于多少英尺，或3品脱等于多少盎司。首先需要学会一些术语，比如“kilo”表示千，“centi”表示百分之一，其余的单位都可以很容易查到，接下来就是简单的乘法和除法了。而娜迪娅在一些微妙概念的掌握上则做得非常好。

那么娜迪娅为什么会在单位换算上存在困难？她自己不清楚，我也不清楚。但我们可以一起来想想她没有掌握这个概念的可能原因。

也许她刚好旷了“单位换算”概念的那节课。也许她当时在上课，只是学习状态不太好。也许她在打瞌睡，或是肚子痛，抑或是因为和妈妈吵架而心情不好。也许她在后一节课上有一场考试，因临时抱佛脚准备考试而没有集中注意力听讲。也许她暗恋着座位离她两排远的一个男孩，正在做白日梦。也许她的老师急于往后赶教学进度，没有很清晰地解释这个概念。

当然上述这些都只是猜测。关键是，有很多种情形可能导致娜迪娅没能掌握“单位换算”这个概念。一旦她错过了“单位换算”的学习，这个概念将不会再次出现在课堂上。因为这个模块的教学任务已经完成，那些存在问题的地方也已经解释清楚，教学板书也被擦除了。而按照课程表的安排，接下来教师还要推进其教学进度。

让我们花点时间考虑下这个问题。娜迪娅碰巧上了一所很好的私立学校，师生配比合理，班额很小。显然，班额一直被不少人视为提升教学质量的灵丹妙药。他们认为在不增加学生数量的前提下，如果我们能招聘更多的教师、建更多的教学楼、购买更多的教科书和配置更多的计算机设备，教学的班额就能变小，这样我们的标准化教育模式就会运转得很好（甚至让办学质量差的学校看起来像优质名校）。现在，没有人反对小班教学的提法。我同样希望我的孩子所在的班级师生比例尽可能高，这样他们才可能有更多的时间与老师进行真正的深度交流。然而不幸的是，小班教学并不能自发地解决学生跟不上教学进度的问题。

因为班级授课忽视了人们学习中的几个基本事实。人们的学习速度各不相同。有些人能够凭直觉感知快速地理解事物，有些人则需要细嚼慢咽地去理解。学得快并不代表聪明，学得慢也并不表示愚钝。学得快并不意味着理解得透彻。学习速度的快与慢与智力无关，只是学习风格的问题。正如乌龟最终可能会获得比兔子更多、更有用、更持久的知识。

此外，在学习需要抽象创造力的高等数学时，一个算术学习慢的学生可能会表现得出类拔萃。问题的关键是，不论班级里有10个、20个还是50个学生，他们在任何时候对某个概念的理解都会有差异。如果老师只是按照课程大纲既定的步调让学生学习，而不管学生对概念理解的程度，那么即使是一对一教学，其效果也不会太理想。在老师对某个教学任务模块进行总结，随后安排测试并准备进入下一个模块的教学时，很可能还有一部分学生对这个即将结束的模块理解得不透彻。

如果给这部分学生足够的时间，他们最终可能都能理解。但这正是问题所在，因为在标准化的课堂教学中，老师都会按照既定的计划进入下一个教学任务模块。无论班级规模如何，教学总是在按部就班地进行。

在摸索如何辅导娜迪娅的过程中，我总是让我的教学方式与我所认为的人们真正学习的方式相匹配，并逐渐形成了两条很重要的认知：（1）教学应该与每个学生的学习需要相匹配，而不是机械地按照教学日历去安排；（2）如果学生想成功地掌握更高级别的概念，那么他就必须深入地理解相应的基础性概念。

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让我们继续娜迪娅的故事。

她回到了新奥尔良的学校。我恢复了我在波士顿的工作和生活。我给我俩都配备了廉价的手写平板，通过一个叫作“雅虎涂鸦”的程序，我们能够在各自的电脑上看到彼此潦草的涂鸦。我们通过电话交流，以解决“单位换算”这个棘手的知识点。

第一周的辅导对我来说纯粹是一场折磨。我猜不只我有这样的感觉，娜迪娅肯定比我更加煎熬。但在这种直接且密切的交流中，我了解到了很多阻碍学习的复杂因素。

毫无疑问，娜迪娅非常聪明。当她和她的家人来波士顿拜访我时，恰逢7月4日（美国独立纪念日），我们在等待着查尔斯河上即将燃放的烟花。在等待期间，我们为了消磨时间玩起了脑筋急转弯的游戏。我记忆最深刻的是娜迪娅非常愿意解决棘手的问题，她善于分析且极富创造力，她甚至能够逻辑分明地分解顶级工程学院和商学院的应聘者都难以回答的问题。然而，一旦涉及单位换算，她的大脑似乎宕机了，像是突然被冻住、锁住了似的。在我看来，她只是在内心里否定了自己。就像许多人无法理解某一个知识点一样，她告诉自己，她永远掌握不了它，仅此而已。

我告诉她：“娜迪娅，你已经掌握了比这更难的东西，你也一定能够拿下这个知识点。”

不知是她没听到我说话，还是以为我在骗她，在做练习的时候，我们开始出现了问题。我问了一个问题，而她沉默了，沉默持续了很久，以至于我以为电话或网线断了。终于，她温柔的声音出现了：“1000？”

“娜迪娅，你是在猜吗？”

“100？”

我开始意识到，比起帮助，或许我给她带来的伤害更多。虽然我的想法是善意的，但还是给她带来了很多不适和焦虑。我原本是希望恢复她的信心，但事实上我可能在进一步打击她的自信心。

这件事迫使我承认，无论是在房间里，还是在电话的另一端，无论是在一个30人的班级里，还是在一对一的辅导中，老师的出现有可能成为禁锢学生思维的根本原因。从老师的角度来看，他们是在帮助学生；但从学生的角度来看，如果老师不改变方式，学生很难避免不出现对抗的情形。老师向学生提出一个问题，会期望学生立即给出答案，这无疑给学生带来了压力。学生不想让老师失望，也担心自己会被评判。这些因素都会影响学生集中精力学习。有的学生甚至觉得和老师交流，或者告诉老师自己理解了哪些内容、还有哪些内容不理解是一件很难为情的事。

基于这一点，当然也有不甘心，我尝试了一种不同的策略。我说：“娜迪娅，我知道你很聪明。我不是在评判你。但我们现在要改变规则。你不能瞎猜，也不能给出空洞的答案敷衍我。我只想听两种回答，要么直接给我一个明确、自信的答案，要么说，‘萨尔曼，我不明白，请再复习一遍’。我不要求你一次就能听懂，我也不会因为你问问题或者想要让我重复讲一次而瞧不起你。”我想这可能会让她有点生气，但效果证明我没有做错。她开始果断甚至略带愤怒地对我大声说出答案，或者承认没有理解并要求我再讲一遍。

在那之后不久，娜迪娅茅塞顿开。她似乎突然明白了单位换算的意义，辅导课程也变得更加有趣。到底是娜迪娅掌握了单位换算在先，还是她喜欢我的课程在先？我真的不知道，而且我认为这并不重要。重要的是，随着她对这个教学方式越来越满意，她的自信和机敏又回来了。当她知道我提出的问题的答案时，我能感受到她的喜悦。更为重要的是，当她需要我为她重复解释一些内容时，她就好像在按回放按钮，不再感到尴尬或丢脸。

娜迪娅的情绪还有其他变化。在掌握了单位换算这个知识点后，她开始为之前自己没能理解它而生气。这是一种健康的、有用的情绪。她为自己之前的气馁而生气，为怀疑自己的能力而生气，也为自己在挫折面前屈服而生气。如今，她已经征服了一个顽固的知识点，那下一次再遇到困难的时候，她就不会让自己轻易被吓倒了。

娜迪娅重新参加了数学考试，并取得了优异的成绩。与此同时，我也开始辅导她的弟弟阿尔曼和阿里。不少亲朋好友听说了此事，不久我便有了近10个学生。我当时并没有意识到，可汗学院已经不知不觉有了一个雏形，而且是在学生和家长们的好奇心和需求的驱使下形成的。可汗学院开始在无形中悄然传播，它已经进入了初创阶段，并且势头渐长。

值得骄傲的是，我所辅导的学生很快就在同年级的学生中脱颖而出，而我也迷上了教学。我情不自禁地把自己的辅导工作及其带来的满足感与我之前的对冲基金工作进行比较。有人将对冲基金称作恶魔，我绝对不同意这种说法。在这个领域工作的大多数人实际上都是十分善良的高级知识分子。但是，投资工作并不能完全算是社会服务。这真的是我想过的生活吗？投身于对冲基金这个行业真的是我在地球上有限时间内的最佳选择吗？

我陷入了两难境地。一方面，我非常喜欢这份工作——它具有挑战性，在智力和财力上都有一定的回报。但另一方面，我一直有一种不安的感觉，觉得自己被困住了，无法从事一份我认为更有价值的事业。

于是我决定继续在基金公司工作，努力攒钱，期待着攒够了钱就辞职。与此同时，我开始尝试各种教学方式，以找到效果更好的辅导方法，满足学生不同的需要。再一次，我采取了能解决问题的具体方法——一种工程师常用的方法。

我试着一次安排三四个学生利用即时通信软件Skype参加课程，但是这样做教学进度非常缓慢，远不如一对一的效果好。为了促使流程自动化，我写了一些软件来自动生成问题，并跟踪每个学生的回答过程。我很喜欢写程序，它给了我很多有价值的见解，让我明白应该重点关注哪里。正如我在后面讲到的，这些收集、组织和解释数据的技术现在已经成为有用且复杂的工具，但在当时，我所写的程序本身并没有解决如何使实时会话更具可扩展性的问题。

后来，就在我开始觉得自己承担了太多，需要稍做调整的时候，朋友提出了一个建议：为什么不把课程录制下来并在YouTube上发布呢？这样每个学生都可以在方便的时候观看。

那一刻，我认为这个想法是极其荒谬的！YouTube？YouTube是发布诸如给猫弹钢琴一类视频的，绝不可能跟数学有任何关系！将一个严肃的、系统的课程发布到YouTube上？显然，这个根深蒂固的想法太过愚蠢。

不过在发布了大约3000个视频之后，我真的希望当时这个想法是我自己想出来的。 oLy7qXeEt+hikmHVl441Sb7aHJo7nMH8ttb5nkids4KlpwM6zostoRJkP2dITxg3