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庞加莱的关注点是结构而非事物，这与他使用的非欧几何惊人地相似。对于庞加莱同时代的很多人来说，在整个19世纪，非欧几何的研究探索是引人注目的成就。几个世纪以来，欧几里得几何，简称欧氏几何，实际上定义了从确定的起点到必然的结论的推理。自18世纪以来，读过康德著作的哲学家们都把欧氏几何奉为思想结构的组成部分。有些科学家和哲学家认为，非欧几何从根本上改变了知识的定义，标志着充满希望的、与直觉完全割裂的现代性；其他人则担心会因此完全失去确定性。庞加莱的立场更加务实。一方面，他在1891年时曾强调，如果人们无须运用任何经验就可以获得欧几里得公理，那我们就不可能如此轻而易举地想出其他公理。另一方面，欧氏几何的公理不可能仅仅是实验结果，不然的话，我们就要不断地修改实验结果。由于现实世界中没有完全刚性的物体可供我们构建绝对的直线，如果我们将欧氏几何视为绝对真理就会出现问题：例如，我们会发现三角形的3个角的角度之和没有精确到180度。庞加莱坚持认为，我们对几何体系的选择依据的是实验事实，但最终是可以自由选择的，这个选择取决于我们对简洁性的需求。
庞加莱的著述涉及领域广泛，其中有一篇文章讨论了几何的简洁性、便利性和假设。什么是假设？从哪种意义上来说假设可以成真？对庞加莱来说，几何只不过是一个群，即一组对象和一种具有某些性质的运算。运算的属性之一是可逆性。在加减运算中，整数集合｛… -3，-2，-1，0，1，2，3 …｝具有这种性质；也就是说，一个数加一个整数，反过来可以通过减去该整数回到起始数。在其可能进行的运算中，群还应该具有同一性，即使在给定对象保持不变的情况下，加上零就可以了。而且，某个对象发生组合操作，它仍然在群组中：加5和加8后得出的结果与加13后得出的结果相同。通过探索世界，我们知道了哪些群是有用的，而群的概念本身就是我们的认知工具，庞加莱在他的哲学著作中也经常提及这一观点。我们人类特别感兴趣的一个群是空间中刚体的运动。庞加莱认为，我们之所以从很多方法中选择了普通的欧氏几何，是因为欧氏几何以群为基础，用这种简单的方式可以描述空间中的刚体运动群，相当于实体物体在现实世界中的运动。还有别的选择吗？当然有，庞加莱说：“我们只是选择了最方便的欧氏几何。”这是否意味着其他几何是错误的？肯定不是。根据庞加莱的观点，人们不能把笛卡儿坐标系说成是正确的，而把极坐标系说成是错误的。在测量一个点的位置时，笛卡儿坐标系利用 x 轴和 y 轴来测量，极坐标系则用点和极点之间的距离和半径线的角度来测量。他还强调，人们可以自由选择不同的方法来理解和描述世界，但这些选择并非由某种完全外在的东西所决定的，而是取决于我们所追求的简洁性和便利性。“我不会再固执己见，因为这项工作的目标并不是探求正变得陈腐的真理。” [56]
事实上，庞加莱很注重所选的约定的作用，他认为，选择几何体系就像在法语和德语之间选择一样，也就是说，一个人可以选择某种语言或习语来表达同样的思想。想象一下，马鞍表面住着一群聪明的蚂蚁，它们把直线定义为两点之间的最短距离。蚂蚁数学家说：“三角形的各角之和小于两个直角之和。”从人类的角度来看，我们会用与蚂蚁完全不同的“欧几里得”的方式描述相同的情况，而且相差甚远，因为我们会把蚂蚁的三角形视为有曲线边的图形。人类数学家可能会说：“如果一个曲线三角形的各边都是与基本平面正交的圆弧，则该曲线三角形的各内角之和将小于两个直角之和。”这两句话描述的情况相同，但用的是不同的语言和语法，所以相互之间不存在矛盾。这种对应关系表明，与我们的普通几何体系相比，蚂蚁-鞍形几何体系并不矛盾；它们甚至可能是有用的：类似鞍形的“几何体系更容易得到具体的解释，不再是徒劳的逻辑练习，而是可以应用的体系”。这就是微妙之处：不同的几何体系只是以不同的方式呈现事物之间的关系，具体选择哪一种方式，关键要看这种方式是否方便。 [57]
庞加莱始终围绕着这一主题，即找到可以改变的群体结构，同时选择了最方便的表现形式，进行数学、哲学和后续的物理学研究，而且取得了卓越的成就。但在自由选择的过程中，我们要始终谨记不动点和不变量，也就是那些世界上不会因我们做出不同的选择而发生改变的东西。
那么，在1892年，庞加莱取得了什么成就呢？作为法国数学界的后起之秀，他因为颠覆性地运用了非欧几何、研究新的微分方程定性方法以及发现三体问题新的解决方法而声名鹊起。在哲学、几何和动力学方面，他已经开始制定一项知识愿景，以便能同时实现两大目标。他不再强调细节，而是自由地选择不同的方式来阐述问题。一个坐标系的选择并不是自然赋予的，而是我们为了自己使用方便而选择的。同样，我们选择特定的近似方案来满足特定的目的，甚至我们所选择特定的几何也并不是绝对重要的。庞加莱认为，当欧氏几何有用时，那就选择欧氏几何；当非欧几何值得用时，就用非欧几何。在微分方程或它们所代表的物理系统中，选择变量的方法有很多。譬如，溪流向下流动而形成的流径，即使换一种描述方法，其基本的关系仍然保持不变，如水流中的旋涡、矢量结点、鞍点或缓和曲线端点。同理，当我们旋转坐标时，直线的长度保持不变。
庞加莱的研究内容可以概括为两个方面，即变量和非变量，它们一起出现，而且只能放在一起理解。多年来，他以不同的方式描述同一个问题：灵活地掌握知识，选择能够简化问题的方式，然后变换不同的方式找到始终不受影响的关系。这些固定不变的关系代表着恒久的知识。变量和非变量共同推动着科学的进步。
100多年来，学者们竭力探究庞加莱约定论的本质。有些人有理有据地强调几何在庞加莱约定论中的作用。然而，庞加莱反复强调，非欧几何和欧氏几何都可以用于数学的陈述。有些学者仔细研究了早期几何代表人物的著作，譬如德国伟大的几何学家菲利克斯·克莱因（Felix Klein），他大力宣传不同类型的几何学。还有些人借助马里乌斯·索菲斯·李（Marius Sophus Lie）的观点，探究庞加莱关于几何学中自由选择理论的根源。毕竟，庞加莱将索菲斯·李视为数学前辈，而索菲斯·李非常清楚数学家做出的很多选择都具有任意性。例如，索菲斯·李说，笛卡儿通过平面上的一个点来确定变量 x 和 y ，但在李看来，笛卡儿选择用一条线来表示 x 和 y ，也“同样有效”，并基于该假设发展了几何学。此外，笛卡儿根据特定的坐标系定义了 x 和 y ，分别表示某个点与 x 轴和 y 轴的距离。当然，也有一定的自由选择，“19世纪几何学取得了进展，”索菲斯·李写道，“之所以成为可能，很大程度上是因为人们已经清楚地认识到这种双重任意性。”他认为，人们认识到总是有很多方法来表示数学概念，这推动了数学进步。选择特定的表现形式来表示数学概念，无论选择哪种几何，其核心问题都是“优势”和“便利”。一位学者充满说服力地论证过：“庞加莱正是因为这一点才致力于研究几何思想，他认为我们对几何的选择是一种开放性的选择，只是为了方便而已。” [58] 毋庸置疑，庞加莱强调的几何自由选择，这种想法源自德国学者亥姆霍兹，他努力将事实意义从几何定义中分离出来，始终强调在确定空间概念的过程中，起到关键作用的是移动的刚性物体。或许，庞加莱关于数学约定论的观点也应该追溯到黎曼的无数种几何结构，或者就这一点而言，还应该追溯到庞加莱的老师查尔斯·埃尔米特的最新研究。 [59]
由于巴黎综合理工大学秉承着强烈的不可知论的教学风格
，正是这种教学风格推动形成了这种自由选择的意识。庞加莱曾是科努的学生，而这位老师上课的突出特点是对任何特定理论都不会表示绝对的支持。不同的理论各有优、缺点，它们受到了实验中可验证结果的限制。对庞加莱来说，物理学的不变量可以提供客观知识，是不同实验之间的固定关系，尽管理论不断推陈出新，但固定关系始终保持不变。回顾一下前文提及的，理工大学在聘用教师时，为确保公正，也同样坚持了自由选择理论，即一些有代表性的科学家支持原子论，而有些则反对原子论。放弃对绝对理论的承诺也是庞加莱自己的课程特点。例如，在1888年、1890年和1899年的电学和光学知识讲座中，他向学生们介绍了每个主要理论及其优、缺点，让学生们自己进行评判。这酝酿了约定论的萌芽。
最后，在与妹夫布特鲁的哲学圈子的交流中，庞加莱发现了哲学范畴的约定论概念。布特鲁是哲学家，而庞加莱自己是有哲学思想的学者，这两者之间的松散关系促使庞加莱在早期形成了一种对数学科学更具反思性的观点。原始的经验主义无法充分解释科学知识的普遍性和广度，而纯粹的理想主义把现实还原为精神生活，并不能解释思想与世界的一致性。所以，布特鲁等哲学家从德国正在进行的新康德主义运动中汲取了大量的思想资源，拒绝了唯心主义和经验主义这两个极端。他们认为科学与人文科学之间具有难解难分的关系，并认为这两个学科都是由心智的积极作用和对纯粹形而上学的怀疑构成的。在读过卡利农关于物理学的哲学基础的著作后，庞加莱选择了这条哲学的中间路线——探究同时性的问题。
每一个解析庞加莱的角度，无论是几何学、拓扑学、教育学还是哲学，都告诉我们，对他来说，以科学的方式进行“自由选择”才是有意义的。有趣的是，庞加莱大概从1890年开始经常用新的名字来称呼“自由选择”，就像在1887年时那样，他坚持认为，几何公理既非实验事实，亦非康德主义者所说的人脑的先验综合判断。1891年，他提出了关于几何公理的新观点，简短地概括为一句话：“它们是约定。”
欧氏几何是正确的吗？这个问题毫无意义。我们不妨问问：公制正确吗？旧的度量衡正确吗？是不是笛卡儿坐标系是正确的，而极坐标系是错误的？一种几何不会比另一种几何更加正确，它只会更加方便。那么，欧氏几何现在是，而且将继续是最方便的几何公理。 [60]
显然，在这段话中，几何公理被比作一种人们可以自由选择的语言中的术语，同时也表示数学家或物理学家始终有选择任意一种坐标系的自由。不同的是，无论选择欧氏几何公理还是非欧几何公理，庞加莱不仅把它看作不同群之间的选择，还看作任意系统之间的选择。例如，选择米和千克的任意系统还是英尺和磅的任意系统。
为了理解庞加莱如何使用“约定”一词，我们必须认识到，他所说的度量衡包含了整个“约定”世界的方方面面。与此同时，正如我们所见，庞加莱关注米和秒的问题，但这并非来自外部的“影响”，外部因素的影响就如同隐藏的磁铁使吸附在其上面的铁屑重新排列一样。显然，这种“影响”并不能决定庞加莱的科学和哲学工作。“根源”和“影响”这些词太过苍白无力和肤浅，不足以用来形容庞加莱在全球约定的制定工作中的深入参与。
对庞加莱来说，只要一个世界采用十进制并对时空进行约定，那么它绝对不是抽象的世界。他在巴黎备受推崇，为巴黎做出了贡献，甚至在全球的电缆布线、国际会议和公约中也大放异彩。毕竟，他是卓越的综合理工人，无论是深入矿井，还是探究太阳系稳定性的问题，他始终卓尔不凡。然而，为了展现时钟、标尺和电缆的机制，我们的首要目的是掌握人们在19世纪末期对同时性的通俗理解，因此，我们必须扩大视角。我们必须详细了解庞加莱在哲学、数学和物理学领域中的研究情况，以及他在实现时间和空间大规模的社会化和技术化约定中所做的努力，因此我们需要来回切换视角。
让我们追本溯源，从精密摆动的主时钟钟摆到纵横交错的海底电报电缆，从火车调度员、珠宝商和天文学家的每分每秒到国家和世界时区依照约定进行的重新校准。在这个过程中，历史之光必然会揭示技术、科学和哲学活动所使用的各种不同标准。1870—1910年，空间和时间的约定闪烁着“临界乳光”。