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我们再来看看排列组合，它们经常作为数学类解题方法被用来破解谜题。高中数学中经常出现“从 n 个物品里取出 r 个”这类问题。这类问题可以分为考虑排列顺序的“排列”和考虑选取方法的“组合”。
排列通常写作
，通过简单的乘法就能求解。例如
。一般来说，排列可以用下面的数学公式计算出来。
这部分按顺序相乘即可，用简单的处理逻辑就能实现（代码清单pre02.01和代码清单pre02.02）。
组合个数的计算则相对复杂一些，我们可以用多种编程方式来实现。组合通常写作
，可以用下面的数学公式计算出来。
如果用Ruby或JavaScript通过递归处理内存化的方式来实现，则程序如代码清单pre02.03和代码清单pre02.04所示。
但是，在使用这种方法的情况下，如果 n 的值变大，分母和分子的值就会变大，在使用某些编程语言时就无法正确地进行计算。例如，在使用JavaScript的情况下，计算中途会变成对浮点型数据的计算。
因此，在编程中也经常用到下面这种递归的定义。这种方法可以使程序更加简洁，把程序的大小控制在一定范围内，所以本书中大量采用了这种定义。具体实现如pre02.05和代码清单pre02.06所示。
但这种方法也有缺陷：由于递归层级较深，所以如果 n 的值变大，就会导致栈空间不足。因此，有时也会使用下面这种递推公式来实现。当使用递推公式实现的时候，可以通过循环处理来实现，这样就不会消耗栈空间了。
如果处理会反复用到，我们还可以考虑像代码清单pre02.07和代码清单pre02.08这样让处理内存化。
读者可以从下一章开始试着用本章列举的技巧来解决实际问题。另外，本书中的源代码仅用作示例，不排除有更高效的实现方式。各位不妨开动脑筋想一想。