混沌时期的探索

庞加莱一边绘制矿灯、升降机和矿井通风机等矿用机械的图纸，改进其机械性能，一边苦苦思索既是数学问题又是物理问题的难题。这些问题汇聚成天体力学领域的重要难题：三体问题。关于单个物体的运动，牛顿提出运动中的物体趋向于保持运动状态，这也解释了为什么两个物体因牛顿引力而发生相互吸引。简单来说，假设行星只被太阳吸引，而不是与太阳相互吸引，那么牛顿和他的后继者就可以轻松地计算这些天体绕太阳的精确轨迹。但如果一个系统由3个或3个以上相互吸引的物体组成，如太阳、月亮和地球组成的系统，那么计算难度就会增加。要解决这一问题，必须通过18个相互关联的方程进行计算。如果使用 x 、 y 和 z 3个轴进行空间测量，那么就需要得出每个天体在每一时刻的 x 、 y 和 z 位置，这就形成了9个方程式，以及表示每个天体在每个方向上的动量的另外9个方程式，只有这样才能完整地描述天体的运动轨迹。通过选择合适的坐标，这18个方程式可以简化为12个。

对于19世纪中叶的很多数学家来说，他们的学科朝着日趋严格的趋势发展，数学家不但需要给出精确的定义，就连最微小的疑问也需要提供证据进行说明。理工大学开设课程的初衷并不是为了追求这种无懈可击的逻辑证明，这也从来不是庞加莱所关心的重点。他并不执着于寻找更好的方程解法，尽管在天文学中，采用更精确的方法可以提高对行星位置预测的准确性。星历图表是用来记录天体之间相对位置的图表，对航海家非常有用。像庞加莱这样的综合理工人，毕生追求的或许就是找到这些既有科学意义又有实际应用价值的数字。但是继续按照通常的做法会遇到问题：庞加莱发现，通常用于寻找星历的近似方法在预测行星位置时会导致严重的错误。他从来没有执着于追求纯粹数学家的严苛作风，而且他明白，应用天文学家一直在数值计算方法上循规蹈矩，但这往往徒劳无果。颠覆性的新方法才是他真正需要的。

庞加莱通过图表提出了天体力学的新观点，而他的关注点在于微分方程的定性特征。微分方程显示了一个系统，例如点、行星或水，从一个瞬间到与它间隔无限小的另一个瞬间是如何发生变化的。本质上，这个问题对于行星位置的预测没有多大帮助，也就是说，即使知道了一颗行星在某一时刻会在什么位置，对航海家来说也毫无意义。要确保预测结果在较长的时间内有效，天文学家必须综合考虑很多微小的变化，计算出预测值，例如预测明年6月火星的所在位置。对于很多力学家来说，这个问题的解决方法等于做累加，也就是用积分的方法，并以简单、可识别的形式呈现最终的结果。但这不是庞加莱想要的。

大概从庞加莱离开矿坑的那一刻起，他就开始以自己的方式破解微分方程了。他的研究重点不是顺流而下的一滴水，而是水面上所有水滴的流动模式，然后基于普遍的流动模式，得出整个系统的特征。例如，形成了多少个旋涡，2个、6个，还是没有旋涡？但是，这种方法不能提供巧妙的公式来计算下游某个具体位置的水滴的速度，而且也不能提供新的数值计算方案来粗略估计明年4月12日火星会在的位置。相反，庞加莱却想要找到一幅可以体现方程的特征及其所代表的物理系统的图像。那么小行星或行星会在什么条件下飞向太空、冲向太阳系？当然，这项抽象而具体的研究属于数学领域。庞加莱希望首先确定曲线及其定性行为，然后再确定详细的公式、预测数值或明确严谨程度。 ^[41]

庞加莱依据丰富的直观几何方法进行推理，而不是在冷冰冰的代数边缘摸索。作为一名资深的综合理工人，他有了比以前更高的学术修养，重拾数学研究的雄心壮志。他没有选择欧拉、拉普拉斯或拉格朗日的抽象公式。毕竟，拉格朗日不相信几何学，还曾发誓自己在分析力学方面取得的伟大成就将完全依靠代数，绝不会依赖几何构造；在拉格朗日的作品中，绝不会出现任何一种力学类比方法，也不会出现任何图表。

与之相反，庞加莱精确地使用几何学方法并结合力学类比的方法进行研究。早在1881年，在关注与三体问题有关的微分方程时，他就强调要采用定性、直觉的方法：

难道人们没有问过，是否有一个物体会永远停留在天空的某个区域里，又或者它是否会离我们越来越遥远？在无限的未来，两个物体之间的距离会增加还是减少，或者永远保持在一定的界限之内？难道人们没有上千个类似的问题吗？而一旦人们知道如何通过定性的方式描述三个物体运动的轨迹，这些问题就会迎刃而解了。 ^[42]

在直观几何和物理的交叉领域中，庞加莱反复思考这些问题，就如同他在整个职业生涯中始终关注微分方程的数学原理和三体问题的物理学研究一样。正如庞加莱在1885年发表的一篇重要的数学专著中所说，人们只是“没有搞明白这篇学术论文的部分内容，文中讨论的各种问题和太阳系的稳定性这一伟大的天文学问题存在着相似之处，但这些内容并没有打动读者”。 ^[43] 力学与机器，始终相伴相生。这正是出厂印记。

为了理解微分方程，庞加莱努力推进他的定性研究计划，他的成功受到了世界顶尖数学家的青睐。1885年年中，《自然》（ Nature ）杂志刊登了一则数学竞赛公告。当时的瑞典国王奥斯卡二世为庆祝自己的60岁大寿，举办了这场数学竞赛，庞加莱是其中一名有力的竞争者。著名数学家、《数学学报》（ Acta Mathematica ）的主编哥斯塔·米塔格-列夫勒（Gosta Mittag-Leffler）负责召集评审委员会。他先邀请了庞加莱在理工大学时的老师查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite），然后请来了德国的数学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）。魏尔施特拉斯是埃尔米特当年的导师，他受人敬重，毕生致力于数学研究，始终秉承逻辑严谨的态度。米塔格-列夫勒本人与庞加莱的关系很好。参赛作品必须在1888年6月1日前提交，其中的第一个问题就与三体问题有关。 ^[44]

在奖项公布之前，庞加莱当选为法兰西科学院院士。这是一项具有标志性的荣誉。这意味着，在1887年1月31日，32岁的庞加莱已经是法国科学精英中的一员。成为法兰西科学院院士后，庞加莱经常被邀请在各种行政部门担任职务，从经度局到法律、军事和科学领域的部际委员会均有涉及。他轻松地适应了自己新的公共角色，并开始为更广泛的读者群体写作。他为报纸、期刊和科学综述类书籍写了近100篇非技术文章，但在加入科学院之前，他写的文章屈指可数。

在整个职业生涯中，庞加莱一直推崇视觉的、直观的方法。最初，他使用非欧几何 来解决问题，而经过10年来对微分方程的研究，他总结形成了视觉（拓扑）技术。他参加了这次竞赛，并在论文中写下了“繁星无法超越”这句含义深远的格言。从技术上讲，庞加莱一直想确定由于行星之间相互吸引而产生的运动的界限，以此重新确认太阳系的稳定性。在数学以外的其他领域，庞加莱的格言反映了他坚信周围世界在本质上的基本稳定。尽管其他几篇参赛论文也非常优秀，但庞加莱还是轻松赢得了竞赛。庞加莱的论文不但得出了结果，而且还提出了一系列的新方法，将他的成就推到了数学领域的巅峰。一切似乎都在朝着正确的方向发展。

在提交了获奖论文之后，或许因为想到了自己以视觉为导向的定性研究在揭示太阳系稳定性方面所起的作用，庞加莱反过来审视逻辑和直觉在数学和教育学中的作用。他说，当代数学家翻阅了旧的数学书籍，发现工作中不时有不够严谨的失误。诸如点、线、面、空间等很多古老的概念，现在看起来似乎不合理，而且模棱两可。前辈提供的证据，好像都无力支撑自身的论点，说服力不够。庞加莱承认，数学家现在知道有一大堆奇怪的函数，这些函数“似乎努力地将自身与具有某种使用目的的诚实函数区分开来”，可是，他们的前辈对此一无所知。这些新函数可能是连续的，但构造方式非常奇特，人们甚至无法给函数的斜率下定义。庞加莱哀叹道，更糟糕的是，这些奇怪的函数好像还占大多数呢。简单的规律似乎只是特殊情况罢了。曾经有一段时间，人们为了满足实际的目标发明了新函数，而现在我们当代的数学家却想借此来证明前辈推断有误。如果我们要遵循严格的逻辑路线，那么初学者从接触数学之初就要熟悉由怪异的新函数组成的“畸形学博物馆”。

但庞加莱并不建议读者这样做，无论是学生还是纯粹的数学家，都不应走上这条“畸形之路”。他认为，数学教育要培养的心智能力中，直觉应该是最重要的。无论逻辑有多么重要，正是通过直觉，“数学世界与现实世界才能联系起来，尽管在纯数学领域中，直觉并非不可或缺，但要想弥合符号与现实之间的天堑，那么就不能忽视直觉的作用”。实践者时时刻刻都需要直觉，而每位纯粹的几何学家，所研究的课程何止上百个。即使是纯粹的数学家，他们也离不开直觉。逻辑是论证和批评的来源，而直觉是创造新定理、新数学的关键。庞加莱坦言，一个没有直觉的数学家就像一个困在语法牢房里的作家，除了语法什么也不会。因此，他明确提到了当时他教书的理工大学，他认为教学应该强调直觉，要摒弃那些只顾形式的、与直觉脱离的函数，因为这些函数只会让人们对前辈留下的数学遗产感到困惑。 ^[45]

当庞加莱的获奖论文即将发表时，这种对数学直觉的恳切呼吁已见诸报端。但是在1889年7月，当时26岁的瑞典数学家爱德华·弗拉格曼（Edvard Phragmen）在米塔格-列夫勒主编的《数学学报》担任编辑。他注意到庞加莱关于三体问题的证明存在问题。他把问题告诉了米塔格-列夫勒，米塔格-列夫勒又在7月16日转告庞加莱。米塔格-列夫勒说，除非“有人能让问题顷刻间凭空消失”，否则别无他法。 ^[46] 庞加莱很快明白，这个错误很严重，因为它既不是印刷错误，也不是简单的空白，不可能通过寥寥几行更详细的数学运算就能纠正。 ^[47] 庞加莱的工作出了很大的问题，不仅关乎这个奖项，他的声誉以及杂志和评委的声誉也都因此岌岌可危。庞加莱必须弄清楚，到底是出了什么问题。

问题是这样的。在研究微分方程时，庞加莱曾考虑过三种天体：太阳、木星以及沿着木星和太阳周围的轨道系统飞驰的一颗小行星。小行星的轨道会表现出什么样的特性呢？一种可能出现的简单情况就是，小行星每次都回到同一个位置，并且以相同的速度运动，即进行简单的圆周运动。为了以非常简单的方式来表示小行星的重复轨道，庞加莱提出了一个惊人的想法：不考虑轨道本身。相反，他意识到可以在小行星每次出现时检查其所在位置，由此他绘制了频闪图像，该图像后来被称为“庞加莱映射”（Poincare map）。确切地说，他的映射图反映了小行星每次运动的动量和位置。我们可以把映射图看作一张巨大的纸，这张纸比任何行星都大，在垂直于小行星运动的空间里展开，以此来呈现庞加莱的想法。每次小行星返回时，就在这张宇宙的纸片上打一个孔F。在简单的周期轨道上，小行星会穿过这张纸片，然后不断地穿过同一个孔，周而复始，直到永远。这个孔称为不动点。更通俗地说，庞加莱是想研究小行星穿过二维纸片的模式，而不是它在太空中的整个轨道。

但如果小行星轨道的起始位置不同，起始速度也不同，那么它的运动方式就不会如此简单、重复。例如，假设另一颗相同的小行星在靠近F孔的位置穿过纸片，而没有通过F孔。其中一种可能是，小行星一圈一圈地穿过纸片，在F孔附近钻出一连串的孔，无限往复，直至最终穿过F孔。假设曲线S穿过这一连串的孔。如果一颗小行星从曲线S上的任何位置开始运动，即它的穿孔起始位置为曲线上的任意位置，并逐渐趋向于每次都穿过F孔的轨道（见图2-2中的映射图1），那么曲线S就被称为稳定曲线。相反，如果在很久以前，一颗小行星穿过了F孔，之后便逐渐沿着曲线U，向远离F孔的方向运动（见映射图2），那么曲线U被称为不稳定曲线。

庞加莱在获奖论文中提出，如果一颗小行星的穿孔位置都远离F孔这个不动点，那么最终这些孔就会朝着另一个不动点运动。他本来希望通过该结论描述一个有序且有界的世界，这个世界完全契合他的格言“繁星无法超越”。受到弗拉格曼的挑战，庞加莱对自己的观点进行了更深入的研究。1889年秋，在仔细剖析行星稳定性的观点之后，他的信心开始动摇了。与此同时，获奖论文即将发表。

1889年12月1日，星期日，庞加莱向米塔格-列夫勒坦言：

我必须承认，这一发现让我痛苦不堪。首先，我不知道，周期解、渐近解以及我对先前方法的批评是否依然值得你们给予我这项大奖。

其次，我必须重新进行分析，不知道这篇论文是否已经印刷发行了。我已经给弗拉格曼发了电报。无论如何，我忠诚的朋友，我只能向你倾诉苦楚。如有进一步的消息，我再给你写信。 ^[48]

12月4日，星期三，米塔格-列夫勒写信给庞加莱，说庞加莱对情况的评估让他感到“极其困惑”。他写道：“无论在何种情况下，几何学家大多都会把你的那篇获奖论文视为天才之作，因为它将是未来天体力学发展的新起点，我并未对此产生疑问。因此，不要认为我对这个奖项大失所望。但最糟糕的是，信来得太晚了，论文已经印好并邮寄出去了。”他继续写道：“关于你发现的问题，即无法证明预期的稳定性实际上在任何情况下都存在，请根据你与弗拉格曼的通信内容，回信详细解释，并连同修订后的手稿一同邮寄给我。”他还补充说，大学里有一个职位空缺，自己愿意推荐弗拉格曼入职。“可想而知，随着《数学学报》取得了成功，我的竞争对手会借机制造丑闻，尽管我和你都会遭受误解，但别感到难堪。我坚信，你最终肯定会解开这个异常困难的谜团，找到问题的答案，所以我会坦然面对一切。” ^[49]

第二天，米塔格-列夫勒立即采取了行动。他告诉庞加莱，他已经分别给柏林和巴黎发了电报，以期刊存在不足为由要求他们不要向外发行论文，除了巴黎的埃尔米特和卡米耶·若尔当（Camille Jordan）以及柏林的魏尔施特拉斯外，其他人还没有收到出版的论文。米塔格-列夫勒在写给若尔当的信中说，之前没有注意到论文存在一处错误，现在必须纠正，询问能否让“管家”把邮寄给他的论文取走。米塔格-列夫勒敦促埃尔米特说：“请对外保密，我明天会和你详细解释。”米塔格-列夫勒逐个追踪其他已邮寄的副本，希望可以找到所有的副本。他向庞加莱倾诉说：“我很高兴，克罗内克先生没有收到副本。”利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）是一位非常著名的德国数学家，也是魏尔施特拉斯的死敌。然而，米塔格-列夫勒的行为引起了同事们的不满。在写给米塔格-列夫勒的回信中，魏尔施特拉斯对他那巧妙的言辞感到不满：“此外，我承认，我无法像你、埃尔米特和庞加莱一样如此轻率地对待此事。”魏尔施特拉斯言辞犀利地指出，在他的国家德国，获奖论文按评审的形式出版发行是不言而喻的。魏尔施特拉斯还补充说，稳定性问题并不是庞加莱论文的次要问题；相反，正如魏尔施特拉斯在一篇本应作为庞加莱文章引言的报告中所指出的，它是核心问题。魏尔施特拉斯问道，到底庞加莱的论文中还保留着哪些积极、合理的内容呢？ ^[50]

庞加莱重写了论文，保留了部分内容，或者更确切地说，他增加了新的内容来弥补之前的不足之处，但这些内容完全超出了小行星的可能运动范围，连他自己或其他人都未曾想到过。不是稳定性，而是混沌，才是新宇宙的统治者。事情就是这样的。庞加莱设想，稳定曲线和不稳定曲线在不动点F处相交。这不难想象。请想象有一个马鞍，一个弹珠从马鞍上沿着马脊椎的方向直接落下，弹珠会在下降的过程中来回摆动，直到它落到马鞍的中间，它停留的位置就是不动点。但如果弹珠被用力向左或向右推，它就会从马鞍上掉下来，无法返回，这就是不稳定曲线。以小行星为例，假设它从稳定曲线附近开始运动，而起始点没有在稳定曲线上，那么它会逐渐向F点移动，直到非常接近F点，而此时小行星的位置在不稳定曲线的摇摆范围内，并在不稳定曲线的影响下开始偏离F点。如图2-2中映射图3所示，小行星形成了一系列的穿孔，即C ₀ 、C ₁ 、C ₂ ……到目前为止，庞加莱还没有遇到任何问题。 ^[51]

然而，假设稳定曲线和不稳定曲线的交叉点在其他位置，如H点，庞加莱称之为同宿点（homoclinic point）。假定H点既是稳定曲线S上的一点，驱动小行星向F点运动，并产生穿孔，又是不稳定曲线U上的一点，因此，小行星从F点附近开始运动，先慢后快，在U点到H点之间依次朝着F点的反向产生后续连续的穿孔。现在，假设一颗小行星飞过H点，由于这颗小行星必须在稳定曲线S上运动，所以在后续会穿过位置H ₁ 、H ₂ 、H ₃ 等，沿着稳定曲线S向F点运动。然而，由于不稳定曲线上的任何一点始终位于不稳定曲线U上，H点也在U上，所以经过H点的所有后续穿孔也必须在不稳定曲线U上，导致U不断延长，从而使小行星一定会穿过我们刚刚设定的经过H点的每一个后续穿孔位置。图2-3（a）显示了可能出现的一种运动方式。

再以另一颗不同的小行星为例。小行星在H点附近，位于不稳定曲线U上，如图2-3（b）所示。因为H点位于S上，小行星C在S附近开始向F点运动，如图2-3（a）所示。同时，由于小行星C是从曲线U开始运动的，随着U的延长，穿孔位置C、C ₁ 、C ₂ 、C ₃ 等一定位于曲线U上。因此，小行星在位置C、C ₁ 、C ₂ 都会向F点运动，但最终，当小行星的位置越来越接近F点时，就会开始沿着不稳定曲线U后退，如图2-2中映射图3所示。由于U在H点与S相交，所以小行星在沿着U后退的过程中也将最终与S相交，标记为C ₆ 。小行星沿着U在H ₃ 点与S相交，随后快速运动至C ₄ 点发生碰撞，然后沿着U必须再次返回到F点，在H ₄ 点与S相交。请注意：由于延长的不稳定曲线U在C ₆ 点来回与S相交，产生两个新的同宿点，即图2-3（b）中标记为X的两个点，映射过程变得更加复杂。

由于问题很复杂，因此不稳定曲线以及在不稳定曲线上或附近的小行星将在庞加莱映射上无规则运动，完全没有边界，其运动轨迹异常复杂，连庞加莱自己都证明这是无法描绘的。最终，他将这篇获奖论文收录在《天体力学新方法》（ New Methods of Celestial Mechanics ） 中。在这本巨著中，他努力描述了自己所得出的图形：

当我们试图表示这两条曲线及其无穷多个交叉点所形成的图形时，每一个交叉点对应一个双渐近解，这些交叉点形成一种有无穷细网眼的格子结构、组织或网格。这两条曲线都不能再与自身相交，而是以非常复杂的方式向后弯曲，无限次地穿过网格中的网眼。

“我甚至都不想把它画出来，”他补充说，“但有了它，我们便能研究三体问题的复杂性本质，没有比它更适合的概念了。” ^[52]

在这篇让人头疼的获奖论文发表100年后，庞加莱对混沌的探索风靡一时，被誉为新科学的曙光，是经典科学简单预测领域的革命性进步。20世纪后期，一些物理学家、哲学家和文化理论家将复杂性科学誉为“后现代物理学”的一种形式，复杂性科学后来被称为复杂学。而人们利用强大的计算机绘制出了精密的庞加莱映射图，对于100年前的庞加莱来说，这是完全不可能做到的。其中，有些映射揭示了新的物理现象，有些成了艺术展品。 ^[53] 然而，庞加莱在1890年并没有提出科学本质的革命性观点。面对可能会对奖项产生严重丑闻的风险，庞加莱填补了论点中的漏洞，并在探索新动力学的过程中，无意间发现了他未曾预料的情况——宇宙稳定性的问题。

庞加莱并没有大张旗鼓地激进表态，而是表明，尽管这种混乱的轨道数量可能是无限的，但小行星处于不稳定状态的可能性与其轨道处于稳定状态的可能性相比，是微不足道的。庞加莱否定了绝对稳定性，只能探究稳定性的概率。两年后，他完成了论文的修改，并在修改后的论文中写道：“人们会说，不稳定的轨道是个例，而稳定的轨道才是常规。”他没有大肆宣扬要摒弃稳定性的概念，而是强调了新的定性方法在探索经典天体动力学方面的作用：“天体力学的真正目的不是计算星历表，我们要确定是否所有现象都能通过牛顿定律来解释，而不是满足我们短期的预测之需。” ^[54] 庞加莱认为，要真正验证牛顿物理学，需要深入探究其定性特征。庞加莱写道：“从确定牛顿定律的充分性的角度来看，我刚才谈到的隐含关系与明确的公式一样有效。” ^[55] 对庞加莱而言，重要的是事物的基本、潜在关系，而不是天文学家忙着计算到小数点后多少位的公式和位置。 d4B8Q43gPWCRehbD0YSQOWSW7goiS4+T5zMPmfKBiomutMp3KiNo3GQFgFpjjyWe