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1.2.1.1 参数计算与离散化
假设耦合项和反电势项已经被精确地补偿，那么电机在 dq 坐标系中的电气模型可以简化为一个一阶惯性环节，其传递函数为
式中，变量 s 为拉普拉斯算子； R s 为电机相电阻； L s 为电机相电感（下标s表示相关参数与电机定子相关）。简化为一阶惯性环节后，同步电机的 d 轴和 q 轴模型的传递函数具有相同的形式。本节后续的讨论对 d 轴和 q 轴都适用，故对此不加区分。
并联式PI控制器的传递函数为
式中， k p 为比例增益； k i 为积分增益。在设计PI控制器时，可以用控制器的零点对消电机模型的极点，即令
可以看到，若想确定积分增益，则必须先确定比例增益。零点与极点对消后，闭环控制系统的传递函数为
式（1-10）为一阶惯性系统，在电感参数固定的情况下，系统性能取决于比例增益 k p 。一阶惯性系统的上升时间（惯性系统阶跃响应上升到95%终值所用的时间） t r 满足
可见，由上升时间 t r 可以确定比例增益 k p 。将式（1-11）代入式（1-9），可确定积分增益。PI控制器的增益需要满足
可以看到，PI控制器的增益取决于电机参数和一阶惯性系统的上升时间。很明显，在实际应用中，上升时间 t r 的设定不是任意的，根据经验，在比较激进的设计方案中，可使上升时间等于4～5个采样周期 T s ，从而令PI控制器的增益满足
此时，可求得系统带宽约为采样频率的1/10，即
式中， f c 为系统截止频率； f s 为系统采样频率。将PI控制器离散化，可得其离散传递函数：
式中， z 定义为 z= e sT ，即延迟运算； Y （ z ）和 X （ z ）分别为系统输出和输入。整理可得差分方程：
式中，
x
k
为第
k
个采样周期（当前采样周期）的输入值；
y
k
为第
k
个采样周期的输出值，
y
k
-1
为第
k
-1个（上一个）采样周期的输出值。在式（1-16）中，括号内的部分为上一个采样周期的积分累积量。
T
s
k
i
可以视为积分增益
k
i
与采样周期
T
s
一起构成一个新的离散积分增益
，即
可见，新的离散积分增益是一个与采样周期无关的系数，即采样周期发生变化时，它不会随之改变。
值得注意的是，开环系统和闭环系统都是一阶滞后环节，但是开环系统的时间常数取决于电机参数，是固定的；而闭环系统的时间常数由PI控制器参数决定，是可以调节的。除此之外，开环系统的增益不为1，其输出不能精确控制，因此没有实际意义；而闭环系统则可以保证输出跟踪输入。
实际系统存在延迟，只有当延迟相对于系统响应可以忽略不计时，以上讨论才能近似成立。也就是说，在配置PI控制器参数时，将时间常数配置得特别小是没有意义的，此时模型不再准确。
1.2.1.2 电流环PI标幺化
电流环PI控制器的输入为电流偏差、输出为控制电压，由此可知其传递函数为
式中， ΔI 为电流偏差； U 为电流环输出电压。选择电压基值 U b 和电流基值 I b （下标b为单词base的首字母），将式（1-18）中的电压和电流转化为标幺值，即
式中，*表示变量为标幺化的量。进一步有
通过对比可知，经过标幺化的PI控制器的增益变为
可见，标幺化之后，在PI控制器的增益公式中出现了基值。有些计算PI控制器参数的代码中出现电机额定电压和额定电流，就是因为选用了这两个参数作为标幺基值。将式（1-13）代入式（1-21）可得
式（1-22）中的PI控制器参数仍然与电机的电阻、电感参数有关。在标幺化处理后，电阻取其标幺值。式（1-16）所示的差分方程在经过标幺化处理后化为
式中，变量含义与式（1-16）相同，上标*表示对应变量是经过标幺化处理的。可以看到，标幺化仅改变了物理量和参数的格式，对计算公式的形式是没有影响的。
1.2.1.3 抗卷饱处理
由于电机控制系统的输出电压是有限的，因此电流环PI控制器的输出将受到限制。限幅环节的存在导致饱和后PI控制器的输出与控制对象实际输入不相等，由此引起系统闭环响应变差的现象称为卷饱现象。积分饱和就是比较典型的卷饱现象。当PI控制器的输出达到极限而仍不能消除偏差时，在积分的作用下，PI控制器的运算结果还将继续增大，但实际输出已无变化。
一般来说，PI控制器适当的饱和可以加快系统的响应速度，随着偏差减小，PI控制器可以自动退出饱和；但如果偏差消除时积分量过大，那么系统可能会出现较大的超调或振荡。积分量过大可以这么理解：系统稳定时偏差为零，对应的比例输出也为零，此时积分量不再增加，但仍保有一定的值维持PI控制器的输出。当偏差接近消除时，如果积分量明显大于最终稳定时的值，那么这个积分量就是偏大的。
抗积分饱和的任务是避免积分量过大，导致PI控制器的输出明显大于限幅值而损害系统的动态响应。为此，可以在PI控制器饱和后只累积反向偏差，这就是积分钳位式PI控制器。有文献指出，这种方法在众多基于条件积分的抗饱和PI控制器中的性能是最优的。比较而言，积分分离和变速积分在偏差较大时输出相对较小，导致响应速度偏慢。同时，在动态过程中，控制器结构和参数的改变都会导致系统的响应曲线畸变。
图1-4所示为积分钳位式PI控制器的结构框图，其中，pi_out为PI控制器的原始输出；y_out为其实际输出；saturation为饱和模块，其作用是对pi_out进行限幅；switch模块可以切换PI控制器的积分输入，选择直接对偏差进行积分或仅对反向偏差进行积分。具体地，当pi_out≠y_out且pi_out× e >0时，switch模块切换In2进入积分器，积分量暂停累加。在其他情况下，switch模块的输入通道In1进入积分器，输入偏差得以累加。这样，当PI控制器饱和之后，积分量就不会继续增加，一旦偏差 e 的符号改变，PI控制器就能很快退出饱和。注意：积分运算本身也是有限幅处理的，一般积分限幅值与PI控制器整体输出限幅值保持一致，否则在稳态时无法维持最大输出。
图1-4 积分钳位式PI控制器的结构框图
除积分钳位式PI控制器外，还有一种反计算式PI控制器被广泛应用。输出饱和之后，反计算式PI控制器的积分量是根据控制器实际输出反推得来的，数值上等于控制器实际输出减去比例输出。这样处理的最终结果与积分钳位式PI控器的处理结果基本一致，都是积分量被限制，并且使原始输出接近或等于控制器实际输出。需要注意的是，当偏差很大时，比例作用本身就可能会使PI控制器输出饱和，此时应该将积分量限制为0，而不是机械地用控制器实际输出减去比例输出。
1.2.1.4 采样频率选择
控制理论和采样理论给出了采样频率的下限。对控制而言，系统最大带宽与采样频率正相关，由采样造成的滞后相对于系统总的滞后应该是可以忽略的。具体地，采样频率一般要取到带宽指标的10～20倍以上。
对信号采样而言，香农定理要求采样频率必须高于信号最高频率的2倍。实际中一般要求采样值连续，即要求相邻的采样值之间变化不大但又有一定的差别，这需要采样频率为信号频率的10倍或更高。
事实上，在电机控制中，采样频率是一个很重要但不太受关注的参数，这是因为在实际应用中，理论上的最低采样频率非常容易达到。以电机电流采样为例，实践中一般选择在PWM周期中进行采样，由于PWM频率高达数千赫兹到数十千赫兹，而电机电流频率大多只有几百赫兹，因此采样频率几乎总是足够的。某些超高速电机（如高速风筒电机）的电流频率能达到2kHz左右，这时就需要将采样频率提高到20kHz以上。
1.2.1.5 编码实现
经过标幺化处理后，PI控制器的增益如式（1-22）所示。
在式（1-22）中，变量的单位均为国际单位。在使用定点芯片编程时，为保证精度，许多物理量需要用较小的单位表示。这样，在计算时就必须考虑其与国际单位之间的转换。假设代码中电阻的单位为mΩ，电流的单位为0.01A，电压的单位为V，同时积分增益用Q16格式数据表示，那么综合起来有
式中，下标prg（program的简写）表示相关变量是在代码中使用的，常数项1611/2 12 用来实现3×2 16 /5/1000/100的快速近似计算。带prg下标的变量与对应不带prg下标的变量表示同一物理量，但其所用单位与数值大小可能不同。以电压标幺基值为例，代码中电压的单位为V，于是，变量 U b_prg 和 U b 都表示电压标幺基值，并且其单位与数值大小也相同。电阻在代码中的单位为mΩ，于是，变量 R s_prg 与 R s 虽都表示电机定子电阻，但两者所用单位不同，且数值上 R s =R s_prg /1000。如果没有特殊说明，本书余下章节均照此约定，并不再对带prg下标的变量做单独说明。式（1-24）对应的代码如下：
可以看到，代码将公式用C语言重新写了一遍，并增加了一些工程上的考虑，如限幅、预防计算溢出及可读性等方面的处理。上述代码片段计算了PI控制器离散化后的积分增益。由变量名可以看出，代码与 d 轴电流控制相关。
假设代码中电感的单位为μH，并且比例增益用Q12格式数据表示，那么代码中的比例增益满足
式中， T s = 1/ f s_prg ，其中 f s_prg 为电流采样频率。为预防计算溢出，将计算过程拆为3 段，对应代码如下：
在编写计算PI控制器的输出代码前，必须先确定输出限幅值。电流环PI控制器的输出为 dq 坐标系中的相电压，故限幅值当取系统能输出的最大相电压值。在使用SVPWM调制技术时，其线性区输出的最大相电压有效值为
式中， U dc 为主回路直流母线电压； v max 是一个 abc 坐标系内的电压，需要将其转换到 dq 坐标系内。假设代码中母线电压的单位为0.1V，PI控制器的输出限幅值用Q24格式数据表示，那么标幺化的限幅值为
对应代码如下：
电流偏差与电流的数据格式一样，都是Q15格式数据的标幺值。积分量ACR.Integral用Q24格式数据表示，积分增益用Q16格式数据表示，于是计算积分量的代码如下：
上述代码对电流偏差做了限幅，这样可以有效抑制毛刺、突变之类的干扰。比例部分同样用Q24格式数据表示，比例增益用Q12格式数据表示，电流偏差用Q15格式数据表示，于是有以下代码：
可以看到，输出电压是Q15格式数据。因为输入电流和PI控制器的增益都是标幺化值，所以计算出来的输出电压也是标幺化值。
1.2.2.1 延迟环节模型
延迟环节的传递函数和幅频响应分别为
式中， τ 为延迟时间；j为虚数单位； w 为角频率。延迟环节的增益为1，相位滞后是线性的。信号通过延迟环节不改变其性质，仅在时间上有滞后。使用泰勒级数展开，可以将延迟环节的传递函数化为
当延迟时间 τ 比较小时，忽略高次项，此时，延迟环节可以简化为一个惯性环节：
1.2.2.2 电流环延迟定量估计
电流控制回路上总的延迟大约为3个PWM周期（电流采样周期），主要由以下几项构成。
（1）PWM输出。
电压型逆变器可以建模为一个周期为PWM周期的零阶保持器，其延迟为半个PWM周期。
（2）电流采样相关延迟。
电流采样保持有半个周期的采样延迟。在大多数情况下，电流采样周期与PWM周期相等，故电流采样延迟时间取半个PWM周期。硬件检测电路造成的延迟可以忽略不计，而AD转换的时间则包含在计算输出延迟中。
（3）计算输出延迟。
从电流采样到PI控制器输出生效有1～2个电流采样周期的延迟。一方面，触发电流采样之后可能要在下一个周期才能读到结果；另一方面，PI控制器输出的控制量不会立即生效，即逆变电路3相PWM占空比不会立即更新，一般需要等半个或一个PWM周期后才会更新。计算输出延迟的具体值取决于微处理器的配置及相关代码架构。实际项目中应尽量将此类延迟降到最低。
1.2.2.3 考虑延迟电流环模型
如果考虑系统延时，那么电流环传递函数变为
式中， T d 为各种延迟之和。若使用一个惯性环节来近似延迟环节，则传递函数可化为
式（1-32）中的时间常数 τ=L s / R s 要比 T d 大得多（ d 轴、 q 轴均是如此），因此，在设计PI控制器时，仍然选择对消电气时间常数极点，得到以下开环传递函数：
进一步可得闭环传递函数为
这是一个二阶系统，比较可得系统的阻尼比 ξ 和自然角频率 w n 分别为
综上，可解出PI控制器参数满足
由式（1-34）可知，阻尼比为
时的比例系数为
将式（1-35）代入式（1-33）计算自然角频率，进一步得系统调整时间 t s 为
即 t s 大约是4 T d ，对应12～15个采样周期，基本上算是比较合理的。此时，系统带宽为
系统超调为
不到5%的系统超调对于大多数应用都可以接受。将生成的PI控制器参数代入Simulink仿真模型，得到 q 轴电流响应，如图1-5所示。可以看到，系统对方波给定的响应还算理想。
图1-5 方波给定响应曲线
相对于直接设定阻尼比，更一般的方法是先根据系统时域指标（调整时间）确定自然角频率，然后由自然角频率确定比例增益。
1.2.2.4 电流环指令前馈
带有前馈支路的电流控制框图如图1-6所示。
图1-6 带有前馈支路的电流控制框图
取电机电感 L s =0.000534H、 R s =0.021Ω，取系统延迟为 T d =3×1/8000s，得到如下电流环模型：
引入前馈，在理想情况下，前馈应该是控制对象的逆，即
计算二重微分可能会带来比较大的干扰，因此增加两个一阶滤波器来减小前馈支路的带宽，低通滤波器的时间常数 t r =0.00005s，于是有
图1-7所示为系统引入前馈前后的阶跃响应。可以看到，前馈在大幅提高响应速度的同时减小了超调，对系统性能的提升非常明显。
图1-7 系统引入前馈前后的阶跃响应
前馈最主要的问题是容易受到系统输出能力的限制。如图1-8所示，前馈输出达到5000，这在实际中是不可能达到的。因为前馈起作用的时间非常短，一旦输出受限，控制对象对前馈输出的积分将会非常小，所以导致前馈的作用十分有限。
图1-8 前馈输出
另外，前馈的问题是实现起来比较复杂。理想情况要求前馈中的两个零点分别对消控制对象传递函数中的两个极点，由于获取准确的参数有一定的困难，并且在运行时参数往往会发生变化，因此理想的前馈几乎不可能实现。
控制对象 G p 中两个极点的转折频率分别为 w 1 =0.021/0.000534rad/s≈39.33rad/s、 w 2 =1/3.75×10 -4 rad/s≈2667rad/s，分别取前馈零点转折频率 w f1 =25rad/s、 w f2 =2000rad/s，保持低通滤波器参数不变，得到的系统阶跃响应如图1-9所示。
图1-9 非理想前馈阶跃响应
可以看到，当前馈零点不能准确对消控制对象的极点时，保持前馈增益不变会带来很大的超调，通过适当减小前馈增益可以减小超调，达到或接近理想前馈的效果。实践中一般选择更简单的做法，即直接在给定上乘以一个系数并叠加到输出中，保证不超出范围即可。
1.2.2.5 调参原则
式（1-31）所示为考虑系统延迟时的电流环模型，此时，电流环模型可以看作一个双极点低通滤波器，以其为控制对象，引入比例控制，比例增益取不同值时的系统波德图如图1-10所示。可以看到，比例增益变化令系统的幅频响应曲线上下平移，但对系统的相频响应没有影响。系统相位滞后范围为0到-180°，故无论比例增益取何值，系统都能保持稳定。系统的相频响应曲线单调递减，这意味着比例增益越小，获得的相位裕度越大。
图1-10 比例增益取不同值时的系统波德图
从系统稳定性的角度考虑，参数调节应该保证系统有足够的相位裕度和增益裕度，这要求将比例增益调节得比较小。另外，一般的应用都对系统的响应速度有一定的要求，这就需要一定的系统带宽，需要将比例增益调得比较大。综合考虑，就是“在保证系统稳定的前提下，尽量增大系统带宽”，反映到具体的调节操作中就是“逐步增大比例增益，直到系统产生明显的超调”。
有时比例增益的作用不是单调的，离开最优范围后，往大或往小调它都会导致系统性能恶化。这是因为系统的相频响应不是单调的，只有在最佳取值处，系统才能获得足够的相位裕度。比例增益过小和过大造成的振铃是不一样的，主要体现在振荡频率上，过小时振荡频率较低，过大时振荡频率较高。
一个有意思的问题是，虽然比例增益较小时系统稳定裕度较大，但是有时反而会产生振荡，这是因为系统增益较小时响应速度慢，抑制扰动的能力较差，当系统出现扰动时就会产生较长时间的振荡。因此，为加强系统的抗干扰能力，应尽可能地增大比例增益。
引入积分环节首先就是带来90°的相位滞后，如图1-11所示。此时，系统的最大相位滞后为270°，若比例增益设置得不合理，则系统将会不稳定。这里可以说明分段调节参数的好处，即先调节比例参数可以避免积分环节对系统稳定性造成影响。
积分环节同时引入了一个开环零点，随着频率的上升，此零点最终可将90°的相位滞后完全补偿。积分增益决定PI控制器的转折频率，在转折频率处，零点可以提供大约45°的超前校正量。很明显，PI控制器的转折频率越低，其在中高频段造成的相位滞后将越小，图1-11可以看作积分增益无穷大的结果。
积分增益越小，相位裕度越大，但是消除稳态误差的速度也会越慢，因此，在设定积分增益时，要根据应用在响应速度与稳定性之间做好取舍。一般稳定性的度量指标采用超调，只要超调大小合适就可以接受。而消除稳态误差的速度则是越快越好，如此，积分增益在允许的范围内应尽量大。
图1-11 积分环节引入滞后
如图1-12所示，积分环节对系统幅频响应的影响集中在低频段，对系统的穿越频率（中频段）几乎没有影响，但是在穿越频率处还是会造成一些相位滞后。积分增益越大，系统幅频响应低频增益越大，因为低频段反映了系统跟踪控制信号的稳态精度，所以积分增益越大，系统稳态误差越小。
图1-12 积分增益调节
综上所述，调节PI控制器参数时应该在保证系统有一定稳定裕度的前提下尽量增大控制器的增益，比例增益越大，系统响应速度越快，抗扰动能力越强；积分增益越大，系统稳态误差消除越快。
补充一下PI控制器增益对扰动响应的影响：比例增益大对中频扰动有更强的抑制能力，同时较大的比例增益允许更大的积分增益，能间接地帮助改善低频抗扰能力；大积分增益有助于增强系统的低频抗扰动能力。具体来说，比例增益越大，扰动响应的幅值越小；而积分增益越大，扰动响应（抑制为0）的时间越短。需要强调的是，如果积分增益为零，则系统往往不能彻底消除扰动响应，无法获得理想的扰动响应，这正是PI控制器相对于P控制器的一大优点。
电流控制器可以接受方波响应有15%左右的超调，因为在实际应用中，方波是极为严苛而少见的输入类型，并且在电流环前端往往有滤波器对输入信号进行限制。时域15%的超调大约对应频域4dB的凸峰。
需要强调的是，上述讨论仅仅适用于经典形式的PI控制器，如式（1-39）所示。对于其他形式的PI控制器，应该先做形式上的变换再做讨论。
对于并联型PI控制器，有
整理得
可以看到，此时比例增益对系统带宽没有影响，因为开环增益是由积分增益决定的。积分转折频率由比例参数和积分参数共同确定，在积分增益确定的情况下，比例增益越大，转折频率越低，对应的积分作用越小，带来的相位滞后也越小。