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1902年，庞加莱凭借科学哲学散文集《科学与假设》取得了巨大的成功，在法国知识界享有无与伦比的地位。他是数学、物理学和哲学领域的顶尖人物，曾在一次重要的科学考察中担任科学报告员，并担任过法国经度局主席。作为一名成功的综合理工人，他很早就在数学领域声名鹊起，然后继续钻研采矿工程专业。数学是抽象的学科，而采矿工程是具体的学科。庞加莱却能在这两个学科都登峰造极，这正是本章论述的中心主题——抽象与具体的交织。对庞加莱那一代人来说，这两个学科有着非常紧密的联系，其联系之紧密远远超过了后世学者和工程师的想象。这也难怪，当庞加莱受邀在年度报告会议中进行演讲，巴黎综合理工大学往届的学生都渴望他能谈谈“19世纪综合理工人在科学工作中的作用”。庞加莱的演讲定在1903年1月25日举行。为了准备这场演讲，他翻阅了近期获奖者的演讲。他对同学和同事说：“在座的各位都是我的前辈，我看到了我们的资深将领、众多部长、科学工程师和公司高管，也有海外帝国的征服者和组织者，还有3年前在战神广场的巴黎世界博览会中赫赫有名的人物。”庞加莱问道：“单一的教育模式是怎么培养出这样一批批优秀的科学家、将士和工程企业家的呢？” [23]
庞加莱大声地问在场的听众，随着科学领域的不断分工，巴黎综合理工大学究竟是如何将那些不同的专业领域联系在一起的。诚然，一是学校通过竞争激烈的考试选拔出了卓尔不群的天才学生；二是学校一直秉承的“崇高”的教学传统，确实起到了激励作用，学生们都志存高远，有的立志成为捍卫国家的战士，有的立志成为追求真理的勇士。但光有这两点还不够，还需要一种世界观，贯穿学生们不同志向的始终。一代又一代综合理工人前仆后继，始终坚持着这种世界观，当然也正是因为这种世界观，无论是化学家、物理学家，还是矿物学家，在理工大学所接受的学校教育中，都从高等数学的文化中受益匪浅。此外，即使是最具抽象思维的理工大学的数学家，“都时时刻刻关注着学科的应用”。这种关注不仅存在于那些专注于将数学应用于实际领域的人中，也包括学校中最博学的学生，就连理工大学历史上最杰出的数学家之一的柯西也是如此。柯西是理工大学史上最负盛名的数学家。众所周知，他反对其他学科介入数学研究，但在数学研究过程中依然大量结合了力学的知识。随后，庞加莱援引了自己的老师阿尔弗雷德·科努（Alfred Cornu）的话。科努一直强调，力学的作用如同水泥一样，将综合理工人的各部分灵魂紧紧地凝聚在一起。庞加莱因而得出结论：“这就是我们一直在寻找的‘出厂印记’，从某种角度来说，我们的物理学家、数学家都是力学家。” [24]
这种“出厂印记”深深地刻在了每个综合理工人的骨子里。庞加莱和其他综合理工人所接受的学科教育都结合了力学，这种特色成为他们的与众不同之处，与其他大学培养出来的科学家形成了鲜明对比。可是，对庞加莱而言，这还不是全部。从另一个方面来说，很多大学教授都对科学统一性持有顾虑，但综合理工人关心的是如何实现思想和行动的统一。对此，庞加莱认为，很多大学的研究人员会因所谓的科学失败而变得犹豫不决，而行动则使理工大学的毕业生对忧郁情绪免疫，这正是理工大学这个“工厂”给他们烙下的最基本的特征——抽象与具体的结合。科学与时俱进，世界日新月异，面对教育的变革，庞加莱已做好充分的准备。“与万事万物一样，理工大学也必须逐渐地进行自我革新，但无论如何，始终不能动摇其灵魂——理论联系实际；这一点绝不能动摇，否则也只是徒有其名罢了。” [25]
1871年，法国在普法战争中惨败，普鲁士占领了凡尔赛宫，并建立科学机构、竖立纪念碑，来庆祝战争胜利。
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两年后，庞加莱进入理工大学学习，当时整个法国都面临着一个前所未有的难题：如何在纯理论知识和知识的具体应用之间达到平衡。失去了阿尔萨斯-洛林地区
的法国迫切地想要搞清楚自己惨败的根本原因。于是，批评家开始质疑国家的技术基础设施，他们写了一本又一本的书，哀叹国家铁路设施不完备，但更多的是质疑当时的法国还没有做好充分的准备，以迎接充满挑战的新时代。比起任何特定的技术，批评家更加侧重于仔细分析当时的技术学习机构，这些机构似乎需要重建，而且越快建成越好。在这些机构中，最重要的当属庞加莱就读的巴黎综合理工大学。
巴黎综合理工大学成立于1794年，当时在美国、英国和德国都没有同类学校。理工大学秉承开明的科学理念，致力于发展成为一所数学、物理和化学等多个学科共同繁荣发展的科学机构，为国家培养出一批精英工程师，将军队塑造成现代化的力量。理工大学通过著名的选拔赛，即竞争性考试选拔学生，严格培养学生，让学生以数学为基础接受工程学训练，并成立了校友会。一批又一批学生毕业后，都进入了国家行政机构的最高层工作，最初负责监督新的政府，后来在19世纪负责一个帝国。
如此说来，巴黎综合理工大学一部分像牛津、剑桥，一部分像桑赫斯特，或者说，更像麻省理工学院与西点军校的结合体。但这样的比较没有意义。与英国接受古典教育的学生相比，理工大学的学生具有更高的科学水平，与美国新一代的工程师相比，他们又具有更高的数学思维，但与德国物理学的精英学生相比，他们不太擅长精密的实验室工作。无论是过去还是现在，理工大学都是独一无二的，在19世纪70年代之前的法国享有至高无上的地位。
在巴黎综合理工大学成立的最初几年里，具有革命性思想的工程师兼数学家蒙日用几何学成功地解决了实际工程和高等数学之间的需求矛盾。他认为，射影几何不但可以训练思维，揭示科学真理，而且还可以用于雕刻石头、木材和构筑防御工事。然而，在19世纪最初的几十年里，因为受到柯西的保守思想的影响，蒙日开始动摇了，不知不觉地放弃了最初“让思维连通世界”的雄心壮志。当时科学在进步，而科学应用却停滞不前，新的、更加专业化的工程院校的建立，更加剧了这一趋势。 [27]
普鲁士人围困巴黎之时，法国人不知道谁该为战争失败的后果埋单。路易斯·巴斯德（Louis Pasteur）联合一批志同道合的法国人大声疾呼，反对把德国的胜利归因于法国落后的科学发展。这一观点在理工大学引起了强烈的反响。这也是科学工程学的焦点所在，而且学生们对此已经达成了一致意见。阿尔弗雷德·科努曾是理工大学的学生，后来成为物理界的一颗新星。战争失败后，他代表学校阐明了立场，巧妙地平衡了科学与实际应用。此次发言之后，他便成为新的法兰西第三共和国理想型的理工大学人才，也就是说，新的共和国需要能从纯理论知识领域轻松地过渡到应用领域的人才。庞加莱后来对科努给予了高度赞扬，称赞他的成就已经跨越了光学领域，为物理学家、天文学家和气象学家，甚至是钟表匠带来了新仪器和新技术。科努在尼斯设计并建造了一座非常精密的天文钟，它带有巨大的钟摆。他每年都去尼斯对天文钟进行维护。此外，科努还发展出了一套详细的数学理论，通过电信号的交换实现时钟同步。 [28] 他不但能够将纯理论知识与实际应用紧密地联系起来，而且还对电气化时钟同步非常感兴趣，这一点给庞加莱留下了深刻的印象。
科努毕生都在以自己的方式解释特定的实验现象。虽然他并没有亲自教导学生们动手操作实验，但科努认为，实验是科学至关重要的一部分，可以说是科学的开端，甚至可以看作科学的基础和起点。科努并不是孤军奋战，他和他的同事们保证，19世纪70年代从理工大学走出来的年轻科学家，虽然可能并不熟悉设备操作、复杂测量或数据分析等，但是都非常重视实验。科努的学生们学会了如何看待伟大的数学结构，明白了在数学结构中数据才是科学工作的终点。他们还明白了不要过分相信书本上关于原子论或电场的特定假设。当理工大学招聘化学领域的教师时，首要目标就是平衡“相信原子之说”和“反对原子之说”这两种意见，这一事实引人深思。 [29]
这就是1873年11月庞加莱生活的世界。他争强好胜，机警专注，同时又以质疑的态度继续从事研究。他像鹰一样观察着自己的同学。在写给家人的信中，他提到了对手的成绩，偶尔也会对同学之间的欺凌行为发表看法。随着对力学的兴趣的日益高涨，他开始非常重视这门学科，成绩迅速提高至19或20分（满分20分）
。他在信中自豪地告诉家人，自己已经找到了一种证明方法，比教授在课堂上教授的方法更加简单，他还告诉家人自己在技术和自由绘图领域都有进步。他和理工大学的一群学生一起参观了当地的一家水晶厂，这令工人们感到很诧异。他告诉工人们，他们灵巧的技艺和西门子烤箱的技术让他很着迷。
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尽管当时他只是名学生，但也认识到理工大学的“出厂印记”的存在。不过，在他给母亲汇报近况的信件中，并没有体现出理工大学后来所展现的独特的教学方法：
我们仿佛置身于一台巨大的机器中，必须紧紧地跟着机器运转的步伐，要不然就会被机器超越。我们肩负双重任务：既要继承过去20代X
前辈们的衣钵，又要探索下一代人的梦想之路。在这条路上，我们需要充分发挥记忆能力和雄辩的才能；对于任何人来说，只要勤奋好学，没有学不会的功课，这也就是大家都想让我死记硬背的原因。因此，我别无他选，要么放弃工作，要么恪尽职守。我当然选择了后者，可是仅仅坚持了两年。教学工作让我受益匪浅，但我必须审慎对待，而且这是关键。
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科努逝世后，庞加莱悼念科努时说道，在他的心中科努亦师亦友，他会继续沿着科努的目标奋斗下去。庞加莱的职业生涯也与科努类似，两人都是理工大学的优秀学生，都进入了国立巴黎高等矿业学院进行深造，之后又都受邀回到理工大学任教，并且都在国家的工程管理部门任职和服务。理工大学在他们身上留下了深深的印记。科努、庞加莱和同时代的综合理工人毕生都在致力于加强抽象知识和具体知识之间的联系，他们的经历引人深思。科努和庞加莱都曾在法国经度局的董事会任职，与其他理工大学的同事们共同推动了无数的技术进步项目。从他们协助运营的电子技术杂志，到他们所服务的科学委员会，这些无不印证了他们在理工大学所接受的训练。
当然，纯科学与实用技术之间的关系在理工大学或其他任何地方并非一成不变。它更像是汪洋大海一般起伏不定，时而盛极一时，时而藏形匿影，科学的奥林匹克山在技术的低谷之上时隐时现。而其他时候，必胜主义的军事和工业技术都凌驾于人们对纯知识的追求之上。1871年，就在法国刚刚经历了战争惨败后的一段时间里，科努和他的盟友将这片大海夷为平地，至少在理工大学是这样的。在这台“巨大的机器”里，科学技术和数学物理势均力敌，而庞加莱也真正地发挥了自己的能力。