2.2 麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组可以写成微分形式。其微分形式能反映空间观察点上同一时刻有关电磁量的关系。因此，一般来讲该方程组中的有关物理量应是时间 t 和空间 r 的函数，是四元函数。

微分形式的麦克斯韦方程组为

式中，▽为微分算符； ρ 为容积电荷的密度； E 为电场强度； J 为电流密度； B 为磁通密度； H 为磁场强度； D 为电通密度。

电荷守恒定律可以表述为

以上公式并不完全独立，可以由一个公式推出另一个公式。

电荷守恒定律的物理意义是：空间内任意电流密度矢量的散度等于该点电荷体密度时间增量的负值。从广义四维空间的角度考虑，电荷不是在空间上变化，就是在时间上变化，空间上增加了，时间上就要减小，反之亦然。式（2-10）说明四维电流密度矢量在四维空间上是无源的，散度为零。

麦克斯韦方程组反映了电荷与电流激发的电磁场及它们相互作用的基本规律。它包含丰富的内容，具有深刻的物理意义。它是关于场定律的定量描述，表示场的结构的定理。

值得注意的是，尽管麦克斯韦方程组是电磁理论的基础，也已证明在高速运动的电磁领域该方程组已被成功地应用，但是更进一步的研究表明，仅仅依靠麦克斯韦方程组是不够的。例如，许多形状较简单的散射体、散射场的解析解难以得到，只能依靠数值方法得到其近似解；对于热辐射的能量分布、光电效应、原子的精细结构理论等涉及的物质微观结构，麦克斯韦方程组就不再适用，必须借助量子电动力学的有关理论才能圆满解决。

电场和磁场是电磁场的具体表现形式，离开了变化的电场，就不能产生变化的磁场，反之亦然。这就预示着电场和磁场有同等重要的地位，体现在麦克斯韦方程组中为对称的形式和相加的形式。自然界中至今还没有发现磁荷及磁流的存在，但是为了方便，在处理电磁场的某些问题时引入了磁荷、磁流的概念。那么，当电荷与磁荷同时存在时，麦克斯韦方程组应修改为

如果将只有磁荷存在时的源称为磁型源，此时的电磁场物理量用下标“m”表示，将只有电荷存在时的源称为电型源，此时的电磁场物理量用下标“e”表示，那么式（2-11）～式（2-14）将变为磁型方程组，即

电型方程组为

同理，磁流密度矢量与磁荷密度的关系，即磁荷守恒定律，为

式（2-18）中的第二项可称为位移磁流。式（2-19）～式（2-22）与式（2-15）～式（2-18）有如下对应关系，即

H _e → - E _m , B _e → - D _m , E _e → H _m , D _e → B _m

ρ→ρ _m , J → J _m , ε→μ , μ→ε

一般情况下，空间任意点的场是电型源单独在时激发的电磁场与磁型源单独存在时激发的电磁场的矢量和。

时谐电磁场在研究电波的传播与散射等问题中占有重要地位。时谐电磁场是指电磁场随空间变化的同时随时间按正弦规律变化的电磁场，这是由于任何随时间变化的场都可以在时域进行傅里叶变换，等效成一系列振幅、频率不同的时谐电磁场。而且在有关的电子系统中，相关参数（如目标散射截面等）都是按时谐场定义的。时谐电磁场在直角坐标系、柱坐标系及球坐标系中有不同的表现形式，其在直角坐标系中的表现形式较简单，如电场强度 E （ r ， t ）可以写为

式中， E （ r ）为复振幅的有效值；j为数学上的一个虚数单位； ω 为角频率； t 为时间。其分量有可能相位不同。

时间因子还有其他形式，即e ^{j ωt} 和e ^{-j ωt} 及e ^{i ωt} 和e ^{-i ωt} ，它们对应不同的空间因子， ，为简单起见，本书采用e ^{j ωt} 。同理，产生电磁场的源也可写成以上形式，那么时谐麦克斯韦方程组变为

此时，电荷守恒定律与磁荷守恒定律变为

应注意的是，在式（2-29）中，有关的物理量既可理解为复振幅的有效值，又可理解为除去时间因子后的剩余部分。对于如何理解不会影响方程组的表现形式这个问题，在计算电磁场的能量时，不同的理解会有不同的表达式。有关表达式（如能量密度等相差系数为1/2）将在后续内容中进行讨论。显然，由于麦克斯韦方程组缺少时间变量，因此求解时谐麦克斯韦方程组要比求解时变麦克斯韦方程组容易，也可认为时谐麦克斯韦方程组是时变麦克斯韦方程组在频域的表现形式。 hKjMOI4SdJpDNoHDUzImwDzOSMdkgHcyp7P+cN5nPbGKgHNqm+mo+jV1f4yUzktn