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当我们因为原因太复杂而无法理解，从而处于最深层的无知时，我们唯一能做的就是看看是否能在大量事件中发现某种模式。我们知道，如果轮盘有偏斜的话，这种统计学方法可以成功。在对轮盘赌旋转的物理过程一无所知的情况下，我们还是可以预测可能发生的事情。
但假如轮盘没有偏斜，或我们没有足够的时间来收集大量数据呢？在丽兹酒店获胜的三人并未通过观看大量旋转来识别存在偏斜的赌桌，他们观察的是小球绕着轮盘移动时的轨迹。这意味着不仅要逃离庞加莱所说的三级无知，也需要逃离他所说的二级无知。
这可不是个小成绩。即使我们把决定小球旋转的物理过程分离出来，也无法预测它会在哪里停下。这种情况与油漆分子入水的情况不同，并不是原因太复杂而无法掌握。相反，是原因太过微小而无法确定：球的初始速度的细微差异会对其最终落脚的位置造成巨大的影响。庞加莱认为，小球初始状态的差异可能会导致最终结果的差异大到我们无法忽视的程度，但正是由于初始状态差异又小到无法引起我们的注意，于是我们认为结果只是偶然出现的。
这个问题被称为“对初始条件的敏感依赖”，意味着即使我们收集了一个过程的详细测量结果，无论是轮盘赌的旋转还是热带风暴，我们未注意到的微小事件都可能会产生无法忽视的重大结果。数学家爱德华·洛伦茨（Edward Lorenz）在某次演讲中问道：“巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，是否会在得克萨斯州掀起一场龙卷风？”孰料在此70年前，庞加莱就已经为世人勾勒出了“蝴蝶效应”的概貌。 20
洛伦茨的研究最终发展成了主要用于预测的“混沌理论”。他的初衷是希望做出更好的天气预测，并找到一种方法来预测未来更长时间内的天气情况。而庞加莱对相反的问题感兴趣：一个过程要花多长时间才会变得随机？轮盘赌小球的路径真的会变得随机吗？
轮盘赌给了庞加莱启发，但他在对更大规模的轨迹进行研究时才真正取得了突破。19世纪，天文学家已经勾勒出小行星在黄道上的大致分布。他们发现，小行星在夜空中的分布是很均匀的。庞加莱想弄明白为何如此。
他知道小行星的运动遵循开普勒定律，且初始速度不可知。正如庞加莱所说：“黄道可以被看作一个巨大的轮盘赌赌桌，上帝朝上面扔了无数个小球。” 21 为了理解小行星的模式，庞加莱决定比较一个假定物体围绕某点旋转的总距离与旋转次数。
设想你在平面上展开一卷超长、超光滑的墙纸，然后在上面放上一颗弹珠，让它沿着纸面滚动。接着你再放上一颗弹珠，让它沿着纸面滚动，多次重复这一过程。有些弹珠你让它滚得快些，有些滚得慢些。因为墙纸是光滑的，滚得快的弹珠会迅速滚远，而滚得慢的则沿着纸面缓缓前进。
弹珠不断滚动，每隔一段时间就用相机拍下它们的当前位置。为了标记它们的位置，在每个小球所在位置对应的纸边切个小口。然后拿走弹珠，把纸重新卷起来。如果你查看纸边的切口，会发现它们出现在圆周上任意位置的概率是相同的。出现这种现象是因为，纸张的长度——弹珠可以滚动的距离，远远大于纸卷的直径。弹珠前进的总距离的小小改变就能对圆周上切口的位置造成巨大影响。如果你等待足够长的时间，这一对初始条件的敏感依赖会导致切口的位置随机分布。庞加莱向人们展示了同样的事情也发生在小行星轨道上。随着时间推移，它们将在黄道上均匀分布。
对庞加莱来说，黄道和轮盘赌赌桌不过是同一理论的两个例证。他认为，在足够多次之后，小球的最终位置将是完全随机的。他还指出，坚持对某些选择进行投注会比其他选择更早表现出随机性。因为轮盘上的红色和黑色区域是交替出现的，预测小球会落入哪一颜色区域就意味着计算小球停住的准确位置。即使只是转了一两次后，做出这样的预测也会变得极其困难。其他选择对初始条件就不那么敏感了，比如预测小球会停在赌桌的哪一侧。多次旋转之后，结果就变得完全随机了。
对赌徒来说，好消息是，小球并不会旋转很长时间。（尽管有传言说数学家帕斯卡在研发永动机时发明了轮盘赌，但这只是传言。）结果就是，赌徒理论上可以通过测量小球的初始路径避开庞加莱所说的二级无知。他们只需要弄清楚如何进行测量即可。 22