数学是科学皇冠上的宝石
——《数学与人类文明》

经常有朋友问我，孩子想学经济、金融、保险相关的专业，上哪个学校好。我劝他们，要学这些专业，本科先选数学系，研究生再考虑这些专业。我用自己的经历向他们说明为什么要先学数学。

20世纪90年代我去康奈尔大学进修。我进修的是期货与期权理论。我在老师指导下读文献，但发现文献中数学内容特别多，有些还相当高深。尤其是期权理论，离了数学完全玩不转。我本来想写一本介绍期货期权理论的书，但没敢下手。我在国内为研究生开设“高级宏观经济学”，也写过一本《高级宏观经济学教程》（上下册，北京大学出版社，1993年/2000年），出过两个版本，印刷多次，许多学校的研究生都用它做教材。因此我想去听听康奈尔大学研究生的宏观经济学课程。课前借来主要教科书一看，全是数学，连课也没敢去听。我在美国也见到不少学生，他们由于数学差，只好转向其他专业。我的一位朋友是以极强的毅力，艰辛地补上了数学系的全部课程，才拿下博士学位的。我回来后在《读书》上写了一篇《重要的还是学习》，深感不懂数学无法研究经济学，“美国回来不敢言经济学”，于是转向普及经济学。

对于数学和经济学的关系，套用一个流行的句式就是“数学不是万能的，但离了数学是万万不能的”。对于自然科学，甚至各种应用科学，数学更是基础。说数学的发展推动了科学和技术的发展，一点儿也不过分。正是在这种意义上，我说“数学是科学皇冠上的宝石”，没有这块宝石，皇冠就不成皇冠。

对我们许多人来说，要再去学数学，是不可能的，但我们还是应该了解一点儿数学本身的发展历史，从中认识数学对推动科学和人类文明进步的关键作用。这就要读蔡天新教授的《数学与人类文明》（商务印书馆，2012年）。

在前言中，作者说明，“本书的写作风格和宗旨是，既不能错过任何一位伟大数学家和任何一次数学思潮，以及由此产生的内容、方法，也不愿放弃任何可以阐述数学与其他文明或某个国度相互交融的机会”。他又指出，“本书的另一个特点是，多数小节以人物为标题，同时做到图文并茂，以方便理解、欣赏和记忆”。目的在于“希望读者能通过本书的阅读，拉近与数学这门抽象学科的心理距离，从中理解各自所学或从事的专业与数学的关系，进而反思人类文明的历史进程甚或生活的意义”。这些话是我们阅读这本书的线索和指南，切勿忽视。

中东是人类文明的开始，也是数学起源之地。英国哲学家伯特兰·罗素说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”这说明数学源于数字的发明。在古代世界，狩猎-采集时代，由于生产和生活的需要，记数和简单的算术发展起来了。再以后就形成了代表这些数的书写符号。当人们需要进行更广泛深入的数字交流时，就必须将记数方法系统化，于是就产生了数基和进制。在公元前3000年左右，终于出现了书写记数和相应的数系。阿拉伯数系是指由0、1、2、3……9这10个记号及其组合表达出来的10进制数字书写体系。这个数系由印度人发明，经阿拉伯人改进后传到西方，约在公元前12世纪完成。数系的出现使得数的书写和数与数之间的运算成为可能。在此基础上，加、减、乘、除乃至初等算术便在几个古老的文明地区发展起来，而后来数系的统一则为世界数学发展和运用插上了翅膀。

人类最初的几何知识也是从他们对形的直觉中萌发出来的。古埃及几何学出自丈量土地的需要，古希腊历史学家称之为“尼罗河的馈赠”。巴比伦人的几何学也源于实际测量。古埃及人已发现求任意四边形面积的公式，也有了分数。巴比伦人采用了60进制，把一天分为24小时，每小时60分，每分钟60秒。这种记法沿用至今。在巴比伦人留下的50万块楔形字泥板文书中，有300多块是数学文献。他们创造出许多成熟的算法，如开方根。他们还将数学运用于生活中。

希腊人对数学贡献巨大，希腊也出了许多数学家。第一个扬名后世的数学家是泰勒斯。他在游历埃及和巴比伦时掌握了数学和天文学知识。他最有意义的工作是泰勒斯定理，即半圆上的圆周角是直角。他还引入了命题证明的思想，开了论证数学之先河。毕达哥拉斯在数学上贡献颇多，包括毕达哥拉斯定理、特殊的数和数组的发现（如完美数、友好数、三角形数、毕氏三数）、正多面体作图、2的无理性、黄金分割等。毕达哥拉斯学派的巴门尼德创立了爱利亚学派。他的学生芝诺提出“芝诺悖论”。在如今只留下来的8个悖论中，4个关于运动的悖论最为著名，前两个是事物无限可分的观点，后两个包含着不可分无限小量的思想。柏拉图创建的柏拉图学园是希腊时代数学活动的中心，那时大多数重要的数学成就均由柏拉图的弟子取得。亚里士多德在数学上最重要的贡献是将数学推理规范化和系统化。他还是统计学的鼻祖。亚历山大学派的欧几里得留下了《几何原本》，对几何学和数论的知识进行了系统阐述。阿基米德数学手稿甚多，涉及数学、力学及天文学。亚历山大后期，希腊数学的一个重要特点是使算术和代数成为独立学科，而不再继承以前围绕几何学的传统。算术即今天的数论。

中世纪的中国亦对数学有诸多贡献。人们在甲骨文中发现了完整的十进制。春秋时代已有筹算记载。墨家的《墨经》在形式逻辑的基础上提出一系列数学概念的抽象定义，甚至涉及“无穷”。《周髀算经》中有勾股定理、分数的应用、乘法的讨论以及寻找公分母的方法，还应用了平方根。公元前1世纪成书的《九章算术》中最有价值的是“盈不足术”，即求方程式f（x）=0的根。刘徽提出割圆术；祖冲之父子计算出圆周率为3.141 592 6和3.141 592 7之间。《孙子算经》《张邱建算经》《缉古算经》各有贡献。宋元时期的沈括和贾宪、杨辉和秦九韶、李冶和朱世杰都有不同的贡献。

印度人和波斯人对数学都有重要贡献。成书于公元前8世纪—前2世纪的《绳法经》讨论祭坛修筑法则，涉及几何学知识。在古印度地区发现的“巴克沙利手稿”中涉及分数、平方数、数列、比例、收支与利润计算、级数求和、代数方程等，也出现了10进制数码。古印度的数学家有阿耶波多、婆罗摩笈多、马哈维拉、婆什迦罗。在阿拉伯世界，八九世纪的数学家花拉子密的《代数学》和《印度计算法》12世纪后被译为拉丁文，对欧洲产生了巨大影响。11世纪，波斯人欧玛尔·海亚姆从事数学研究，考虑过14种不同类型方程的解法。13世纪，大不里士的纳西尔丁在三部数学著作中将数的研究扩展到无理数等领域，讨论了几何学和三角学。撒马尔罕的卡西计算出了圆周率和sin1°的精确值。这些数学发展在文艺复兴后发扬光大。

中世纪时希腊人的数学和科学经典传入西欧。中世纪最杰出的数学家是斐波那契。他在阿尔及利亚接触到阿拉伯人的数学，并学会用印度数码计算，回到比萨后出版了《算经》。文艺复兴时期，阿尔贝蒂的透视学对艺术和建筑影响甚大。画家达·芬奇和丢勒都对数学有贡献。近代数学的兴起要到微积分的创立。新数学的推进首先从代数学开始，三角学从天文学中分离出来，透视法产生射影几何，对数的发明改进了计算，但主要的成就应该是三次和四次代数方程求解的突破和代数的符号化。这种贡献要归于意大利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺。四次方程的一般解法是卡尔达诺的仆人费拉里给出的。法国的韦达第一个引进了系统的代数符号，并对方程论做出了贡献。17世纪后各种数学理论和分支茁壮成长。法国数学家德扎尔格回答了透视法的数学问题，并建立起射影几何的主要概念。解析几何的真正发明者是法国数学家笛卡儿和费尔马。微积分的思想萌芽可以追溯到古代，先驱有开普勒、笛卡儿、费尔马和巴罗，但突破是牛顿的“流数法”和略晚一点儿的德国数学家莱布尼茨。莱布尼茨是从几何学的角度出发的。

在分析时代对数论做出贡献的是法国数学家费尔马。他所提出的两个命题由拉格朗日证明。18世纪，微积分得到发展和运用，产生了许多新的数学分支，形成了“分析”这样一个在观念上和方法上都有鲜明特点的领域，因此这一时期被称为“分析时代”。英国数学家泰勒、瑞士数学家约翰·伯努利和欧拉都对微积分发展做出巨大贡献。偏微分方程于1747年由法国启蒙运动先驱达朗贝尔提出。法国数学家拉普拉斯做出了重要贡献，建立了拉普拉斯方程。对于微积分的发展和应用，伯努利家族做出了卓越贡献。法国大革命期间的数学家有孔多塞。拉普拉斯贡献广泛，被称为“法兰西的牛顿”，他和拉格朗日都与拿破仑关系甚好。敢于顶撞拿破仑的蒙日创立了画法几何，他还是“微分几何之父”。

19世纪进入现代数学时期。最主要的数学家是法国的柯西。他把在分析方面的许多工作都写入讲义，包括变量、函数、极限、连续性、导数和微分等微积分学的基本概念。此外还有中学老师出身的魏尔斯特拉斯、俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅、挪威人阿贝尔和法国人伽罗华。伽罗华提出了群的概念。代数领域另一个重大发现四元数要归于德国人哈密尔顿。开创英国又一个数学辉煌时期的是凯利。几何学也在变革，德国的高斯、匈牙利的鲍耶和俄国的罗巴切夫斯基创立了非欧几何学。德国数学家黎曼创立了黎曼几何学。数学发展的同时，艺术也进入新纪元。

20世纪以来，数学的趋势是抽象化。现代数学不只是几何、代数和分析，已成为分支众多、结构庞杂的知识体系，并仍在发展变化中。数学的特点是不仅有严密的逻辑性，还有高度抽象性和广泛的应用性。纯粹数学受集合论的渗透和公理化方法的应用这两个因素的推动。集合论由在圣彼得堡出生的丹麦人康托尔在19世纪后期创立。德国数学家希尔伯特重新定义了现代公理化方法。抽象化导致20世纪实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数四大分支崛起。这时的著名数学家有法国人勒贝格、波兰人巴拿赫、德国人诺特、德裔美国人外尔、法国人庞加莱。与此相应，抽象艺术出现。数学在理论物理学、生物学和经济学中得到广泛应用。计算机的发展与混沌理论相关。对此做出贡献的是冯·诺伊曼和图灵。模糊数学的创始人是美国数学家扎德。数学的抽象化也使得与哲学有效结合成为可能。罗素的数理逻辑、维特根斯坦的《逻辑哲学论》、哥德尔定理都结合了数学与哲学。

作者蔡天新不仅是数学家，也是诗人，随笔和旅游作家。他的《数学传奇》（上下册，商务印书馆，2022年）介绍了历史上中外数学家。《数字与玫瑰》（商务印书馆，2012年）是涉及数学、旅游和诗歌等的随笔集。

关于数学，我还想推荐一本巴西学者写的介绍波斯数学发展的《数学天方夜谭：撒米尔的奇幻之旅》（台湾猫头鹰出版社，2009年）。

想了解数学在经济学中的作用，可以阅读史树中教授的《数学与经济》（湖南教育出版社，1990年）。梁美灵、王则柯的《童心与发现：混沌与均衡纵横谈》（三联书店，1996年）讲混沌理论及其在生物学和经济学中的运用，不过不十分通俗易懂，有点儿数学基础的人才读得懂。

正如我开头所写的，数学在经济学中十分重要。数学运用在经济学中的两个分支是数理经济学和计量经济学，前者是理论的，后者是应用的。不过这两方面的通俗普及性读物还不多。我希望有像蔡天新教授的《数学与人类文明》这样的好书出现。 zU/DpCaegKB4NzmL2Xgl1wNymM6XN07KozbrwSUsFYrWHsPkGLpthC+mBW5Z7H3x