海洋装备智能可视化交流电磁场检测技术最新章节_李伟著

2.8 ACFM解析模型

2.8.1 空气介质下的ACFM数学模型

ACFM技术在空气介质中的传播规律符合麦克斯韦方程组。为了能够准确地描述检测过程中缺陷附近的电磁场变化规律，根据麦克斯韦方程组建立了空气中的ACFM理论模型，如图2-1所示。麦克斯韦方程组在理论上统一了电和磁，准确描述了空间中同一时刻任意一点的电磁之间的联系，其在空气中的传播规律如式（2-87）～式（2-90）所示。

图2-1 空气中的ACFM理论模型

式中，▽·为散度；▽×为旋度； D 为电位移向量（C/m ² ）； ρ 为电荷密度（C/m ³ ）； B 为磁感应强度（T）； E 为电场强度（V/m）； J 为电流密度（A/m ² ）； H 为磁场强度（A/m）。

由于电磁场的传播与导体介质有关，因此本节补充了介质特性方程，如式（2-91）～式（2-93）所示。

在式（2-91）～式（2-93）中，导体介质的介电常数 ε 是真空介电常数 ε ₀ 和相对介电常数 ε _r 的乘积，导体介质的磁导率 μ 是真空磁导率 μ ₀ 和导体相对磁导率 μ _r 的乘积， ε ₀ 为 ×10 ^-9 F/m， μ ₀ 为4π×10 ^-7 H/m， σ 为材料的电导率。

由于ACFM的激励源是正弦交流信号，而正弦交流信号会跟随时间做简谐变化，因此空间内的电磁场信号也会做简谐变化，所以为了求解更加精确，利用复矢量在正弦时变的电磁场重新表示了麦克斯韦方程组，空间中的每个矢量都有三个分量，且每个分量都是复数，而且都只是空间位置（ x ， y ， z ）的函数，在求解时可以忽略它们与时间的关系，如式（2-94）～式（2-97）所示。

式中， ω 为正弦激励信号的角频率。

根据ACFM原理，缺陷的存在使空气中的磁场强度信号发生了变化，而且在实际检测过程中传感器采集的也是靠近试件上表面空气中的磁场强度信号，因此ACFM理论模型最终求解的参数是试件缺陷附近上方空气中的磁场强度 H 。为了求解磁场强度 H ，我们引入了矢量磁位 A 和标量势 φ ，在磁场中的定义如式（2-98）和式（2-99）所示。

定义的公式符合麦克斯韦方程组，通过式（2-98）和式（2-99），我们建立了矢量磁位 A 和标量势 φ 与磁感应强度 B 和电场强度 E 之间的关系，因此可以通过计算 A 和 φ 的值并将其代入麦克斯韦方程组求出磁场强度 H 的值。

由于磁场强度是因为缺陷存在而产生扰动的，因此可以用结构物表面均匀的感应电流产生的磁感应强度和缺陷引起的扰动感应电流产生的磁感应强度的和来表示空间中的矢量磁位 A ，如式（2-100）所示。

又因为空间矢量都满足拉普拉斯方程：

给 A _O 添加 Z =0 ₊ 的边界条件：

同理给 A _P 添加Z=0 ₊ 的边界条件：

式中， c 表示缺陷宽度； μ _r 表示材料的相对磁导率； k =2i/ δ （i是虚数单位）； δ 为电流的集肤深度，可以由式（2-104）求出。

式中， μ 表示材料的磁导率； f 表示激励电流的频率； ω 表示激励电流的角频率； σ 表示材料的电导率。

根据以上公式，建立了ACFM理论数学模型，可以通过求解式（2-102）和式（2-103），得到 A _O 和 A _P 的表达式，进而求出磁场强度 H 的值。根据空间磁场强度的变化可以反演裂纹的形貌。

2.8.2 水下环境的ACFM数学模型

以海洋环境为例，水下环境的ACFM模型可简化为如图2-2所示的海水环境的ACFM理论模型，探头内的激励线圈处于密闭的空气环境中，激励线圈加载正弦激励信号 y =sin（ ωt ）后会激发交变磁场，交变磁场穿过探头底部的海水区域后抵达金属结构物表面，交变磁场能在金属结构物表面感应出均匀的涡流场。交流电磁场在空气介质中的传播规律满足麦克斯韦方程组。

图2-2 海水环境的ACFM理论模型

根据斯涅耳的光折射定律，电磁波在两种介质交界处会发生反射和折射现象，其入射线、反射线与折射线位于同一平面上，入射角、反射角与折射角要满足如下公式：

式中， k ₀ 和 k ₂ 分别为电磁波在入射介质和折射介质中的折射率。

由斯涅耳公式可得折射角，由于海水介质为优良导体，则其为一个虚部和实部都趋近于0的复数，因此折射角趋近于0°，表示电磁波由空气进入海水中时，无论入射角多大，电磁波几乎都会沿着分界面的法线方向垂直入射海水中。

交流电磁场属于局部激发磁场，可认为局部海水为均匀导电介质，不存在电荷的累积，也可认为电荷体的密度为0，即 ρ =0。水下ACFM为低频电磁场信号（一般低于10kHz），导电介质中的位移电流要远远小于传导电流，因此在水下ACFM理论中不考虑导体中的位移电流，即。

电磁波在海水介质中的传播还需要满足介质性质方程，即

式中，由于 ξ ₀ 为真空介电常数，数值为1/36 π ×10 ^-9 F/m，海水的相对介电常数 ξ _r 约为81，因此海水的介电常数 ξ ₁ = ξ _r ξ ₀ ； μ ₀ 为真空磁导率，数值为4 π ×10 ^-7 H/m；海水为非铁磁性物质，相对磁导率 μ _r 为1。海水的电导率 σ ₁ 受温度和海水盐度的影响，根据半经验公式可以推算。

式中， T 为温度； s 为海水盐度； A =0.2193； B =0.012842； k =0.032； h =0.1243； ε= 0.00978； T ₀ =20℃； ς= 0.0000165； S 为被 k 填充的孔隙比，对于典型海水， S =0.03； s ₀ =0.035。根据我国周边海域的观测结果，海水的电导率为3～5S/m。若介质以相对速度 v 运动，则 J =σ ₁ E 可改写为 J =σ ₁ （ E + v B ）。在水下ACFM过程中，无论是探头的移动速度，还是海水的波动速度均较小，可不考虑介质之间的相对速度。

水下交流电磁场的激励信号为谐波场，引起的空间电磁波也为简谐波，电磁波对时间的依从关系可用指数函数表示为e ^j ^ωt ，将介质方程代入简化后的麦克斯韦方程组，可得到海水中麦克斯韦方程组的复数形式，即

电磁波在几种介质构成交界面上的传播规律满足电磁场量传播的边界条件，即

式中， n 为由介质1指向介质2的单位矢量。

由麦克斯韦方程组可知， H 和 E 满足齐次标量亥姆霍兹方程，即

其中海水中电磁波的传播常数。

假定海水中产生的均匀平面波的电场为 E _x ，磁场为 H _y ，波的传播方向为垂直于空气和海水介质交界面向下（ Z 方向），该电磁波是关于空间 Z 方向和时间 t 的函数，求解式（2-111）～式（2-119）可得到海水中电磁场的表达式如下：

式中，角频率 ω= 2 πf ；海水的复数波阻抗，表征电场与磁场之间的相位关系。

海水中电磁波的传播常数 γ 可用虚部 β 和实部 α 表示。 β 表示电磁波由空气进入海水中的相位偏移量，单位为Rad/m； α 表示电磁波在海水中的衰减常数，即在电磁波传播方向单位长度上波的幅度衰减量，单位为Np/m。

由衰减常数 α 可以看出，电磁波在海水中的衰减幅度与电磁波的频率有关，频率越高，电磁波在海水中衰减越严重，因此水下ACFM与涡流检测不同，一般选用低频正弦信号作为激励源。由于，衰减常数 α 可简化为，取 σ ₁ 为4S/m，若水下ACFM采用10kHz的激励频率（最大频率），则电磁波衰减常数约为0.4Np/m。但由于水下交流电磁场探头与结构物之间的距离（探头提离）的最大数量级为0.01m，因此电磁波在探头与试件微小提离之间海水介质的传播衰减幅度很小，可以忽略海水对电磁场传播的影响。

在海洋结构物缺陷检测过程中，大部分关键结构的承重部件（如导管架管节点、桩腿等）为高强度船舶及海洋工程用结构钢（参考GB/T712—2022）。例如，牌号为DH36、X60、X80的高强度结构钢等。这些材料具有良好的导电性能（电导率 σ ₂ 为0.5×10 ⁷ ～1.0×10 ⁷ S/m）和磁导率（相对磁导率 μ _r 为1000左右）。

由于探头与海水之间的允许提离高度约为5mm，低频电磁场可视为完全穿透海水抵达结构物表面，且结构物的电导率远远大于海水的电导率，因此电磁波在海水中的衰减幅值及影响可忽略不计。水下ACFM缺陷解析模型如图2-3所示。为了更方便地计算海水中和试件内部的电磁场分布规律，假定材料内部的电导率和磁导率均为恒定数值，在结构物无缺陷的情况下引入标量磁位 ψ ₀ ，在海水中（ z >0） H =▽ψ ₀ 。