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假设您有参加抛硬币游戏的两个选择：如果抛出正面，那么您可以赢得100英镑；如果您连续两次抛出正面，那么您可以赢得200英镑。哪个挑战收益更大？（在这种奖金异常丰厚的游戏中，您不会因为任何其他结果而得到什么，但是您也不会失去什么）期望值——也称为“预期回报”——的计算方法是结果乘获得该结果的概率。在这款游戏的单抛硬币模式下，您获得100英镑的概率是
，因此，期望值是
英镑。对于需要两次抛掷的游戏，您获得200英镑的概率是
，因此期望值是
英镑，即与前一个模式相同。
在所有条件均相同的情况下，丹尼尔·伯努利的期望值概念意味着您不应该在乎您选择哪个模式，毕竟每个模式的期望值是相同的。如果您多次玩这款游戏，那么您有望从任一种模式下得到大致相同的奖金。不过，细节决定成败。玩一次游戏的话，在奖金为100英镑模式下获胜的概率是在奖金为200英镑模式下的两倍。虽然这两个模式的期望值相同，但是影响策略的还有丹尼尔·伯努利提出的另一个重要概念——结果的效用。
效用体现潜在的收益或损失对您个人有多重要。毕竟，100英镑的分量对于百万富翁和处于贫困线上的人而言大不相同。如果您并不特别在乎在这种游戏中是否赢钱，那么您很可能会为了更大的潜在回报而冒额外的风险，从而选择200英镑游戏。但是如果能赢钱比赢大钱更重要，那么您最好选择100英镑游戏。
有了这些概念，我们现在已准备好详细了解伯努利设计的深奥游戏。在这款游戏中，您反复抛硬币，直到抛出正面；此时，游戏结束。如果第一次抛掷结果是正面，那么您赢得1英镑。如果第二次抛出正面，那么奖金翻倍：2英镑。如果在第三次抛掷之前没有抛出正面，那么奖金再翻倍：4英镑。如果抛了4次才抛出正面，那么您赢得8英镑……以此类推，无论抛多少次。不过，与奖金丰厚的上一款游戏不同，这款游戏有进入成本，因此您需要决定支付多少来玩这款游戏。
如果进入成本是50便士，那么策略就微不足道了——您一定会赢至少1英镑，所以您一定要玩。即便成本是1英镑，您也可以参与，因为无论结果如何，您都可以拿回您的赌注——您不会赔钱的。但是您的赌注应该高于1英镑吗？如果是，应该高多少？我们需要丹尼尔·伯努利的“期望值”和“效用”概念来制定您的最佳策略。
为了计算期望值，您需要考虑游戏的所有可能结果，因为游戏没有限制抛掷次数。获得1英镑的概率是
，因此第一次抛掷为期望值贡献50便士。获得2英镑的概率是
，因此第二次抛掷另为期望值贡献50便士。获得4英镑的概率是
——因此又为期望值贡献50便士。在可能抛掷的无限集合中，每次抛掷的期望值都是50便士。因此，总期望值是无限的。
单就期望值而言，无论游戏的进入成本是多少，都值得一玩。
不过，当我们引入“效用”概念时，事情看起来就不一样了。概率最大的是赢得1英镑，而赢得128英镑或更多奖金的概率只有
。也就是说，奖金越高，概率越小。显然，除了冲动的亿万富翁，没人会花巨资（比如100万美元）去参加概率最大的奖金仅为1英镑的游戏，因为参与者赢得超过100万英镑的概率是
——比百万分之一的概率还要低。选择策略时必须考虑对特定玩家而言的效用。微不足道的金额因人而异，它可能是1英镑，也可能是100万英镑——取决于个人财富。毕竟，玩家在这种游戏中冒险支付的金额超过其可以轻易承受的损失是下策。
尽管历史上已经设计了许多方案和制度，但是对于公平概率游戏的那些玩家来说，没有策略可用——因为在这种游戏中，玩家没有决定可做，只能等待一次抛硬币或掷骰子的结果。但是，可能应用博弈论的游戏是存在的，并且有很多。
在下文中，我们将探究“圈叉游戏”[noughts and crosses，也称“井字游戏”（tic-tac-toe）]、“西洋十五子棋”、“大富翁”和围棋——复杂性逐渐提高。